【word】 失谐周期结构的鲁棒分析模型

【word】 失谐周期结构的鲁棒分析模型 失谐周期结构的鲁棒分析模型 第26卷第3期应用力学 2009年9月CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICS ,,01.26No.3 Sep.2009 文章编号:IO00.4939(2009)03.0426.06 失谐周期结构的鲁棒分析模型 姚建尧王建军李其汉 (北京航空航天大学100191北京) 摘要:周期结构动态特性对失谐参数的敏感程度可以用系统的鲁棒性参数来衡量.文中建立了失 谐周期结构的物理模型,通过线性分式变换将失谐参数作为反馈引入到系统中,基于状态空间和 传递函数建立失谐系统的鲁棒分析模型,并结合结构奇异值建立了失谐周期结构鲁棒分析框架. 通过简化叶盘结构的算例说明了失谐周期结构鲁棒分析的建模过程,并计算了系统的结构奇异值 结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,基于本文方法所建立的模型可以方便地进行失谐周期结构的鲁棒性分析. 关键词:失谐周期结构;鲁棒分析;线性分式变换;结构奇异值 中图分类号:0327文献标示码:A 1引言 周期结构是工程中常见的一种结构形式:如多 跨梁,叶轮机械中的叶盘结构,卫星帆板等.理论 上讲,周期结构的各子结构是完全一致的,但由于 加工误差,材料和使用中的不均匀磨损等因素,各 子结构中总是不可避免地存在小量的差别,并由此 导致结构失谐.理论分析和实验结果均表明,一般 失谐周期结构的动态特性与相应的谐调结构在一定 条件下会有很大不同,主要体现在模态局部化(固 有特性)和振动传递局部化(响应特性)两个方 面【lJ.近些年来,人们对失谐周期结构的动态特性 进行了深入的研究.主要方法有两种,确定性方法 和统计方法,相关的综述文章可以参考L1J. 统计方法通过大量抽样计算得到动态特性参 数的分布的重要信息,如均值和 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差等参数.由 于工程实践中的失谐量具有随机性质,因此这种方 法成为研究随机失谐结构动态特性最为直接的方 法.但由于失谐破坏了结构的周期对称性,不能再 用这种特性提高计算效率,这大大提高了计算负荷. 尤其是对于大型有限元模型,这种大量抽样计算的 成本是很高的.为此,有学者致力于降阶的有限元 模型,以缓解计算负荷问题. 统计方法的另外一个不足是由于抽样过程的随 机性和有限性,并不能保证得到使系统性能达到最 值的失谐情况,如使系统响应最大的最坏失谐情况 等.为了解决这一问题,有学者将寻找失谐极端情 况最为优化问题来求解.这些算法主要有基于梯度 计算的优化方法【3j,遗传算法l4】,模拟退火法[5j等. 上面的两种分析方法虽然能够给出失谐参数 对周期结构动态特性的影响,却不能描述这种随机 的不确定参数对系统性能本质的影响,也不能提出 有效的措施来抑制失谐的不利影响.实际上,失谐 的本质可以认为是鲁棒控制理论中的系统参数不确 定性.所谓鲁棒性是指在存在某些不确定因素的情 况下,闭环系统维持其预定性能指标的不变性或极 小灵敏度的能力L6J.因此,衡量系统鲁棒性的参数 能很好地反映其对参数失谐的敏感程度.同时通过 基金项目:国家高技术研究发展计划863项目(2008AAO4Z403)来稿日期:2007一u一26修回日期:2008—05—12 第一作者简介:姚建尧,男,1981年生,北京航空航天大学能源与动力工程学院,博士生;研究方向——航空发动机结构振动及振动控制. E-marl:yaojianyao@sip.buaa.edu.cn 第3期姚建尧,等:失谐周期结构的鲁棒分析模型427 鲁棒分析,还可以得到最坏失谐模式以及相应的控 制率,以提高系统鲁棒性.