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概率论与数理统计公式整理(超全免费版).doc

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

唐立名
2018-04-30 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《概率论与数理统计公式整理(超全免费版)doc》,可适用于高中教育领域

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)概与数率论理论论公式全,第章机事件及其率随概m!,排列n=P从m人中挑出个n人论行排列的可能。个数论合公式m(mn)!m!=nC从m人中挑出个n人论行论合的可能。个数mn!(mn)!,加法加法原理论方法均能完成此事,,两mn和乘法原某件事由论方法完成~第一论方法可由两来m论方法完成~第二论方法可由n论方理法完成~论论件事可由来mn论方法完成。来乘法原理步论分论不能完成论件事,,两个m×n某件事由步论完成~第一步论可由两个来个m论方法完成~第二步论可由个n论方法完成~论论件事可由来m×n论方法完成。来,一些重论排列和非重论排列有序,常论排列论立事件至少有一,个论序论论,机随如果一论论在相同件下可以重论论行~而每次论论的可能论果不止一~但在论个条个论论和机事随行一次论论之前却不能言出论论果~论论论论论论论机论论。断它哪个称随件论论的可能论果论论机事件。称随,基本在一论论下~不管事件有多少~论可以其中出论论一论事件~具有如下个个从找它事件、论本性论,空论和事件每论行一次论论~必论论生且只能论生论一论中的一事件~个任何事件~都是由论一论中的部分事件论成的。ω论论一论事件中的每一事件论基本事件~用个称来表示。基本事件的全~论论论的论本空论~用体称表示。ω一事件就是由个中的部分点基本事件,论成的集合。通常用大字母写A~B~C~…表示事件~论是它的子集。论必然事件~Ø论不可能事件。不可能事件Ø,的率论零~而率论零的事件不一定是不可能事件~同理概概~必然事件Ω,的率论概~而率论概的事件也不一定是必然事件。,事件论系,的论系与运如果事件A的论成部分也是事件B的论成部分~A论生必有事件B论生,,算AB如果同论有~~论事件称A与事件B等价~或称A等于B,ABBAA=B。A、B中至少有一论生的事件,个A,B~或者AB。属于A而不于属B的部分所成的事件~论构称A与B的差~论论AB~也可表示论AAB或者~表示它A论生而B不论生的事件。AB~~A、B同论论生,AB~或者AB。AB=Ø~论表示A与B不可能同论论生~称事件A事件与B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。A论事件称A的逆事件~或称A的论立事件~论论。表示它A不论生的事A件。互斥未必论立。算,运论合率,A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C分配率,(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)概与数率论理论论公式全,德摩根率,~iiA=A~,A,B=A~BA~B=A,Bii==,率概AA论论论本空论~论事件~论每一事件个都有一论论个数P(A)~若论足下列的公理化三件,个条定论P(A)~P(Ω)=AA论于互不相容的事件两两~~…有:,,,PA=P(A)ii,,,i=i=::常论可列完全,可加性。称论称P(A)论事件的率。概A,古典={}ω,ω,ω~n概型PPP。ω=ω=,ω=()()()nnAω,ω,ω论任一事件~是由它论成的~论有mP(ω)P(ω),P(ω){}(ω),(ω),,,(ω)P(A)==mmmA所包含的基本事件数==基本事件论数n,何几若机论论的论果论无限不可且每论果出论的可能性均~同论论本空论中的每随数并个匀概型一基本事件可以使用一有界域描述~论此机论论论何型。论任一个个区来称随几概事件A~L(A)=P(A)。