同济大学高等数学《导数及其应用》word教案

同济大学高等数学《导数及其应用》word教案 第 9 次课 2 学时 上次课复习: 本次课题(或教材章节题目):第二章 导数与微分 第一节 导数的概念 教学要求: 理解导数的定义，理解导数的几何意义，掌握函数在一点可导与连续的区 别，会利用导数的定义求一些简单函数的导数 重 点:导数的定义，可导与连续的联系和区别 难 点:导数的定义及不同形式的掌握 教学手段及教具:板演式，使用电子教案 讲授内容及时间分配: 引例 15分钟 导数的定义 25分钟 倒数的几何意义 10分钟 连续与可导的关系 15分钟 求导举例 35分钟 课后作业 习题 2---1 3 4 5 (5 7) 9 11 12 13 15 18 参考资料 高等数学同步精讲一 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 51 第 页 第二章 导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。 ?2、1 导数的概念 一、 引例 1、 切线问题:切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点的切线是割线当沿该曲线无限地接近于点的极PPPQQ 限位置。 P设曲线方程为，设点的坐标为，动点的坐标为，要求出曲线p(x,y)y,f(x)QQ(x,y)00 kkPP在点的切线，只须求出点切线的斜率。由上知，恰好为割线的斜率的极限。我们不难PQ f(x),f(x)0k求得的斜率为:;因此，当时，其极限存在的话，其值就是，即PQP,Qx,x0 fx,fx()()0k,lim。 x,x0x,x0 k,tan,若设,为切线的倾角，则有。 t2、速度问题:设在直线上运动的一质点的位置方程为(表示时刻)，又设当为时刻时，s,s(t)tt0 s,s(t)t,t位置在处，问:质点在时刻的瞬时速度是多少, 00 tt,tt,tt为此，可取近邻的时刻，，也可取，在由到这一段时间内，质点的平均速tt0000 s(t),s(t)s(t),s(t)00tt度为,显然当与越近，用代替的瞬时速度的效果越佳，特别地，当t00t,tt,t00 52 第 页 s(t),s(t)0时，某常值，那么必为点的瞬时速度，此时， t,tvvt,0000t,t0 st,st()()0 v,lim0t,t0t,t0 二、 导数的定义 f(x),f(x)0综合上两个问题，它们均归纳为这一极限(其中为自变量在的limx,xxx00x,x0x,x0 增量，为相应的因变量的增量)，若该极限存在，它就是所要讲的导数。 f(x),f(x)0 ,x定义:设函数在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量(xxx，,xy,f(x)000 f(x),f(x),y0lim仍在该邻域中)时，函数相应地有增量，若增量比极限:即存在，lim,y,x,0x,x0,xx,x0 ,就称函数 在x处可导，并称这个极限值为在点的导数，记为，x,xf(x)yfx,()y,f(x)000 dydf,，或。 yx,xx,xx,x000dxdx fx,fx()()0,fx,即等等，这时，也称在点可导或有导数，导数存在。 x,x()limy,f(x)00x,x0x,x0 fx，,x,fx()()00,fx,()lim注 1:导数的常见形式还有:; 0,x,0,x fxhfx(，),()00,fx(),lim ; 0h,0h fxfxh(),(,)00,,xfx(),lim ; (h即自变量的增量) 0h,0h dy,y,fx(),[x,x]x 2:反映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，它反x,x000,xdx x,x映了函数y,f(x)随而变化的快慢程度。 0 dydfdydf 3:这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与分母dydfx,xx,x00dxdxdxdx dx，待到后面再讨论。 f(x),f(x),y0limlimx,xy,f(x) 4:若极限即不存在，就称在点不可导。特别地，0,x,0x,x0,xx,x0 53 第 页 y,若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，lim,,x,xxy,f(x)y,f(x),00,x,0x, 它是垂直于轴的直线。 x,xx0 ,x,I若在开区间内的每一点处均可导，就称在内可导，且对，均IIy,f(x)y,f(x) ,,有一导数值，这时就构造了一新的函数，称之为在内的导函数，记为，If(x)y,f(x)y,f(x) dydf(x),或，，等。 ydxdx fx，,x,fxfxhfx()()(，),(),,y,y事实上， 或 lim,lim,x,0h,0,xh ,xh注 5:上两式中，为I内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量。但x 在导函数中，是变量。 x ,, 6:在的导数就是导函数在点的值，不要认为是x,xf(x)x,xy,f(x)y,f(x)000,; [()]fx0 , 7:为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数。 f(x)x00 f(x),,Alim【例1】 设，证明欲，那么。 f(0),0A,f(0)x,0x ()(0)()()(0)fx,ffxfx,flim,,,A证明:因为 x,000x,xx, ,所以。 A,f(0) f(x，h),f(x,h)00,【例2】 若在x点可导，问:, f(x)0h f(xh)f(xh)f(xh)f(x)f(x)f(xh)，,,，,,,000000,，解: hhh ,,,,f(x)，f(x),2f(x)。 000 f(x，h),,f(x,h)00,,f(x)反过来，亦证明:。 02h 三、 求导数举例 c【例1】求函数f(x),c(为常数)的导数。 ()()fxhfxcc，,,,,()c,0lim0fx(),,,解: 即 h,0hh 54 第 页 注:这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0。 f(x),c n【例2】求(为正整数)在点的导数。 nx,af(x),x nnx,an,1n,2n,2n,1n,1n,1,,解:即， f(a),lim,lim(x，ax，？？，ax，a),naf(a),nax,ax,ax,a nn,1nn,1,,,亦即，若将视为任一点，并用代换，即得 (x),naaxf(x),(x),nxx,a ,,,1,注:更一般地，(为常数)的导数为，由此可见， ,f(x),xf(x),,x 1111,,, (),,(x,0)。 (x),2xx2x 【例3】 求在点的导数。 x,af(x),sinx sinx,sina,,f(a),lim,cosa解: ,即(sinx),cosa x,ax,ax,a ,,为任意值，并用代换，使得，即。 