平面向量的坐标表示、模、夹角
一.数量积的坐标表示:a ?b = |a ||b |cos θ2121y y x x +=
1.已知向量a =(1,-1),b =(2,x).若a 2b =1,则x =
2.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .
二、向量的模及两点间的距离公式:222||y x a +=或22||y x a +=
. 问:向量a 单位向量坐标?
1已知向量a =(x ,y),b =(-1,2),且a +b =(1,3),则|a -2b |等于
2.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量,则b 等于
模或模的取值范围(方法)
三、两向量夹角的余弦(πθ≤≤0)co s θ =
||||b a b a ??222221212121y x y x y y x x +++=
问:a 在b 方向上的投影?
1.若非零向量a ,b ,满足|a |=|b|,(2a +b )2b =0,则a 与b 的夹角为
2.平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b ,c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m=
3.单位向量e 1,e 2的夹角为60度,若a =e 1+3e 2,b= 2e 2,a 在b 方向上的投影
4.已知向量a =(1,-2),b =(2,λ),且a 与b 夹角为锐角,则实数λ的取值范围是
5.已知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足b 2(a -b )=0,则|b |的取值范围是
四、垂直与共线(证明或求参数):b a ⊥?02121=+y y x x //a b ?1221x y x y = 垂直的两向量的坐标关系
1.已知向量a =(1,1),b =(2,-3).
(1)若λa -2b 与a 垂直,求λ的值; (2)若a -2k b 与a +b 平行,求k 的值.
2.已知A ,B ,C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC 的形状为
3.向量a =(1,2),b =(2,-3),若向量c 满足(c +a)∥b ,c ⊥(a +b ),则c =
五、平面向量的运算律,常用公式
1.已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |等于 ( ) A.7 B.10 C.13 D.4
2.在ABCD 中,AC =65,BD =17,周长为18,则这个平行四边形的面积为 ( )
A.16
B.172
1 C.18 D.3
2 3.若向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )2(a -3b )=-72.则向量a 的模是 ( )
A.2
B.4
C.6
D.12
4.下列各向量中,与a =(3,2)垂直的向量是 ( )
A.b =(3,-2)
B.b =(2,3)
C.b =(-4,6)
D.b =(-3,2)
5.已知a ⊥b ,|a |=2,|b |=3,且3a +2b 与λa -b 垂直,则λ等于 ( ) A.23 B.-23 C.±2
3 D.1 6.已知m ,n 是夹角为60°的两个单位向量,则a =2m +n 和b =-3m +2n 的夹角是 ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
二、填空题(533′=15′)
7.已知A (1,3)、B (2,4)、C (5,6),则?+?= .
8.已知321OP OP OP ++=0,21321|,|||||OP OP OP OP OP
与则==的夹角为 . 9.已知e 为单位向量,|a |=4,a 与e 的夹角为3
2π,则a 在e 方向上的投影是 . 10.已知a =(4,3),b =(-1,2),则a 与b 的夹角为 .
11.平面向量a ,b 中,已知a =(4,-3),|b |=1,且a 2b =5,则向量b =
12已知向量a =(1,1),b =(1,0),c 满足a 2c =0且|a |=|c |,b 2c >0,求向量c = .
三、解答题
13.已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB ⊥AD ;
(2)要使四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标,并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.45
.
14.设O 是△ABC 的外心,H 是三角形内一点,且++=,求证:H 是△ABC
的垂心.
15.已知a =(3,-1),b =(2
3,21). (1)若存在不同时为零的实数k 和t ,使x =4a +(t 2-3)b ,y =-k a +t b ,且x ⊥y ,
求k =f (t )的解析式; (2)确定f (t )的单调区间.
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