其中L论何度量论度、面论、论,。几体L(),加P(AB)=P(A)P(B)P(AB)法公式当P(AB),论~P(AB)=P(A)P(B),减P(AB)=P(A)P(AB)法公式当BA论~P(AB)=P(A)P(B)当A=Ω论~P()=P(B)BP(AB),条定论论A、B是事件~且两个P(A)>~论称论事件A论生件下~事件条件率概P(A)P(AB)P(BA)=B论生的件率~论论条概。P(A)条概概概条概件率是率的一论~所有率的性论都适合于件率。例如P(ΩB)=P(A)=P(BA)B,乘P(AB)=P(A)P(BA)乘法公式,法公式更一般地~论事件A~A~…A~若P(AA…A)>~论有nnP(AAAn)=P(A)P(A|A)P(A|AA)P(An|AA…………An)。,独事件的立性两个独立性P(AB)=P(A)P(B)ABAB论事件、论足~论事件称、是相互立的。独P(A)>AB若事件、相互立~且独~论有P(AB)P(A)P(B)P(B|A)===P(B)P(A)P(A)ABABABAB若事件、相互立~论可得到独与、与、与也都相互立。独必然事件和不可能事件Ø任何事件都相互立。与独Ø任何事件都互斥。与概与数率论理论论公式全,多事件的立性个独论ABC是三事件~如果论足立的件~个两两独条P(AB)=P(A)P(B)~P(BC)=P(B)P(C)~P(CA)=P(C)P(A)并且同论论足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那论A、B、C相互立。独论于n事件论似。个,全B,B,,,Bn论事件论足概公式B,B,,,BnP(Bi)>(i=,,,,n)两两互不相容~~nABi,i=~论有P(A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B),P(Bn)P(A|Bn)。,论叶BnBBA论事件~~…~及论足斯公式P(Bi)i=nBnBB~~…~两两互不相容~>~~~…~~niAB,P(A)>i=~~论P(B)P(AB)iiP(BA)=inP(B)P(AB)jj=j~i=~~…n。此公式论论论斯公式。即叶ni=i=P(B)P(BA)~~~…~,~通常叫先论率。概~~iin~…~,~通常论后论率。论斯公式反映了“因果”的率论律~作称概叶概并出了“由果朔因”的推。断n,伯我论作了次论论~且论足努利型概AA,每次论论只有论可能论果~两论生或不论生~nA,次论论是重论论行的~即论生的率每次均一论~概AA,每次论论是立的~每次论论独即论生否其他次论论与与论生否是互不与影的。响n论论论论论伯努利型~或论称概称重伯努利论论。pp=qPn(k)用表示每次论论论生的率~论概论生的率论概~用表示重nAAk(kn)伯努利论论中出论次的率~概AkknkPn(k)=pq~。k=,,,,,nCn第二章机论量及其分布随概与数率论理论论公式全,,离X论散型机论量离随的可能取论论X(k=,,…)且取各论的率~事件个概即k散型机论随(X=X)的率论概k量的分布P(X=x)=p~k=,,…~kk律X论上式论散型机论量称离随的率分布或分布律。有论也用分布列的形式论出概,Xx,x,,,x,,k|P(X=xk)p,p,,,pk,,。论然分布律论论足下列件,条kp=,~~,。pkk=,,,k=,论论型F(x)f(x)xX论是机论量随的分布函~若存在非论函数数~论任意论数~有随机论量的x分布密度F(x)=f(x)dx~f(x)XX论称论论论型机论量。随称论的率密度函或密度函~论率密度。概数数称概密度函具有下面数性论,个f(x)。f(x)dx=。,离P(X=x)P(x<Xxdx)f(x)dx散论论型与随机论量的P(X=xk)=pkf(x)dx论分元在论论型机论量理论中所起的作用随与在散型离论系随机论量理论中所起的作用相论似。,分x论论机论量~随是任意论~论函数数X布函数F(x)=P(Xx)称随论论机论量X的分布函~本论上是一累论函。数个数P(a<Xb)=F(b)F(a)(a,b可以得到X落入论区的率。分布概F(x)函数表示机论量落入论~随区–x的率。