同理:若视axf(x),cosx(sinx),cosx ,注:同理可证:。 (cosx),,sinx x【例4】 求的导数。 f(x),a(a,0,a,1) ，xhxhfxhfxaaa(，),(),,1x,fxa解: (),lim,lim,,lim,0,0,0hhhhhhh,,,1a令,11xxxx,alim,alim,a,,alna 1,,,,00,log(1，)logeaa,,log(1，)a xx,所以。 (a),alna xx,注:特别地，。 (e),e f(x),logx(a,0,a,1)【例5】 求的导数。 a hlog(1，)axhxfxhfxlog(，),log(，),()xaafx解:, (),lim,lim,lim,0,0,0hhhhhh x1h11hlimlog(1)loge,,，,,。 aa,0hxxxxlna 55 第 页 x注 1:等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导; alogxa 2:一般地说，求导有四步: ,x一、给出; 二、算出; ,y ,y三、求增量比; ,x 四、求极限。 1,3、(lnx),。 x x,0【例6】 讨论在处的导数。 f(x),x hf(0，h),f(0)limsgnhx,0解:考虑，由?1.4例4知不存在，故在xlim,lim,limsgnhh,0h,0h,0h,0hh 点不可导。 limsgnh,,1limsgnh,1 然而，及，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若h,0,0h,0，0 fxhfxfxhfxfx,fx(，),()(，),()()()00000limlim，即[即 limh,，h,,0000x,x，00hhx,x0 fx,fx()()0 ]存在，就称其值为在点的右(左)导数，并记为limx,xf(x)0x,x,00x,x0 fx，h,fxfx,fx()()()(),,,000f(x)(f(x))fx,,，即 ()limlim，0,00，h,0，0x,x，00hx,x0 fx，h,fxfx,fx()()()(),000fx,, []。 ()limlim0,000h,,x,x,0hx,x0 x,xx,x定理1:在点可导在点的左导数和右导数均存在且相等，即 f(x)f(x),00 ,,f(x),f(x) 。 ,0，0 x,0,1,1注1:[例6]的左导数为-1，右导数为1。因为，所以在点不可导; f(x) 2:[例6]也说明左可导又右可导，也不能保证可导; 3:左、右导数统称为单侧导数; ,,x,bf(a),f(b)x,af(x)(a,b) 4:若在内可导，且在点右可导，在点左可导，即存在，，, f(x)[a,b]就称在上可导。 56 第 页 四、导数的几何意义 ,由前面的讨论知::函数在的导数就是该曲线在点处x,xf(x)x,xy,f(x)000 ,,k的切线斜率，即，或为切线的倾角。从而，得切线方程k,f(x)f(x),tan,,,00 ,,,,为。若，或 切线方程为:,,,y,y,f(x)(x,x)f(x),,,,000022 。过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线。如Px,xP(x,y)Py,f(x)0000 1,,0果，法线的斜率为，此时，法线的方程为:f(x),0,f(x)0 1。 y,y,,(x,x)00,f(x)0 , 如果=0，法线方程为。 f(x)x,x00 3【例7】 求曲线在点处的切线与法线方程。 P(x,y)y,x00 2323,解:由于，所以在处的切线方程为: (x),3x,3xP(x,y)y,xx,xx,x00000 2 y,y,3x(x,x)000 1y,y,,(x,x) 当时，法线方程为: x,000023x0 x,0 当时，法线方程为: 。 x,00 11,,y,【例8】求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。 ，2,,x2,, 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,11,,,,ky,y,,,，1 由于 于是 1,,2,xxx2,, 1 从而所求的切线方程为 k,,,,4121xx,2 1yx,,,,24() 即440xy，,, 2 11所求的法线斜率为 于是所求的法线方程为 k,,,2k41 11,,28150xy,，, ，即 yx,,,2,,42,, 57 第 页 五 函数的可导性与连续性的关系 定理2:如果函数在点可导，那么在该点必连续。 x,xy,f(x)0 ,y,证明:由条件知:是存在的，其中， lim,f(x),x,x,x,,y,f(x),f(x)000,x,0,x ,y,, 由?1、5定理1(i) (为无穷小) ,,f(x)，,,,y,f(x),x，,,x,00,x ,x,0 显然当时，有，所以由?1、9定义1:，即得函数在x,x,y,0y,f(x)0点连续，证毕。 注:本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。 x,0 反例:在点连续，但不可导。 y,x x,ex,0x,0【例9】 求常数使得在点可导。 f(x),a,b,ax，bx,0, limf(x),limf(x),f(0)x,0解:若使在点可导，必使之连续，故 f(x)x,0，x,0, 0 。 ,e,a,0，b,b,1 x,0 又若使在点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存f(x) 00x()e,eax，b,e0,,(0)limf,,af(0),lim,e,1在的，且， ，,x,,,，00x0x,x,0 ,,a,1x,0 所以若有，则，此时在点可导，所以所求常数为 f(0),f(0)f(x),， a,b,1 。 由以上讨论知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。 小结 本节讲述了导数的定义、导数的几何意义、函数可导和连续的关系。同学们一定要掌握和理解导数的定义，并会用定义求一些简单函数的导数。 58 第 页 第 10 次课 2 学时 上次课复习:导数的定义 导数的几何意义 函数的可导与连续的关系 导数定义的几种不同形式 本次课题(或教材章节题目)第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 教学要求: 掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的的求导公式 会计算初等函数的导数 重 点:求导法则 难 点:法则的证明 教学手段及教具:板演式教学，以讲授为主，使用电子教案 讲授内容及时间分配: 函数和、差、的求导法则 15分钟 函数的积的求导法则 15分钟 函数的商的求导法则 25分钟 运算法则的应用举例 25分钟 处理习题1 ----11 20分钟 课后作业 习题 2—2 2、(2 5 8 12 14 19) 3、(3) 参考资料 高等数学同步精讲一书 59 第 页 ?2、2函数的和、差、积、商的求导法则 上一节学习了导数定义，利用定义可求一些简单的函数的导数。