周期结构对某些失谐参 数的高度敏感性表明系统的鲁棒性较差,因此对其 进行鲁棒性分析和鲁棒控制 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 是非常必要的.而 目前国内外对此研究较少. 文献[7]基于鲁棒理论的思想,在有界随机失谐 的情况下计算了使叶片轮盘响应最大的失谐模式. 然而,可以直接通过鲁棒性分析来衡量失谐参数对 周期结构的影响,这种分析方法能更为全面地定量 描述参数不确定性对系统鲁棒稳定性及鲁棒性能的 影响,并可以通过设计控制率来提高系统的鲁棒性, 使其在存在各种不确定性情况下仍旧保持良好的工 作性能.为此需要建立失谐结构的鲁棒分析模型. 本文给出了失谐结构鲁棒分析的模型及其理论框 架,首先建立了失谐周期结构的物理模型.通过线 性分式变换和结构奇异值建立失谐周期结构的鲁棒 分析模型和一般框架,最后通过算例说明了建模的 实现过程. 2失谐周期结构的物理模型 2.1失谐描述 将失谐参数考虑为系统的结构不确定性,假设 失谐系统的质量,刚度和阻尼矩阵有如下形式 k M(a)=Mo+?M,4(1)i=1 K(a)=Ko+?(2)i=1 七 c(a)=Co+?c,4(3)i=1 其中:下标”0”表示是谐调结构的参数; = 【,…,】标量不确定参数的向量,可以用 ?[一1,1]来规定它们,也就是说这些标量不确定参 数是未知但有界的;,Ki,分别表示不确定 参数是如何影响系统质量,刚度,阻尼的.这些 不确定性可以通过线性分式变换引入到系统中,其 分块形式可以写为 2.2失谐周期结构的模型 2.2.1状态空间模型 系统的运动方程可以写为 j()+c()+()=G(6) 【J,Hx 其中:表示输入(激励);J,表示输出;G和分 别为输入和输出矩阵.在状态空间中,上面的方程 可以改写为 状态向量取为z=[.ic],则有 :Dul=+, 其中:=[一一];.=.;G=[G]; H=『日01是由原来的G和日增广而成. 若系统参数存在不确定性,以刚度矩阵为例, 矩阵可以表示为 ()=+?4(9) 其中:4=I一.:I;为标称系统的矩阵. 为了使重复子块J具有尽可能小的规模,可以通 过满秩分解来减小不确定矩阵的维数,即 4:4Lil~,R,(10) 最终,失谐系统的传递函数矩阵可以通过线性分式 变换来表示 ?():diag(‘,…,)(4)其中 并且有 +…+rk=N(5) 其中:为J的秩;N为系统的总自由度数. G6(A)=((1日D,40Gl lR0 S=J, L=[厶,…,】, R:[砰,…,】(12) GO 0 O —,..........L+? 一?,. OH , r? 1一 D ,I\? 1??????J 0O 428应用力学第26卷 F和分别表示上线性分式变换和下线性分式变 换.当系统中没有失谐时,传递函数变为标称系统 的传递函数,即 ):(1AG:D+H(sIGG(a)lHD+sI-A) (13) 线性分式变换的框图如图1所示. 三 y y2 Z 2 图1状态空间线性分式变抉框图 2.2.2传递函数模型 对于周期结构,可以方便地由质量,刚度,阻 尼矩阵直接得到系统的传递函数.对于运动方程(6) 描述的系统和式(1卜式(3)描述的不确定性,在频域 中相应的表示为 Gz(A)=H(K(8)+j(oC(8)-0tiM(~)).G = H(Zo+三?())G =+?()(,一?