内概分布函具有如下性论,数F(x),~<x<F(x)F(x)F(x)x<x是论论不的函~减数即论~有~F()=limF(x)=F()=limF(x)=~~xxF(x)=F(x)F(x)~即是右论论的~P(X=x)=F(x)F(x)。F(x)=pk论于散型机论量~离随~xxkx论于论论型机论量~随。F(x)=f(x)dx,八分布P(X=)=p,P(X=)=q大分布概与数率论理论论公式全,p二论分布n在重论努里论论中~论事件论生的率论概。事件论生的次数AA,,,,,n是机论量~论论随~论可能取论论。XXkknk~其中P(X=k)=P(k)=Cpqnnq=p,<p<,k=,,,,,n~pX~B(n,p)n论机论量称随服论从参数~的二论分布。论论。Xkk当论~~~论就是,P(X=k)=pqn=k=分布~所以,分布是二论分布的特例。泊松分布论机论量随的分布律论Xkλλk=,,,()~~~λ>PX=k=e!kX~π(λ)论机论量称随服论从参数的泊松分布~论论或者P(λX)。λ泊松分布论二论分布的限分布极np=λ~n,。knk超何分布几,k=,,,lC•CMNMP(X=k)=,nl=min(M,n)CN随机论量X服论从参数n,N,M的超何分布~论论几H(n,N,M)。k几何分布~其中p~q=p。P(X=k)=qp,k=,,,,随机论量X服论从参数p的何分布~论论几G(p)。均分布匀f(x)X论机论量随的论只落在a~b~其密度函内数在a~b上论常数~即baaxb:,,f(x)=ba,其他~,,:X论机论量称随在a~b上服均分布~论论从匀X~U(a~b)。分布函论数~x<a~xa,baaxbxF(x)=f(x)dx=~x>b。x,x当ax<xb论~X落在论区,的率论内概xx。<<=PxXx()ba概与数率论理论论公式全,指分布数λxλe,x,x<f(x)=,,>λλ其中~论机论量称随X服论从参数的指分布。数X的分布函论数λxe,x,,F(x)=x<。论住论分公式,nxxedx=n!正论分布X论机论量随的密度函论数µ()xσ<x<()fx=e~~πσµµσ>σX其中、论常~论机论量数称随服论从参数、的正X~N(µ,σ)论分布或高斯Gauss,分布~论论。f(x)具有如下性论,f(x)x=µ的论形是论于论的~称µ()f=x=µ当论~论最大论~πσµX~N(µ,σ)(t)X若~论的分布函论数xσF(x)=edtπσ。。µ=X~N(,)σ=参数、论的正论分布论论称准正论分布~论论~x其密度函论论数()x=eπ<x<~~分布函论数tx()Φx=edt。πΦ(x)是不可求论函~其函论~数数已论制成表可供论用。Φ(x),Φ(x)且Φ(),。µXN(,)N(µ,σ)X如果~~论~。σµµxx:,:,P(x<Xx)=ΦΦ,,,,。σσ::::概与数率论理论论公式全,,分P(Xµ),αα位数下分位表,~P(X>µ),α上分位表,。α,函离散型X数分布已知的分布列论x,x,,,xn,,X~P(Xxi)=p,p,,,pn,,Y=g(X)y=g(x)ii的分布列互不相等,如下,g(x),g(x),,,g(x),,nYP(Yy)=i~p,p,,,pn,,g(xi)g(xi)pi若有某些相等~论论论论的将相加作论的率。概论论型先利用X的率密度概f(x)出写Y的分布函数F(y),XYP(g(X)y)~再利用论上下限论分的求论公式求出f(y)。Y第三章二论机论量及其分布随离散型ξ,论合分如果二论机随向量X~Y,的所有可能取论论至多可列布ξ个有序论x,y,~论称论散型机量。离随(x,y)(i,j=,,,)ξ论=X~Y,的所有可能取论论~ijξ(x,y)且事件{=}的率论概p,称ij,ijP{(X,Y)=(x,y)}=p(i,j=,,,)ijijξ论=X~Y,的分布律或论称X和Y的论合分布律。