但对比较复杂的函数直 接用定义求导往往很困难。下面介绍求导数的几个基本法则和公式。 法则 1:若函数和在点都可导，则在点也可导，且 xxf(x),u(x),v(x)u(x)v(x)00 ,,, 。 f(x),u(x),v(x)000 即两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)。 fx,fxux,vx,ux,vx()()[()()][()()]000证明:, limlimx,xx,x00x,xx,x00 ux,uxvx,vx()()()()00,, =,= u(x),v(x)limlim00x,xx,x00x,xx,x00 ,,, 所以。 f(x),u(x),v(x)000 注 ?:本法则可推广到任意有限个可导函数的情形。 ,,, ?:本法则的结论也常简记为。 (u,v),u,v ,,,,uvwuvw，,,，, 例如 ，， 法则2:若和在点可导，则在点可导，且有x,xxu(x)v(x)f(x),u(x)v(x)00 ,,,f(x),u(x)v(x)，u(x)v(x)。 00000 fx,fxuxvx,uxvx()()()()()()000,证明: limlimx,xx,x00x,xx,x00 uxvx,uxvx，uxvx,uxvx()()()()()()()()0000 = limx,x0x,x0 ux,uxvx,vx()()()()00vx，uxlim()lim() = 0x,xx,x00x,xx,x00 ux,uxvx,vx()()()()00vx，uxlimlim()()lim = 0x,xx,xx,x000x,xx,x00 ,,u(x)v(x)，u(x)v(x) = 0000 ,,,f(x),u(x)v(x)，u(x)v(x)即 00000 60 第 页 函数积的求导法则:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘 积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。 ,, 注 ?:若取为常数，则有:; v(x),c(cu),cu ?:本法则可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如: ,,,, (uvw),uvw，uvw，ucw ,,,,, 等。 (uvws),uvws，uvws，uvws，uvws u(x)法则3:若都在点可导，且，则在点也可导，且x,xv(x),0xf(x),u(x),v(x)000v(x) ,,u(x)v(x),u(x)v(x)0000,f(x),。 02v(x)0 u(x)u(x)0,f(x),f(x)v(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)0000证明: lim,lim,limx,xx,xx,x000x,xx,x(x,x)v(x)v(x)0000 ux,uxvx,vx()()()()1100,ux = lim[()]0x,x0x,xvxx,xvxvx()()()000 11,,u(x),u(x)v(x) = 0002v(x)v(x)00 ,,u(x)v(x),u(x)v(x)0000 = 2v(x)0 ,,u(x)v(x),u(x)v(x)0000,f(x),即 02v(x)0 函数商的求导法则:两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的 导数与分子的乘积，再除于分母的平方。 11f(x),u(x),注?:本法则也可通过，及的求导公式来得; []v(x)v(x) ,,uuv,uv,(),:本公式简化为?; 2vv x?:以上法则1~3中的，若视为任意，并用x代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数0 公式。 2,f(x),x，2x,【例1】 设，求f(x)。 x 222111,,,,,f(x),(x，2x,),(x)，(2x),(),1，,,2(,),解: 322xxxx 61 第 页 11。 ,1，，3xx x,【例2】 设，求。 f(x)f(x),xelnx xxxx,,,,,解: f(x),(xelnx),(x)elnx，x(e)lnx，xe(lnx) 1xxxxexxexxe。 ,ln，ln，,,e(1，lnx，xlnx)x ,【例3】 求 yx,tany 解 22,,,sincossincosxxxx,，，，，sinsincos1xxx，,,2,,yxx,,,,,,tansec，，,,x222coscoscoscosxxx,, 2,tansecxx,即 正切函数求导公式 ，， ,【例4】 求 yx,secy ,,,1cos1cosxx, ，，，，1sinx,,,, 解yxxx,,,,,secsectan，，,,22coscoscosxxx,, ,secsectanxxx,即 正割函数求导公式 ，， 用类似的方法，还可求得余切函数及余割函数的求导公式: 2,cotcsc,,x ，， ,csccsccotxxx,, ，， 62 第 页 第 13 次课 2学时 上次课复习:导数的四则运算法则 基本初等函数的求导公式 本次课题(或教材章节题目):第三节反函数的导数、复合函数的求导法则 教学要求: 掌握反函数的求导法则，掌握复合函数的求到发则，会求常见的反函数和 复合函数的导数，会求初等函数的导数 重 点: 反函数的求导 复合函数的求导 难 点: 复合函数的求导 教学手段及教具:板演式教学，使用电子教案 讲授内容及时间分配: 反函数的求导法则 20分钟 复合函数的求导法则 30分钟 反三角函数和对数函数的导数 20分钟 复合函数的求导法则应用举例 20分钟 课后作业 习题2---3 1 (7、9、10) 2(7、8、9、10)3 (5、7、8) 4 5 参考资料 高等数学同步精讲一书 注:本页为每次课教案首页 63 第 页 ?2.3 反函数的导数、复合函数的求导法则 一、反函数的导数 定理1:设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且yy,f(x)x,,(y),(y)0 1,,，则在(即点有导数)，且。 f(x),,(y),0xf(y)f(x)0000,,(y)0 fx,fxy,y()()100,,limlimlim证明: x,xy,yy,yy,y,(),()000x,xy,y()(),,000 y,y0 111,,, , 所以 f(x),。 