考点07指数与指数函数
（1）了解指数函数模型的实际背景.
（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.
一、指数与指数幂的运算
1．根式
（1）次方根的概念与性质
次
方
根
概念
一般地，如果
,那么叫做的次方根，其中
,
.
性质
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号
表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号
表示，负的次方根用符号
表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成
.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作
.
（2）根式的概念与性质
根
式
概念
式子
叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
性质
①
.
②当为奇数时，
.
③当为偶数时，
.
【注】速记口诀：
正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根指为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零．
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是
.
于是，在条件
下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
且
.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数
，均有下面的运算性质：
①
；
②
；
③
.
（3）无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.
一般地，无理数指数幂
是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
二、指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数
叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是
.
【注】指数函数
的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数
的图象与性质
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点
过定点
，即
时，
单调性
在
上是减函数
在
上是增函数
函数值的变化情况
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
底数对图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0
分析
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式子
与f(?x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
考向一指数与指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊
要求
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，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
典例1 化简并求值：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
1．已知
,求下列各式的值：
（1）
； （2）
.
考向二与指数函数有关的图象问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的图象变换如下：
【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”．
典例2函数y=ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是
【答案】C
【解析】当x=1时，y=a1－a=0，所以y=ax－a的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C.
2．函数
(0＜a＜1)的图象的大致形状是
考向三指数函数单调性的应用
1．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
2．解指数方程或不等式
简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
典例3设
，则
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分
与
两种情况讨论.
3．设
，则
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
典例4设函数
，若
，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，不等式
可化为
，即
，解得
；
当
时，不等式
可化为
，所以
．故的取值范围是
，故选C．
【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当
及
时，的取值范围，最后综合即可得出结果．
4．已知函数
的定义域是A，值域是B，则
A．0，＋∞) B．
C．1，＋∞) D．(－∞，0)
考向四指数型函数的性质及其应用
1．指数型函数中参数的取值或范围问题
应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．
2．指数函数的综合问题
要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.
典例5函数
的图象
A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】D
5．若函数f(x)=3x＋3－x与g(x)=3x－3－x的定义域均为R，则
A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
典例6
的值域是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)=2ax－4在区间?1,2]上的最大值为10，则a=________.
1．化简
=
A．
B．
C．
D．
2．如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为
，
，
，
，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
3．已知函数f(x)的定义域是(1,2)，则函数f(2x)的定义域是
A．(0,1) B．(2,4)
C．(
，1) D．(1,2)
4．已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
5．设函数
则满足
的的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，
、
、
，且
，
，
，则
的值
A．一定等于零 B．一定大于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
7．已知函数f(x)=|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
8．已知定义在
上的函数
(
为实数)为偶函数，记
，则
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
9．已知函数f(x)=x2－bx＋c满足f(0)=3，且对任意实数x都有f(1＋x)=f(1－x)，则f(bx)与f(cx)的大小关系是________．
10．已知
是定义在R上的偶函数，且
对
恒成立，当
时，
，则
________．
1．（2017年
高考
地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
新课标Ⅰ卷）已知集合A={x|x<1}，B={x|
}，则
A．
B．
C．
D．
2．（2017年高考北京卷）已知函数
，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
3．(2016年高考新课标Ⅲ卷)已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数
则满足
的x的取值范围是.
5．（2016年高考天津卷）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（–
，0）上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是.
6．（2015年高考山东卷）已知函数
的定义域和值域都是
，则
=.
1．【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）
，
∴
，
，
，
．
（2）
．
2．【答案】D
3．【答案】A
【解析】由题得
，又函数
在
上是增函数，所以
，故选A．
4．【答案】B
【解析】∵1－3x≥0,3x≤1，∴x≤0，即
.∵
，∴
，∴
，即
，故
，选B.
5．【答案】D
【解析】因为f(－x)=3－x＋3x=f(x)，g(－x)=3－x－3x=－g(x)，所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，故选D.
6．【答案】
或
【解析】(1)若a＞1，则函数y=ax在区间－1,2]上是递增的，
当x=2时f(x)取得最大值f(2)=2a2－4=10，即a2=7，
又a＞1，
∴a=
.
(2)若0＜a＜1，则函数y=ax在区间－1,2]上是递减的，
当x=－1时，f(x)取得最大值f(－1)=2a－1－4=10，
∴a=
.
综上所述，a的值为
或
.
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】方法一：相应于曲线C1，C2，C3，C4，设依次是
，由指数函数的性质，知
，
，
，
，从而排除选项A，B. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，从而
，
，
，
.故选D.
方法二：相应于曲线C1，C2，C3，C4，设依次是
，作直线
，如图所示，可看出
，故选D.
【知识延伸】一般地，当函数
与函数
（即函数
）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图象是关于
轴对称的.
3．【答案】A
【解析】∵f(x)的定义域是(1,2)，∴1＜2x＜2，即20＜2x＜21，∴0＜x＜1，故选A.
4．【答案】D
【解析】因为函数y=0.8x是R上的单调减函数，所以a＞b.
又因为a=0.80.7＜0.80=1，c=1.20.8＞1.20=1，所以c＞a.故c＞a＞b.
5．【答案】C
6．【答案】B
【解析】由已知可得
为奇函数，且
在
上是增函数，由
，同理可得
，
，所以
.
7．【答案】D
【解析】作出函数f(x)=|2x－1|的大致图象，如图，
∵af(c)>f(b)，
∴结合图象知a<0，c>0，∴0<2a<1.
∴f(a)=|2a－1|=1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
8．【答案】C
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出
的值，计算出相应的
的值比较大小即可，是中档题. 其中计算的值时易错.
9．【答案】f(bx)≤f(cx)
【解析】∵f(1＋x)=f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x=1对称，
故
=1，b=2，
又f(0)=3，
∴c=3，且f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
若x＞0，则3x＞2x＞1，∴f(3x)＞f(2x)；
若x＜0，则0＜3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)；
若x=0，则f(3x)=f(2x)．
综上，f(cx)≥f(bx)．
10．【答案】
【解析】因为
对
恒成立，所以函数
是周期为2的周期函数．因为
是定义在
上的偶函数，所以
.
1．【答案】A
【解析】由
可得
，则
，即
，所以
，
，故选A.
2．【答案】A
【名师点睛】本题属于基础题型，根据
与
的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数?减函数=增函数.
3．【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，故选A．
4．【答案】
【解析】由题意得：当
时，
恒成立，即
；当
时，
恒成立，即
；当
时，
，即
.综上，x的取值范围是
.
5．【答案】
【解析】由题意知
在
上单调递减，又
是偶函数，则不等式
可化为
，则
，即
，解得
，即的取值范围为
．
6．【答案】
【解析】当
时，函数
是减函数，在定义域
上，值域为
，所以
，解得
，则
；当
时，函数
是增函数，在定义域
上，值域为
，所以
，此方程组无解.综上，得
.
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