论合分布有论也用下面的率分布表表示,概来Yyy…y…jXxpp…p…jxpp…p…j,,,,,xp……iipij,,,,,论里p具有下面性论,两个ij,pi,j=,,…,~ijp=ij,ij概与数率论理论论公式全,论论型ξ=(X,Y)论于二论机随向量~如果存在非论函数f(x,y)(<x<,<y<)~使论任意一其论论个分论平行于坐论论的矩形域区D~即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有P{(X,Y)D}=f(x,y)dxdy,Dξξ论称论论论型机随并称向量~f(x,y)论=X~Y,的分布密度或论称X和Y的论合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面性论,两个,f(x,y),f(x,y)dxdy=,二论随ξ(X=x,Y=y)=ξ(X=x~Y=y)机论量的本论论X~Y,论二论机论量~论于任意论随数x,y,二元函数,论合分布函数F(x,y)=P{Xx,Yy}称随论二论机向量X~Y,的分布函~或论论机论量数称随X和Y的论合分布函数。分布函是一以全数个平面论其定论域~以事件的率论函论的一论论函概数个数{(ω,ω)|<X(ω)x,<Y(ω)y}分布函数F(x,y)具有以下的基本性论,F(x,y),,Fx,y,分论论x和y是非的~减即当x>x论~有Fx,y,F(x,y)当y>y论~有F(x,y)F(x,y),Fx,y,分论论x和y是右论论的~即F(x,y)=F(x,y),F(x,y)=F(x,y)F(,)=F(,y)=F(x,)=,F(,)=,,论于x<x~y<y~F(x~y)F(x~y)F(x~y)F(x~y),散离P(X=x~Y=y)P(x<Xxdx~y<Yydy)f(x~y)dxdy型论论型的与论系离散型X的论论分布论,论论分布==P=(PX)x(,pi,j=,,)i•iij~jY的论论分布论P=P(Y=y)=p(i,j=,,,)•jjij。i论论型X的论论分布密度论f(x)=f(x,y)dy~XY的论论分布密度论f(y)=f(x,y)dxY概与数率论理论论公式全,离散型在已知X=x的件下~条Y取论的件分布论条i,件条分布pij===~P(Yy|Xx)jipi•在已知Y=y的件下~条X取论的件分布论条jpijPXxYy(=|=)=,ijp•j论论型在已知Y=y的件下~条X的件分布密度论条f(x,y)f(x|y)=~f(y)Y在已知X=x的件下~条Y的件分布密度论条f(x,y)f(y|x)=f(x)X一般型F(X,Y)=F(x)F(y)XY,立独离散型性pp=pij•i•j有零不立独论论型f(x,y)=f(x)f(y)XY直接判断条~充要件,可分论量离正率密度论论概区矩形二论正论分布:,:,µρµµµx(x)(y)y,,,,,,,,,,,,σσσσ(ρ)::::=f(x,y)e,πσσρρ,随机论量的若X,X,…X,X,…X相互立~独h,g论论论函~论,数mmn函数hX~X,…X,和gX,…X,相互立。独mmn特例,若X与Y独立~论,hX,和gY,立。独例如,若X与Y独立~论,X和Y立。独概与数率论理论论公式全,:论机随向量X~Y,的分布密度函论数,二论均,匀分布(x,y)D,S=,Df(x,y),,其他,:其中S论域区D的面论~论称X~Y,服从D上的均分布~论论匀X~Y,,DUD,。例如论、论和论。yDOx论yDxO论ydDcabxO论概与数率论理论论公式全,论机随向量X~Y,的分布密度函论数,二论正论分布:,:,µρµµµx(x)(y)y,,,,,,,,,,,,σσσσρ()::::=f(x,y)e,πσσρµ,µσ>,σ>,|ρ|<其中是~论个参数称X~Y,服二论正论分布从~,µ,µσ,σ,ρ)论论X~Y,,N,由论论密度的论算公式~可以推出二论正论分布的论论分布两个仍论正论分布~µ,σ),Y~N(µσ)即X,N,µ,σ),Y~N(µσ)但是若X,N~(X~Y)未必是二论正论分布。,,函Z=XY根据定论论算,F(z)=P(Zz)=P(XYz)Z数分布论于论论型~f(z),f(x,zx)dxZ两个独立的正论分布的和仍论正论分布,。µµ,σσn相互立的正论分布的论性论合~个独从仍服正论分布。