())B(20) 同样地,当系统中没有失谐时,上式简化为 (?)=D=HZoG(21) 式(21)为标称系统的传递函数.系统框图如图2所 示. 图2传递函数线性分式变换 上面对zi的满秩分解是依赖于频率的,这给计 算带来不便.为此,可以通过对系统参数矩阵的满 秩分解而得到独立于频率的的分解,即由 Mi:MM,ci=cC,Ki:XXQ f(zo+az)=(14)得到 ~ 舯是这定 y 义 =H 的 x’ 厶=,],其中是这样定义的lj删【l+JJ,/丘I, ?z=?,i=1 zi=一Mi+jo)Ci+KiRi: 表示标称系统的传递函数,即 Zo:一+jO~o十Ko(16) 同样地,为了减小重复子块的规模,对进行满秩 分解 =厶墨(17) 定义三和R具有和式(12)相同的形式,与状态空间 表示不同的是,这里的三和露中的元素包含频率 缈,而不再是常数矩阵.因此有 k AZ=?L,4R,=LA(8)R(18)i=1 由此可以得到描述失谐系统传递函数的矩阵为 (23) 2.2-3两种模型的比较 本质上讲,对于失谐及谐调情况下,两种模型 所得到系统的传递函数是一致的.不同之处在于状 态空间的矩阵是不依赖于频率的,且鲁棒分析领域 内许多成熟的算法[8】都是基于这种模型的.但该模 型需要对质量矩阵求逆,因此不能方便地考虑质量 失谐的情况.而基于传递函数的模型通过式(23)的 分解,可以方便地考虑各种参数的失谐,其缺点在 于分解得到的矩阵依赖于频率.因此,两个模型有 很强的互补性,可以在不同的情况下适当选用. [cA]=卜,G】(9)3失谐周期结构的鲁棒分析模型 从输入到输出J,的传递函数可以表示为 3.1结构奇异值和它的界 前面利用线性分式变换得到了失谐周期结构 第3期姚建尧,等:失谐周期结构的鲁棒分析模型420 的物理模型,在此基础上,可以对系统进行鲁棒分 析.这里我们利用结构奇异值和线性分式变换建立 失谐周期结构的鲁棒分析模型. 在鲁棒分析中,结构奇异值是一个重要的参 数,它是用f?)来表示的矩阵函数.对一个矩阵 M?C,(M1定义为【J ()’24 若无?使I—MA奇异,则此时(M)=0.其物理 意义为使反馈系统失稳的最小矩阵?的度量,即系 统能够允许多大的失谐. 计算的精确值是一个”NPhard”问题Ll”,计 算负荷很大,通常的解决方法是计算其上界和下界 来代替其精确值.?的上界给出了矩阵I—MA非 奇异的充分条件,并给出系统鲁棒裕度的下界, 一 min1(25) 而的下界给出了矩阵I—MA奇异的充分条件, 其作用在于:第一,通过与上界的接近程度衡量计 算的准确性;第二,系统的最坏失谐(摄动)模式 通常是由下界的算法给出的. 3.2失谐周期结构鲁棒分析模型 借助结构奇异值和利用线性分式变换得到的 失谐周期结构的数学模型,可以衡量系统的鲁棒性. 随着对不确定性描述和性能要求的假设不同,鲁棒 稳定性和鲁棒性能判据也会相应改变【l川,这给分析 带来不便.但利用上面的两种工具,我们可以将这 些判据在一个统一的框架内处理.这种统一的方法 可以减轻重复处理特殊问题的数学负担,并能够准 确地处理多不确定源系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能 问题. 任何互联系统均可重新整理后得到如图3所示 的一般结构.将控制器作为一个系统元部件吸收 到互联结构中,记 P(26) 则一般框架退化为图4图4所示的形式.矩阵 不仅描述了标称系统的闭环特性,还描述了不确定 性是作为反馈引入系统的途径.这样的一?模型 是系统鲁棒分析中最为常用的重要模型,许多计算 P: 0RlP:I7 .