0,,(y),(y),,,(y),(y)000limy,y0y,y0 注?:，因为在点附近连续，严格单调; x,x,y,yy,(y)000 1dy1dydx,?:若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整 x,xf(x),,0dx,dx,(y)dxdy()dy体记号，各代表不同的意义; ,, ?:和的“′”均表示求导，但意义不同; f(x),(y) ?:定理1即说:反函数的导数等于直接函数导数的倒数; ?:注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】 求的导数， y,arcsinx 22x,siny,y,[,,]解:由于，是的反函数，由定理1得: y,arcsinx,x,[,1,1],, 1111,(arcsinx),,,,。 22,(siny)cosy1,siny1,x 111,,,(arccosx),,,(arctanx),,(arcctanx),,注?:同理可证:; 2221，x1，x1,x ,arcsinarccosarctantanx，x,x，arccx, ?:。 2 y,logx【例2】 求(a,0,a,1)的导数。 a 解:利用指数函数的导数，自己做。 64 第 页 二、复合函数的求导公式 22xxlntanx到目前为止，对于 ，，那样的函数我们还不知其可导否，若可导sine1，x 怎样求导数。这就是要学习的复合函数的求导问题。 复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题:1.是否可导 2.即使可导，导数如何求,复合函数的求导公式解决的就是这个问题。 定理2(复合函数求导法则):如果在点可导，且在 x,xu,u,,(x)u,,(x)y,f(u)000 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数y,f(u)u,,(x) dy,,,,,在点可导，且，或 ,f(u),(x)[f(,(x))]f(u),(x)x,x,y,f(,(x))x,x00x,x00000dx fx,fxfu,fux,x,(()),(())()(),(),()000,,证明: limlimx,xx,x00x,xu,ux,x000 fu,fux,x()(),(),()00,,,== f(u),(x)limlim,00u,ux,x00u,ux,x00 ,,,。 所以[f(,(x))]，,,f(u),(x)00 注 ?:若视为任意，并用代替，便得导函数: xx0 ,df((x)),,,,,f(,(x)),(x),,，或 [f(,(x))]f(,(x)),(x),,dx dydydu,,或。 dxdudx ,, ?:与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导。 xf(,(x))[f(,(x))]u,,(x)?:注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。 ?:复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如: ,,,,等。 [f(g(h(x)))],f(g(h(x))),g(h(x)),h(x) 1y,arctan】 求【例3的导数。 x 11arctanuy,arctanu,解:可看成与复合而成， xx 1111111,,,,,y,(arctan),,(,),,(arctanu),(),,，， 。 22221xx1，x1，uxx21，()x ,,【例4】 求(为常数)的导数。 y,x ,,lnxuu,,,v,v,lnx解:是，复合而成的。 y,x,ey,e 65 第 页 11,,u,,,1,,,,,所以。 y,x,e,,v,x,e,,,,,,,x,,,x()()()(ln)xx 这就验证了前面?2、1的[例4]。 由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导;(ii)复合函数的分解; (iii) 复合函数的求导公式;只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的复合过程非常熟悉，可 不必写出中间变量，而直接写出结果。 2,【例5】，求。 yy,1,x 111x2222,,,,解。 y,(1,x),[(1,x)],,,(1,x),,2221,x1,x 1,sinx,【例6】，求。 yy,e ,1(1,sinx)1,sinx1,sinx1,sinx,,,解: y,(e),e,(1,sinx),e,,21,sinx 1,cos1cosxx1,sinx1,sinx。 ,,,,ee221,sin1,sinxx 2,【例7】，求。 yy,arcsin(2cos(x,1)) 122,,,解: y,(arcsin(2cos(x,1)),(2cos(x,1))221[2cos(1)],x, 122,= ,2[,sin(x,1)],(x,1)2214cos(1),x, 22,2sin(x,1)4xsin(x,1),2x,,=。 22221,4cos(x,1)1,4cos(x,1) x,y,ln(ln(lntan))【例8】，求。 y2 1x11x,,,解: y,,(ln(lntan)),,(lntan)xxx22ln(lntan)ln(lntan)lntan222 111x1111x,, (tan)(),,,,,,,,,xxxxxxx222ln(lntan)lntantanln(lntan)lntantancos2222222 11111111,,,,,,,,。 xxxxxx2sinx2costanlntanlnlntanlntanlnlntan222222 66 第 页 x,xe,e11x,xx,x,,,,,【例9】 shx,(),(e,e),[(e),(e)]22211x,x， ,,[e，e]x,x22[e,e(,1)] ,,shx,chxchx,shx即。同理，。 2,【例10】，求。 yy,ln(x，1，x) 122,,,y,[ln(x，1，x)],,(x，1，x)解: 2x，1，x1112,,[1，(1，x) 222x，1，x1，x 112x1,,(1，),,(arshx)。 2222x，1，x1，x1，x 12,,(ln(x，x,1),,(archx)同理: 。 21x, 67 第 页 第 14 次课 2 学时 上次课复习: 本次课题(或教材章节题目):第四节 初等函数的导数、双曲函数和反双曲函数的导数 第五节 高阶导数 教学要求: 会计算双曲和反双曲函数的倒数、掌握莱布尼兹公式 会求简单的高阶导数 重 点:初等函数的求导问题 难 点:握莱布尼兹公式 教学手段及教具:板演式，使用电子教案 讲授内容及时间分配: 初等函数的求导问题 20分钟 双曲函数和反双曲函数的导数 25分钟 高阶导数 35分钟 处理前几节课的部分习题 20分钟 习题 2---4 2(3 8 ) 3(2 9) 习题2-5 1(3 9 10) 10(3 课后作业 5) 11 (3) 参考资料 高等数学同步精讲一书 注:本页为每次课教案首页 68 第 页 ?2、4 初等函数的求导公式 双曲函数与反双曲函数的导数 一、初等函数的求导问题 1、 数和基本初等函数的求导公式: ,,,1,,(1) (2) (c),0(x),,x ,,(3) (4) (sinx),cosx(cosx),,sinx 22,,(5) (6) (cotx),,cscx(tanx),secx ,, (7) (8) (secx),secx,tanx(cscx),,cscx,cotx xxxx,,(9) (10) (a),alna(e),e 11,,(logx),(lnx),(11) (12) axlnax 11,,(arccosx),,(arcsinx), (13) (14) 221,x1,x 11,,(arccotx),,(arctanx), (15) (16) 221，x1，x ,,(17) (18) (shx),chx(chx),shx 1,thx(),(19) 2chx 12,,(arcshx),(ln(x，x，1)),(20) 2x，1 12,,(arcchx),(ln(x，x,1)),(21) 2x,1 11，x1,,(arcthx),(ln),(22) 221,x1,x 2、 函数的四则运算的求导法则: 设u,u(x),v,v(x)，则 ,,,,,(i)(u,v),u,v (ii)(cu),cu ,,uuv,uv,,,,(), (iii)(uv),uv，uv(v,0) (iv) 2vv 3、 复合函数的求导法则: 69 第 页 dydydu设的导数为: 或 ,,y,f(u),u,,(x),y,f(,(x))dxdudx dfxdfudx,(())(),(),,, 或 ,,[f(,(x))]f(,(x)),(x),,u,,(x)dxdudx 二、双曲函数与反双曲函数的导数 双曲函数和反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可有前面的求导公式和求导法则求 出。 ,xxxx-,xx,,,ee,eeee,，,由 ， 有 shx,shxchx,,,，，,,222,, ,shxchx,所以，双曲正弦的求导公式为 ，， xx,ee，,chxshx,类似地，由 得 chx,，，2 22chxshx,shx1,, 由thx, 得 即 thx, thx,，，，，22chxchxchx 12, 由 得 arshxxx,，，ln1()arshx,，，21，x 12, 由 得 archxxx,，,ln1()archx,，，2x,1 11，x1, 由 arthx,lnarthx, 得 ，，221,x1,x 以上几个公式可由同学们自己推导出来。 ? 2.5 高阶导数 , 前面讲过，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或 s,s(t)v(t),s(t) dsv(t),，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导a(t)v(t)a(t)v(t)ttdt dvdds,,,,,a(t),,,,()数: 或，由上可见，加速度,,,v(t),(s(t))dtdtdt 是s(t)的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下面的定义: ,,xx 定义:若函数y,f(x)的导函数f(x)在点可导，就称f(x)在点的导数为函数00 ,,f(x)f(x),0,,,,lim,f(x)xf(x)y,f(x)在点处的二阶导数，记为，即，此时，000x,x0xx,0 70 第 页 也称函数在点处二阶可导。 xy,f(x)0 注?:若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，并称IIy,f(x)f(x) ,,为在上的二阶导函数，简称二阶导数; If(x),x,If(x) ,,,,,,,, ?:仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四f(x)f(x)f(x) (4)(n,1)(n)n,1阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数; nf(x)f(x)f(x) ()()nn ?:二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为:，，f(x)y(x)00 nnnndydydfdfnn()()f(x),y(x),或与或; x,xx,xnnnn00dxdxdxdx 2ds,, ?:开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记,,或; s,,s(t)t2dt?:未必任何函数所有高阶导数都存在; ?:由定义不难知道，对函数，其导数(也称为一阶导数)的导数为二阶导数，y,f(x) n,1二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为n阶导数。因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。 2(4),,,,,【例1】，求。 y,ax，bx，cy,y,y (4),,,,,,解:。 y,2ax，b,y,2a,y,0,y,0 x【例2】，求各阶导数。 y,e xxx(4)x(n)x,,,,,,解:，，，，显然易见，对任何，有， ny,ey,ey,ey,ey,e x(n)x即。 (e),e 【例3】，求各阶导数。 y,sinx ,,y,sinx,y,cosx,sin(x，)解: 2 ,,,,,,y,,cosx,,sin(x，),sin(x，，),sin(x，3,) , 222 ,(4)y,sinx,sin(x，2),sin(x，4,), 2 „„ 71 第 页 ,,(n)(n)一般地，有，即 。 y,sin(x，n)(sinx),sin(x，n)22 ,(n)同样可求得 。 (cosx),cos(x，n)2 【例4】，求各阶导数。 y,ln(1，x) 111,2,,,,,,解:，y,，，， y,,y,y,ln(1，x)231，x(1，x)(1，x) 1,2,3(4)，„„ y,,4(1，x) (n,1)!nn(),1y,(,1)一般地，有 n(1，x) (n,1)!nn(),1即 。 (ln(1，x)),(,1)n(1，x) ,【例5】，为任意常数，求各阶导数。 ,y,x ,,,1,,2,,3,,,,,,解:，，， y,xy,,x,y,,(,,1)xy,,(,,1)(,,2)x (4),,4， y,,(,,1)(,,2)(,,3)x (n),,n一般地， y,,(,,1)(,,2)？？(,,n，1)x ,(n),,n即 。 (x),,(,,1)(,,2)？？(,,n，1)x k(n)k,nn,k(i) 当为正整数时，时，; ,,k(x),k(k,1)(k,2)？？(k,n，1)x k(k)n,k 时，; (x),k!(,n!) k(n)n,k时，; (x),0 ,(n)kn,kx,0,(ii)当为正整数时，必存在一自然数，使得当，在处不存在。 (x)3111,,3312222,,,x,0xy,x,y,x,y,x,如:然而，在处是无意义，即说明 222 132,,,x,0x,0y,xy在处无导数，或在处不存在。 2 x,,,【例6】，求y。 