µ=Cµσ=Cσiiii~iiZ=max,min(X,X,X若相互立~其分布函分论论独数nX,X,…X)nF(x)~F(x),F(x)~论Z=max,min(X,X,…X)的分nxxxn布函论,数F(x)=F(x)•F(x),F(x)maxxxxnF(x)=F(x)•F(x),F(x)minxxxn概与数率论理论论公式全,X,X,,,X分布χ论n机论量个随相互立~且服论独从准正论分布~n可以论明它论的平方和nW=Xi=i的分布密度论nu:ueu,,n,n:,f(u)=,Γ,,,::,,u<:我论机论量称随W服从自由度论n的分布~论论W,χχ(n)~其中n:,nxΓ=xedx,,::所论自由度是指立正论机论量的~是机论量分布独随个数它随中的一重个参数要。分布论足可加性,论χYχ(n),ii论kZ=Y~χ(nn,n)iki=论X~Y是相互立的机论量~且两个独随t分布X~N(,),Y~χ(n),可以论明函数XT=Yn的率密度论概:,nΓn,,:,t::,,=ft(<t<)(),,nn:,::πnΓ,,::我论机论量称随T服从自由度论n的t分布~论论T,t(n)。t(n)=t(n)αα概与数率论理论论公式全,F分布论~且X与Y独立~可以论明X~χ(n),Y~χ(n)XnF=的率密度函论概数Yn:nn:,nnnΓ,,n,:,:,nn::,,,,,,yy,y,,,,f(y)=,nnnn:,:,::::ΓΓ,,,,,::::,,,y<:我论机论量称随F服第一从个自由度论n~第二个自由度论n的F分布~论论F,f(n,n)F(n,n)α=F(n,n)α第四章机论量的字特随数征离散型论论型,一论随期望论X是散型机论量~其分布离随论X是论论型机论量~其率密度论随概机论量f(x)~X=x期望就是平均论律论P(),p~k=,,kk的数…,n~字特E(X)=xf(x)dx征nE(X)=xpkk=k要求论论收论,要求论论收论,函的数期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)=g(x)pE(Y)=g(x)f(x)dxkk=k方差D(X)=xE(X)f(x)dxD(X)=EXE(X)~D(X)=xE(X)pkkk论准差σ(X)=D(X)~概与数率论理论论公式全,矩论于正整数k~机论量称随X论于正整数k~机论量称随X的k的k次论的数学期望论X的k论原次论的数学期望论X的k论原点矩~点矩~论论v,即论论v,即kkkkxpkkiiν=E(X)=,k=,,ν=E(X)=xf(x)dx,kki…k=,,…论于正整数k~机论量称随X论于正整数k~机论量称随X与与EX,差的k次论的数学期EX,差的k次论的数学期望论Xµµ望论X的k论中心矩~论论的k论中心矩~论论~~即kk即k(())µ=EXEXkk(())µ=EXEXkk=(xE(X))f(x)dx,k(xE(X))pii=~ik=,,…k=,,…切比雪夫不等式论机论量随X具有数学期望EX,=μ~方差DX,=σ~论论于任意正数ε~有下列切比雪夫不等式σµεP(X)ε切比雪夫不等式论出了在未知X的分布的情况概下~论率P(Xµε)的一论论~在理论上有重估它要意论。,E(C)=C,期,E(CX)=CE(X)望的nn性论E(CX)=CE(X),E(XY)=E(X)E(Y)~iiii==ii,E(XY)=E(X)E(Y)~充分件,条X和Y独立~充要条件,X和Y不相论。,D(C)=~E(C)=C,方,D(aX)=aD(X)~E(aX)=aE(X)差的,D(aXb)=aD(X)~E(aXb)=aE(X)b性论,D(X)=E(X)E(X),D(XY)=D(X)D(Y)~充分件,条X和Y独立~充要条件,X和Y不相论。D(XY)=D(X)D(Y)E(XE(X))(YE(Y))~无件成立。条而E(XY)=E(X)E(Y)~无件成立。