()=O+R(M一)L z():0+R(A)-1 , G (28) M2.():O+n(sI-A)..工 M2():D+H(sI一)G 系统的闭环传递矩阵为 =+A(I—.?):(29) 对于传递函数模型,式(19)中的矩阵,B,C, D分别对应与矩阵的子块,即 M= lCl=Il(30)lI, 其闭环传递函数矩阵如式(20)所示. 图3一般框架 图4分析框架 对于包含不确定性的结构,无论是鲁棒稳定性 还是鲁棒性能分析,在统一的分析框架下,都将转 换为在对应的不确定性?下,计算某个传递函数矩 阵的结构奇异值f).鲁棒稳定性分析对应 , ?,相应的状态空间实现为P=l兰};鲁 棒性能分析对应一A,相应的状态空间实现如 430应用力学第26卷 式(27)所示. 4算例 4.1简化叶盘结构的鲁棒分析模型 叶盘结构是一种典型的周期结构,一个简化的叶 盘结构模型如图5所示.各扇区的两个自由度Xl和 分别描述叶片振动和轮盘振动,m和m,分别表示 扇区叶片和轮盘的等效质量,毛和分别表示叶片 和轮盘的等效刚度,则表示各扇区间的耦合刚度. :扇区1 扇 图5简化的叶盘结构模型 系统的刚度矩阵为 K= XtKc KcK 0Kc Kc0 O…Kc Kc…0 … 0 0…KN (31) = - k;+2],=]++2lL0一j 其质量阵为块对角阵,即 =diag(M1…MN)(32) 其中 ] 假设各扇区的叶片刚度具有有界的不确定 性,即??k~[-1,1],为归一化的系数.首先, 对各扇区刚度不确定性进行奇异值分解,组集 矩阵和.然后将和引入到状态空间模 型f11)中,得 = ],l一j’足: 最后由式(28)得到系统矩阵M的4个子块,并根据 需要选取子块建立鲁棒分析模型. 4.2计算结果及分析 文献[12—13]对该模型谐调及失谐情况下的模态 特性和响应特性进行了详细的研究,结果表明,结 构在模态密集的频段2内对叶片刚度的失谐最为敏 感,这里选取该频段进行鲁棒性能的分析,对应的 传递函数矩阵如式(29)所示. 考虑叶片刚度缸失谐的情况,取失谐范围为 【一O.03,0.O3】,激励阶次为9.图6表示计算得到的 结构奇异值的上界和下界,从图中可以看出在频率1 附近,即模态密集的频段2,结构奇异值最大,相 应地反映出该频段系统对失谐敏感,鲁棒性不好. 另外,结构奇异值的上界和下界非常接近,说明了 计算结果的精度较好. 通过算例说明文中提出模型的适用性,并可进 一 步分析不同情况下失谐周期结构的鲁棒性,以及 通过设计控制率来提高其鲁棒性. ? 器 怡 蜒 j{f} 5结论 图6结构奇异值的界 借助线性分式变换和结构奇异值,本文建立应 用于失谐周期结构鲁棒分析的一?模型和统一的 分析框架.在该模型的基础上,可以对系统进行鲁 棒稳定性及鲁棒性能分析,并可以通过设计最优的 第3期姚建尧,等:失谐周期结构的鲁棒分析模型431 鲁棒控制器来提高系统的鲁棒性. 同时,结构奇异值(或其界)作为衡量系统鲁 棒性的重要指标,可以用一个标量描述全场随机失 谐参数对系统性能的影响.与动态特性分析中的各 种特征参数和响应参数相比,这种描述和衡量方法 更加简便和深刻,这对于评价失谐对周期结构的影 响是非常有利的. 应当指出,本文所建立的鲁棒分析模型同样适 用于其它振动系统,并可在此模型基础上开发提高 系统鲁棒分析和鲁棒控制计算效率的算法. 参考文献 王建军,李其汉,朱梓根.失谐叶片一轮盘结构振动局部化问题的 研究进展[J】.力学进展,2000,30(4):517—528. 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