y,ecosx 72 第 页 xxx,解: ， y,ecosx，e(,sinx),e(cosx,sinx) xxx,,， y,e(cosx,sinx)，e(,sinx,cosx),e(,2sinx) xxx,,,。 y,,2(esinx，ecosx),,2e(sinx，cosx) 注:高阶导数有如下运算法则: (n)(n)(n)(1)， [u(x),v(x)],u(x),v(x) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)， (uv),uv，uv,(uv),uv，2uv，uv,(uv),uv，3uv，3uv，uv „„， (n)(n)(0)1(n,1)2(n,2)k(n,k)(k),,, [u(x)v(x)],uv，Cuv，Cuv，？？，Cuv，？？nnn (0)(n)(0)(0)+。其中。 Leibinz公式 uvu,u,v,v (5)【例7】上例中，求。 y (5)x(5)x(5)1x(4)2x,,,,,,解: (cos)()cos()(cos)()(cos)y,ex,e,x，Cex，Cex55 3x4x(4)x(5),,,,,, ，C(e)(cosx)，C(e)(cosx)，e(cosx)55 xxxxxx= ecosx，5e(,sinx)，10e(,cosx)，10esinx，5ecosx，e(,sinx) x= e[cosx,5sinx,10cosx，10sinx，5cosx,sinx] xx==。 e(4sinx,4cosx)4e(sinx,cosx) ,x,,x2,,【例8】验证满足关系式:(其中为任意常数)。 c,cy,ce，cey,,y,01212 22,x,,x,x,,x,,,解: y,,ce,,ce,y,,ce，,ce1212 2,x,,x22,,,,所以。 y,,(ce，ce),,y,y,,y,012 x,32,,,y,【例9】验证满足关系式:。 2y,(y,1)yx,4 x,3111,2,,,y,,1，,y,,,y,解: 23x,4x,4(x,4)(x,4) 1122,,,2y,(y,1)y,2,,,,0又 43x,4(x,4)(x,4)2,,,所以。 2y,(y,1)y,0 73 第 页 第 15 次课 2 学时 上次课复习: 双曲和反双曲函数的导数 高阶导数 莱布尼兹公式 本次课题(或教材章节题目):第二章 导数与微分 第六节 隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学要求: 掌握隐函数的概念，掌握隐函数的求导法则，掌握由参数方程所确定的函数的导数，了解相关变化率 重 点:隐函数的导数，参数方程的导数 难 点:隐函数的导数 教学手段及教具:板演式，使用电子教案 讲授内容及时间分配: 隐函数的导数 25分钟 由参数方程确定的函数的导数 35分钟 相关变化率 25分钟 对数求导法 15分钟 习题 2---6 1(2 3 )2 3(3) 4 (1 3)5(1)7(2) 课后作业 8(2 4)9(2) 12 参考资料 高等数学同步精讲一书 注:本页为每次课教案首页 74 第 页 ?2、6 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 一、隐函数的导数 函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同y，，y,fxx 2方式表达。前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达y,sinxy,lnx，1,x 方式的特点是:等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。 3有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量xx，y,1,0 x,0x,,1在内取值时，变量有确定的值与之对应。例如，当时，;当y，，,,，，,y,1 3时，，等等。这样的函数称为隐函数。 y,2 一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足，，Fx，y,0x 这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。 y，，Fx，y,0 3把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程解出x，y,1,0 3，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能y,1,x 的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 dyy例1 求由方程所确定的隐函数的导数。 ye，xy,e,0dx 解:我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数。方程左边对求导得 yxxx ddydyyyexyeeyx，，，,,，，， dxdxdx ,，，0,0方程右边对求导得 。 由于等式两边对x的导数相等，所以 dydyye，y，x,0， dxdx dyyy,,，，x，e,0从而 。 ydxx，e yy在这个结果中，分式中的是由方程所确定的隐函数。 e，xy,e,0 隐函数求导方法小结: y(1)方程两端同时对x求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待，例 1,,，，lny,y如。 xy ,(2)从求导后的方程中解出y来。 yx(3)隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去，还 y要把对应的值代进去。 y,y，，xy0例2 ，确定了是的函数，求。 xy，e,e 75 第 页 1yy,,？x,0解:,,，，时，？y0,,。 y,,，，y,1y，xy，ey,0yex，e ,课堂练习:(1)，求。 x，y,ay 333,(2)，求。 yx，y,a ,(3)，求。 ，，y0xy，lny,1 y22,lnxyarctan(4)，求。 ，,yx 特殊方法:对数求导法 ，，vx对于幂指函数是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指，，y,ux ,函数为隐函数，从而求出导数。 y sinx例3 求的导数。 ，，y,xx,0 解:这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数， 可以先在两边取对数，得; lny,sinx,lnx 上式两边对求导，注意到是的函数，得 yxx 11,y,cosx,lnx，sinx,， yx xxsinsin,,,,sinx,于是 。 y,yx,x，,xx,x，coslncosln,,,,xx,,,,由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通 过取对数得到化简。 x,1x,2，，，，例4 求y,的导数。 ，，，，x,3x,4 x,4解:先在两边取对数(假定)，得 1，，，，，，，，lny,,,lnx,1，lnx,2,lnx,3,lnx,4， 2 y上式两边对x求导，注意到是x的函数，得 111111,,,， y,，,,,,y2x,1x,2x,3x,4,, y1111,,,于是 。 y,，,,,,2x,1x,2x,3x,4,, 1,x2,x，，，，x,1y,当时，; ，，，，3,x4,x 76 第 页 x,1x,2，，，，2,x,3当时，; y,，，，，3,x4,x 用同样方法可得与上面相同的结果。 注:关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如 xexxlnxex，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导;例如求的导数x,ey,x，e时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。 二、由参数方程确定的函数的导数 ,x,t，，,若由参数方程确定了是的函数，如果函数具有单调连续反函y，，xx,,t,，，y,,t, ,x,t，，,数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那么由参数方程，，，，t,,xy,,t,，，,y,t,所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在，，，，，,,，，y,,tt,,xy,,,x /要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数、都可导，而且。，，，，，，x,,ty,,t,t,0于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有 ,,，，dydydtdy1t,,,,,， dx,，，dxdtdxdt,t dt ,,dyt，，即 。 ,,，，dx,t dy dydt,上式也可写成 。 dxdx dt ,,dyt，，y如果，，、，，还是二阶可导的，由,还可导出对的二阶导数公x,,ty,,tx,，，dx,t 式: 2,,,,,,,,,,,,,,dyddydtdttttt,1，，，，，，，，，，,,,,,,,,,， ,,22,,,,，，，，dxdxdt,tdx,t，，dx,t,,,, 2,,,,,,,,,,dytttt，，，，，，，，,即 ,23，，dx,t x,acost,,t,【例1】 求在处切线方程。 ,4y,bsint, 77 第 页 ,解、当时，曲线上相应的点的坐标是 ,tM04 ,a2,b2 ， ,,,,ybsinxacos004242 曲线在点的切线斜率为; M0 ,btsin，，dybtbcos ,,,,,,dxatasin,,xx,,atcos，，,44x,4 代入点斜式方程，即得曲线在点的切线方程 M0 ,,bba22 ，化简后得 yx,,,,bxayab，,,20,,,,22a,, 2x,at,sint，，,dy【例2】已知， 求。 ,2，，y,b1,costdx, dy dyatttsinsindttn,2,解 n为整数 ,,,,cos，，dxdxatt()1cos1cos2,, dt 2dyd,1111,,,,,,,,,cos ,,22dxt,dxdtat21cos2，，,,at1cos,，，2sindt2 tn,2,(， 为整数) n，， 三、相关变化率 dxxxt,yyt,y设及都是可导函数，而变量与间存在某种关系，从而变化率与x，，，，dt dy间也存在一定的关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。我们研究它们之间dt 的关系，便可从一个变化率求出另一个变化率。 】 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速率为140m/min(分)。当【例2 气球高度为500m时，观察员视线的仰角为增加率是多少, 解 设气球上升ts(秒)后，其高度为h，观察员视线的仰角为,,则 h, tan= 500 ,其中及h都是时间t的函数。上式两边对t求导，可得 d,1dh2, sec= dtdt500 dh2,,已知=140/min.又当h=500m时，tan=1,sec=2. dt 78 第 页 带如上式得 d,12=.140， dt500 d,70所以 ==0.14(rad(弧度)/min). dt500 即观察员视线得仰角增加率是0.14/min. 79 第 页 第 16 次课 2 学时 上次课复习: 隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 对数求导法 本次课题(或教材章节题目):第二章 导数与微分 第七节 函数的微分 教学要求: 理解函数的微分概念，掌握函数的微分与导数之间，熟悉微分的运算法则，会计算函数的微分。 重 点:微分得定义，可导与可微之间的联系 难 点:微分形式的不变性 教学手段及教具:板演式，使用电子教案 讲授内容及时间分配: 微分的定义 20分钟 基本初等函数的微分公式 15分钟 微分四则运算法则 15分钟 复合函数的微分法则 20分钟 求导微分举例 30分钟 课后作业 习题 2---7 1 3(3 7 9) 4 (4 7 ) 参考资料 高等数学同步精讲一书 注:本页为每次课教案首页 80 第 页 ?7 函数的微分 一、微分的定义 计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的，，，，,y,fx，,x,fx00 计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到(图2-1)，问此薄片的面积改变xx，,x00 了多少, 2设此薄片的边长为，面积为A，则A是的函数:。A,xxx 薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x ,x自取得增量时，函数A相应的增量,A，即 x0 222图2-1 。 ，，，，,A,x，,x,x,2x,x，,x000 ,A,A从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有2x,A0 2斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，，，,x 22,x,0,x当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如，，，，，，,x,x,0,x ,A,x果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为 ，，y,fx,y ， ，，,y,A,x，0,x ,xA,x,xA其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差 ,y ， ，，,y,A,x,0,x ,xA,0A,x,x是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替 。 ,y 定义 设函数在某区间内有定义，x，,x及x在这区间内，如果函数的，，y,fx00 增量 ，，，，,y,fx，,x,fx 00 可表示为 ，，,y,A,x，0,x， ? ,x,xA，，，，其中是不依赖于的常数，而0,x是比高阶的无穷小，那么称函数y,fx在 A,x,xxx，，点是可微的，而叫做函数y,fx在点相应于自变量增量的微分，记作00 ，即 dy,A,x。 dy x，，y,fx下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则按定义有?式成立。 0 ,y0，，,x,x,A，?式两边除以，得 。 ,x,x ,x,0于是，当时，由上式就得到 ,y,，，Alimfx,,。 0,x,0,x 81 第 页 ,因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导(即存在)，且，，xxfx，，，，fxfx000,。 ，，A,fx0 反之，如果在点可导，即 x，，y,fx0 ,y, ，，lim,fx0,x,0,x 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 ,y,，，， ,fx，,0,x ,,0,x,0其中(当)。由此又有 ,。 ，，,y,fx,x，,,x0 ,x因，且不依赖于，故上式相当于?式，所以在点也是可微的。 x，，，，,,x,0,xfx0由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当xx，，，，fxfx00在点可微时，其微分一定是 x，，fx0 ,。 ? ，，dy,fx,x0 ,当时，有 ，，fx,00 yyy,,1,。 lim,lim,lim,1,x,0,x,0,x,0,,，，，，dyfxxfxx,,00 ,x,0时，与是等价无穷小，这时有 从而，当,ydy ， ? ，，,y,dy，0dy ,,,x即是的主部。又由于，，是的线性函数，所以在，，的条件dy,fx,xfx,0,ydy00 ,x,0下，我们说是的线性主部(当)。这是由?式有 ,ydy ydy,,， lim,0,x,0dy 从而也有 ydy,,lim,0。 ,x,0dy ,y,dy,，，fx,0式子表示以近似代替时的相对误差，于是我们得到结论:在,ydy0dy ,，，，，，，dy,fx,x,y,fx，,x,fx的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差000,x,0,x当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等式 。 ,y,dy ，，，，y,fxxdfx函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即 dy ,，，dy,fx,x。 sinxx注1:由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求对的导数时就 sinxx可以看成微分与微分的商，即 82 第 页 dsinxcosxdx。 ,,2xcosx1dxdx 2x ,x注2:函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差的高阶无 穷小。因此要会应用下面两个公式: ,， ，，,y,dy,fx,x0 ,,。 ，，，，，，fx，,x,fx，fx,x000 作近似计算。 二、 微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。 在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值，曲线上x，，y,fx0 ,x有一个确定点当自变量有微小增量时，就，，Mx，yx00 得到曲线上另一点.从图2-2可知: ，，Nx，,x，y，,y00 ， MQ,,x 。 QN,,y 过M点作曲线的切线,它的倾角为，则 , ,， ，，QP,MQ,tan,,,x,fx0图2-2 即 。 dy,QP 由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线，，y,fx,ydy M,x,y,dy,x上M点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻 近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 三、 基本初等函数的微分公式及微分运算法则 1、微分法则 ,由，，，很容易得到微分的运算法则及微分公式表(当都可导): dy,fxdxu、v ，，， du,v,du,dv ，，， dCu,Cdu ，，du,v,vdu，udv， uvdu,udv,,d,。 ,,2vv,, 2、基本初等函数的微分公式 ,,,1， ，，dx,,xdx ，，，，dsinx,cosxdxdcosx,,sinxdx， ， 22，，， ，，， dtanx,secxdxdcotx,,cscxdx 83 第 页 ， ， ，，，，dsecx,secxtanxdxdcscx,,cscxcotxdx xxxx， ， d，，a,alnadx，，de,edx 111arcsin,，，log,， ，dxdx， ，，，，dxdxdlnx,dxa2lnxxa1,x 11arccos,,，，dxdxarctan,， ，，， dxdx221，x1,x 1cot,,，，darcxdx。 21，x 注:上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。 例如: 111dxd， ,,， dx,2dx2xxx 11xx，，dx,dax，badx,da， 。 lnaa 四、 复合函数微分法则 与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下: 设及都可导，则复合函数的微分为 ，，，，,,，，y,fuu,,xy,f,x ,,,。 ，，，，dy,ydx,fu,xdxx ,由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成 ，，,,，，,xdx,duy,f,x ,,或。 dyydu，，,dy,fuduu ,由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保，，udy,fudu持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时(即设为另一u ,变量的任一可微函数时)，微分形式并不改变。 ，，dy,fudu x【例3】，求。 ，，dyy,ln1，e 解 22xx222112exe2xxxdyedeedxxdxdx,，,，,,,ln112 ，，，，2222xxxx1111，，，，eeee 22dy【例4】，求。 ，，y,lnx，a，xx,0 x【例5】f可导，，求。 dyy,f，，2 yx【例6】，求。 dyx,y 84 第 页