条期望方差,常论pB(,p)p(p)分布分布npB(n,p)np(p)二论分布的期P(λ)泊松分布λλ望和方差G(p)几何分布ppp概与数率论理论论公式全,nM超何分布几nMMNn:,:,,,,,H(n,M,N)NNNN::::abU(a,b)均分布匀()bae(λ)指分布数λλµ正论分布N(µ,σ)σnnχ分布nt分布(n>)n期望,n二论随E(X)=xf(x)dxXEX()=xp机论量ii•的数i=字特n征E(Y)=yf(y)dyYE(Y)=yp•jj=j函的数期望EG(X,Y)EG(X,Y),,G(x,y)pijijijG(x,y)f(x,y)dxdy,,方差D(X)=xE(X)f(x)dxXD(X)=xE(X)pi•iiD(Y)=yE(Y)f(y)dyYD(Y)=xE(Y)pjj•j论方差论于机论量随X与Y~论的二论称它混合中心矩论X与Y的论方差µ或相论矩~论论~即σ或cov(X,Y)XYσ=µ=E(XE(X))(YE(Y))XY与号论论相论论~X与Y的方差DX,与DY,也可分论论论σσXXXY与。σYY概与数率论理论论公式全,相论系数论于机论量随X与Y~如果DX,>,D(Y)>~论称σXYD(X)D(Y)ρ论X与Y的相论系~论作数有论可论论论,。ρXYρρ||~当||=论~称X与Y完全相论,P(X=aYb)=ρ=>正相论~当论(a)~:完全相论,论相论~当论ρ(a)~=<:ρ=而当论~称X与Y不相论。以下五命个论是等价的,~ρ=XYcov(X,Y)=E(XY)=E(X)E(Y)D(XY)=D(X)D(Y)D(XY)=D(X)D(Y)论方差矩论σσ:,XXXY,,,,σσYXYY::kl混合矩论于机论量随X与Y~如果有存在~论之论称X与Y的E(XY)νkl论混合原点矩~论论~kl论混合中心矩论论,klklu=E(XE(X))(YE(Y))kl(i)cov(X,Y)=cov(Y,X),论方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)差的cov(XX,Y)=cov(X,Y)cov(X,Y)(iii)性论(iv)cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),ρ=i,若机论量随X与Y相互立~论独~反之不。真XY独立和不,若X~Y,,N,~iiµ,µ,σ,σ,ρ相论论X与Y相互立的独条充要件是X和Y不相论。第五章大定律和中数极心限定理概与数率论理论论公式全,切比雪论机论量随X~X~…相互立~均具有有限方差~且独被同一,大定律数夫大数常数C所界,DX,<C(i=,,…),论论于任意的正数ε~有iXµ定律nn:,,,limPXE(X)<ε=ii,,nnn==ii::特殊情形,若X~X~…具有相同的数学期望EX,=μ~论上式成论In:,,,limPXµ<ε=i,,nn=i::伯努利论μ是n次立论论中事件独A论生的次~数p是事件A在每大定数次论论中论生的率~论论于任意的正概数ε~有律:,µ,,limPp<ε=,,nn::伯努利大定律论数当数明~论论次n大论~事件很A论生的论率率有论大与概很即判论的可能性小~:,µ,,limPpε=,,nn::论就以论格的形式描述了论率的论定性。数学辛论大论X~X~…~X~…是相互立同分布的机论量序列~且独随n数定律EX,=μ~论论于任意的正数ε有nn:,,,limPXµ<ε=i,,nn=i::列论,论机论量随X~X~…相互立~服同一分布~且具有独从,中心极限定林德伯相同的数学期望和方差,理格定理~论机论量随E(X)=µ,D(X)=σ(k=,,,)σkkXN(,)µnnµXnk=kY=nnσ的分布函数F(x)论任意的论数x~有n::µn,,Xntk=,,xklimF(x)=limPx=edt,,nσπnnn,,,,此定理也论称独立同分布的中心极限定理。::棣莫弗X论机论量随论具有参数n,p(<p<)的二论分布~论论于任意论n,拉普数x,有拉斯定t::理Xnp,,xn=limPx=edt,,nπnp(p),,::概与数率论理论论公式全,,二论定理M若当~论N论,p(n,k不论)NknkCCkknkMNM(N)Cp(p)nnCN超何分布的限分布论二论分布。几极,泊松定理n论,npλ>若当~论kλλkknk(n)()Cppen!k其中k=~~~…~n~…。二论分布的限分布论泊松分布。极第六章论本及抽论分布论体在理论论中~常数个个体称把被考察论象的某一或多,指论的全,理数论论或母,。我论论是体体体个随把论看成一具有分布的机论量论论的基本概或机随向量,。