(小学)与质数有关的问题

与质数有关的构造问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，通过分解质因数求解的整数问题． 1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的． 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与解】  例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数． 评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数． 其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n． 2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12． 【分析与解】  我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么 即 与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试． 有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数． 3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个? 【分析与解】  大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数． 验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数． 也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个． 4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数? 【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用． 有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67． 所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数． 5．3个质数的倒数之和是 ，则这3个质数之和为多少? 【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为 、 、 ，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为 ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积． 现在和为 ，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足． 所以这3个质数的和为2+3+331=336． 6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数． 【分析与解】  有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17． 一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足． 所以满足题意的两位数有51、68、84． 7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 【分析与解】 有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 、 、 、 、 、 、 、… 其中第三个最简真分数为． 8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 【分析与解】  这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995． 1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元． 9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少? 【分析与解】  1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8， 一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足． 当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755． 当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800． 所以原来的积为1755或1800． 10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少? 【分析与解】 2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6． 有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数． 它们的差为68-43=25． 11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少? 【分析与解】  1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积． 只能是1764=4×3×3×7×7 =2×6×3×7×7 =2×2×9×7×7 =1×6×6×7×7 =1×4×9×7×7 对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28． 对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7． 所以甲的总环数为24，乙的总环数为28． 12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【分析与解】  如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209． ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19． 当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17; 当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意． 所以它们的乘积为11×2×17=374． 13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34×34×34即 最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270． 所以33、34、35为满足题意的长、宽、高． 则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)． 方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足． 当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度． 而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35． 长方体的表面积为2×( + + )=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)． 14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8． 1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近． 它们的和为6+9+37=52(厘米)． 15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少? 【分析与解】4875=3×5×5×5×13， 有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数． 那么它们的差为39-25=14． 评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63． 而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等． 我们再对65，195，325，375，975等一一验证． 严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．