圆锥曲线离心率的求法
学习目标
1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法；
2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的能力；
学习重难点
重点：椭圆、双曲线离心率的求法；
难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率
教学过程：
复习回顾：圆锥曲线离心率的概念
一、求离心率
探究一：利用定义直接求,
例1．已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率等于 ．
练习1：在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为 ( )
A. B.－1 C.＋1 D.＋1
B.
探究二：构造关于e的(a,b,c的齐次)方程
例2．已知椭圆的上焦点为，左、右顶点分别为，下顶点为，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为___________
练习2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为
( )
A. B.
C. D.
探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定e的方程
A(X1,Y1)
例3．椭圆 +=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦
点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，
求e?
二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围)
1、直接根据题意建立不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例4、已知双曲线 （ ）的半焦距为ｃ，若 ，
则双曲线的离心率范围是 （ ）
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
2、借助平面几何关系建立不等关系求解
例5、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线ｘ=上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D.
3、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.
例6、已知双曲线－＝1(a>0，b>0) ，F1是左焦点，O为坐标原点，若双曲线上存在点P，使|PO|＝|PF1|，则此双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A． (1,2] B．(1，＋∞) C．(1,3) D．[2，＋∞)
4、运用数形结合建立不等关系求解
例7、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5、运用函数思想求解离心率
例8、设，则双曲线的离心率e的取值范围是
A． B. C. D.
练习 3、 设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是
A、 B、 C、 D、
小结：求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系
求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法:
1.利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题．
2.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题．
3.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径．
4.联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解．
5.三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解．
6.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解
7.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。
练习
1、如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则双曲线的离心率 ；
F1 F2 x
2、设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为___.
3、如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 （ ）
A．
（第3题图）
B．
B．C． D．
4、设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
求双曲线C的离心率e的取值范围
浙公网安备 33021202002483