念个体论中的每一论元论论体个称个体品或,。论本x,x,,,x我论把从体论论中抽取的部分论品称论论本。论本中所含n的论品数称论论本容量~一般用n表示。在一般情况下~论是把论本看成是n相互立的且论有相同分布的论机论量~论论的论个独与体随x,x,,,x本论论论论机论本。在称随泛指任一次抽取的论果论~表n示n机论量论本,~在具的一次个随体抽取之后~x,x,,,x表示n具的论论本论,。我论之论论本的个体数称两n重性。论本函和论论数x,x,,,x论论论的一论本~体个称n量=x,x,,,x,n论论本函~其中数论一论论函。如果个数中不包含任何未知x,x,,,x参数称~论,论一论论量。个n概与数率论理论论公式全,n常论论论量及其性论x=x论本均论in=inS=(xx)论本方差in=in论本论准差S=(xx)in=i论本k论原点矩nkM=x,k=,,,kin=i论本k论中心矩nk′M=(xx),k=,,,kini=σDX~~E(X)=µ()=nnES~,σE(S)=σ(*)=nnS*=(XX)其中~论二论中心矩。ini=正论分布,正论论x,x,,,x论论来体自正论论的一论本~论论本函个数N(µ,σ)n体下的四µdefx大分布u~N(,)σnt分布x,x,,,x论论来体自正论论的一论本~论论本函个数N(µ,σ)nxdefµt~t(n),sn其中t(n)表示自由度论n的t分布。x,x,,,xχ分布论论来体自正论论的一论本~论论本函个数N(µ,σ)ndef(n)Sw~χ(n),σ其中表示自由度论n的分布。χχ(n)概与数率论理论论公式全,F分布x,x,,,x论论来体自正论论的一论本~而个N(µ,σ)ny,y,,,y论来体自正论论的一论本~论论本函个数N(µ,σ)ndefσSF~F(n,n),Sσ其中nnS=(xx),S=(yy)iinni=i=表示第一自由度论~第二自由度论F(n,n)n的F分布。n,正论论与独立。SX体下分布的性论第七章论参数估概与数率论理论论公式全,矩估论,θ,θ,,,θ论论体X的分布中包含有未知数~论其分布函可以表成数m点论估kF(xθ,θ,,,θ)它的k论原点矩v=E(X)(k=,,,,m)mkθ,θ,,,θv=v(θ,θ,,,θ)中也包含了未知参数~即。又论mkkmx,x,,,x论论体X的n论本论~其论本的个k论原点矩论nnk(k=,,,,m)xin=i论论~我论按照“等于其论量论~论当参数估体矩等于相论的论本矩”的原论建立方程~有即n:θθθv(,,,,)=x,mi,ni=,,n,θθθv(,,,,)=x,mi,n,i=,,,,,,,,,,,,,,nm,v(θ,θ,,,θ)=xmmi,ni=:由上面的m方个程中~解出的m未个参数知即参论论(θ,θ,,,θ)mθ,θ,,,θ数,的矩估论量。mˆg(x)g(θ)若论的矩估论~论论论函~论数论的矩估论。g(θ)θθ概与数率论理论论公式全,极大似f(xθ,θ,,,θ)当体论论X论论论型机论量论~论其分布密度论随~m然论估x,x,,,xθ,θ,,,θ其中论未知参数。又论论论的一论本~体个称nmnL(θ,θ,,,θ)=f(xθ,θ,,,θ)mim=i论论本的似然函~论论论数Ln当体论论X论型机论量论~论其分布律论离随P{X=x}=p(xθ,θ,,,θ)~论称mnL(x,x,,,xθ,θ,,,θ)=p(xθ,θ,,,θ)nmim=i论论本的似然函。数L(x,x,,,xθ,θ,,,θ)若似然函数在论nmθ,θ,,,θmθ,θ,,,θ取到最大论~论称分论论的最大似然论论~相估mθ,θ,,,θm论的论论量论称估最大似然论量。lnLn=,i=,,,,mθiθ=θiiˆg(x)g(θ)若论的大似然论~极估论论论函~论数论的大似极g(θ)θθ然论。估无偏性,论论未知参数的论量。若估E,=~论称θ=θ(x,x,,,x)估论量θθθn的论论论论的无偏估论量。准θθE,=EX,~ES,=DX,X有效性论和是未知参数θ=θ(x,x,,,,x)θ=θ(x,x,,,,x)θnn的无两个估偏论量。若~论称有效。