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傅里叶变换和欧拉公式_20160904.doc

傅里叶变换和欧拉公式_20160904

章鱼miko
2017-09-19 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《傅里叶变换和欧拉公式_20160904doc》,可适用于综合领域

信号系统这门课的贡献就是它为我们展现了一种新的观察世界的角度即“频域”。频域的度量称为频谱频谱的横坐标为频率w(对应于上文的t),纵坐标就是频谱值。那么怎样实现从时域到频域的变换?大名鼎鼎的傅立叶变换(FourierTransform)就是一种方法。傅立叶变换公式如下:其中w为频率函数F(w)为频谱。傅立叶变换建立了从时域到频域的映射。这里暂时不详细介绍公式先看它的由来。傅立叶法国人数学家物理学家。年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文推导出著名的热传导方程并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的形式表示从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数(即三角级数)、傅立叶分析等理论均由此创始。 在分析傅立叶变换之前先引出复信号的概念。大家都知道复数包括实数和虚数一个复数总可以表示成x=abj(j为虚单位)。同理信号也分实虚实信号即是平常看得见摸得着的信号引入虚的概念后就可以将复信号解释清楚了。回到刚才的问题实际上傅立叶变换建立的是“复”频域与时域的联系。上文说过傅立叶发现任何一个函数f(t)都可以用很多个三角函数的和表示其中w是三角函数的角频率。另外这个表示方法是一定的即总能找到并且能严格逼近。为什么说傅立叶变换建立了复频域和时域的联系?频域有和上面的三角函数又有什么联系?难道只是因为cos(wt)中的w名字叫做频率吗?显然不是。根据欧拉公式其中w是角频率j是虚数单位。带入上文公式(**)于是傅立叶的这个发现就可以解释通了:任何一个时域的函数f(t),都可以表示成很多个复指数 、的和的形式w恰好就是频谱中的频率。这样傅立叶变换便建立了时域和复频域的联系。将coswt和sinwt的公式带入傅立叶变换的定义式(*)即可得到cos(Wt)的频谱为F(w)=pi*sigma(wW)sigma(wW)即是频谱两边对称的两个冲击信号。 这也是为什么原信号乘以正弦信号之后就可以被调制成高频信号。 上文(*)公式给出的傅立叶变换是连续时间傅立叶变换而严格意义上的傅立叶变换分为几种形式(CFS,CTFT,DFS,DTFT)每一种对应的情况都不相同公式也不一样这里不再一一介绍。再说说为什么要进行傅立叶变换。举个例子比如压缩电影、压缩照片利用的就是人眼对某些频带以外的信号频谱反应不敏感的原理。将数据进行傅立叶变换用滤波器过滤掉相对来说对人眼无用的高频和低频部分就可以保证在不影响整体效果的情况下最大程度地压缩图像数据。不难想象如果在时域上裁剪出这些数据的一部分那数据的完整性将根本无法保证比如将照片减去一半或是将影片头尾剪辑掉之类。然而在频域上的裁剪却可以大体上保证数据的质量这正是频域的奇妙之处它给我们提供了从另一个角度看世界的方法。

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