D(θ)<D(θ)θ比θ一致性ε论是的一串估数论量~如果论于任意的正~都有θθnlimP(|θθ|>ε)=,nn论称论的一致估估论量或相合论量,。θθnˆ若论的无偏估论~且论论的一致估论。D(θ)(n),θθθθ只要论的体E(X)和D(X)存在~一切论本矩和论本矩的论论函都是相论论数体的一致估论量。概与数率论理论论公式全,置信区论,x,x,,,,x论论体X含有一个估参数待的未知。如果我论论本从出论~θn和置信区估论论论θ=θ(x,x,,,,x)θ=θ(x,x,,,,x)找两个出论论量与nn度α(<α<)~使得论区以的率包含论概个估待(θ<θ)θ,θ参数~即θP{θθθ}=α,那论论称区论的置信区论~论论论的区置信度或置信水θ,θθα平,。论正论论体x,x,,,,x论论论体的一论本~在个置信度论下~X~N(µ,σ)αn的期望我论定来确的置信区论。具步论如下,体θ,θµ和σ和方差的论区i,论论论本函~数估论ii,由置信度~论表分找数位~αiii,论出置信区论。θ,θ已知方差~论均论估i,论论论本函数µxu~N(,)=σn(ii)论表分找数位:,xµ,,Pλλ=α,,nσ::iii,论出置信区论σσx,xλλ,,nn未知方差~论均论估i,论论论本函数xµt=~t(n)Sn(ii)论表分找数位:,xµ,,Pλλ=α,,Sn::iii,论出置信区论SSxxλ,λ,,nn概与数率论理论论公式全,方差的论论论区估i,论论论本函数(n)Sw=~κ(n)σii,论表分找数位:,()nS,,λλ=αP,,σ::σiii,论出的置信区论nnSS,,,λλ第八章假论论论基本思想假论论论的论论思想是~率概很会小的事件在一次论论中可以论论基本上是不论生的~即概小率原理。论了论论一个假论H是否成立。我论先假定H是成立的。如果根据论个假定论致了一不合理的事件论生~那就表个来明原的假定H是不正的~我论确拒论接受H~如果由此有论出不合理的论没象~论不能拒论接受H~我论称H是相容的。与H相论的假论论论论称假论~用H表示。{KR}论里所论的小概率事件就是事件~其率就是论论概水平α~通常我α论取α=~有论也取或。基本步论假论论论的基本步论如下,提出零假论H~(i)论论论论量K~(ii)(iii)论于论论水平α论表分找数位λ~x,x,,,x由论本论论算论论量之论K~(iv)n将论行比论~作出判断当,论否定H~否论论论H相容。|K|>λ(或K>λ)K与λ两论论论第一论论论当H论论~而论本论却落入了否定域~真按照我论论定的论论法论~论否定当H。论论~我论把客论上H成立判论H论不成立否即定了论的真称真当假论,~论论论论论“以假”的论论或第一论论论~论α论犯此论论论的率~概即αP{否定H|H论真}=~此论的α恰好论论论水平。第二论论论当H论论~而论本论却落入了相容域~真按照我论论定的论论法论~论当接受H。论论~我论把客论上H。不成立判论H成立即接受了不论的真称当真假论,~论论论论论“以假”的论论或第二论论论~β论论犯此论论论的率~概即βP{接受H|H论真}=。概与数率论理论论公式全,两论论论的论系人论然当两概很当希望犯论论论的率同论都小。但是~容量ββααn一定论~论小~论论大~相反地~论小~论论大。取βα定要想使论小~论必论增加论本容量。在论论使用论~通常人论只能控制犯第一论论论的率~论概即定论著性水平α。α大小的论取论根据论论情况当宁而定。我论可“以假论”、而不真真当愿“以假”论~论论把α取得很小~如~甚至。反之~论论把α取得大些。论正论论均论和方差的体假论论论条件零假论论论量论论论本否定域函分布数N~,H:µ=µ已知|u|>uµxσαU=σnH:µµu>uαH:µµu<uαt(n)x未知H:µ=µ|t|>t(n)σµαT=SnH:µµt>t(n)αH:µµt<t(n)ακ<αw(n)未知κ(n)H:σ=σσ或(n)Sw=σw>κ(n)αH:σσw>κ(n)αH:σσw<κ(n)α概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,概与数率论理论论公式全,

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