广义概率收缩偶与概率赋范空间中非线性方程的解

广义概率收缩偶与概率赋范空间中非线性方程的解 广义概率收缩偶与概率赋范空间中非线性 方程的解 应用 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 MATHEMATICAAPl'LICAA l996,9(1):33,38 广义概率收缩偶与概率赋范空间中 非线性方程的解.. 张石生王凡一 ? (四川大学数学系,成都610064)(江苏省I商行政管理学校,南通226004) 提要在本文中引入了广义概率收缩偶的概念,研究了具广义概率收缩偶的非线性 集值和单值算子方程组(族)的解的存在性和唯一性,并讨论了PN一空问中集值和单 值映象对(族)的公共不动点的存在性.本文改进和发展j[1—4,6—92中的相应结 秉. 关键 .P兰,墨塑;集值和单值算子方程;_动粤.},社iAMS(1991)主题分类: 46S99….".. .掣 作者在E1]中发展了Altman:的收缩理论和Lee,Padgett[的随机收缩理论,在概率赋 范空间(简称PN一空间)中引入概率收缩的概念,研究了具有概率收缩的非线性算子方程的解 的存在性和唯一性文[6,7]研究了Altman的收缩理论和Matkowshi不动点定理.之间的 关系,引入了广义收缩的概念,统一和发展了这两个不同方向上的结果,并讨论了非线性集值 和单值算子方程组的解的存在性问题.本文的目的是研究概率收缩偶理论与 Matkowski不动 点定理之间的关系.我们在PN一空间中引入了广义概率收缩偶的概念,研究具有广义概率收缩 偶的非线性集值和单值算子方程组对(族)的解的存在性和唯一性,并讨论PN一空间中集值和 单值映象组对(族)的公共不动点的存在性本文改进和发展了[1—4,6—9]中的相应结果 本文中使用到的有关MengerPN一空间的符号和术语均见[10];^一型一范数的定义见E1]. 我们知道,如果(E,,,?)是一MengerPN空间,?满足supa(t,t)=1'贝9(E,F,?)是由 (e,)一邻域系导出的拓扑r的可度量化的Hausdorff拓扑线性空间].以下总设?为满足上 式的f一范数.设(E,F,?)是MengerPN一空间,为E中一切非空闭概率有界的子集族.对 ,占?,定义分布函数 F^..()=supA(infsupF.一5(),infsupF一5())0?R); F^O)=supsup0),t?R 引理1设(,F,?)是一MengerPN一空间,?n,则(i)n(O):O;(ii)F()1,(V? O)~OEA}(iii)Faa(f)=n(I^I)(^?0);(iv)对任意的,占?n,,@EB,有,^()?n.(f),t ? 国家自然科学基盆资助J=啦目收稿日期.1992—04O9 ?作者现工作单位:南通师范专科学校数学系 应用数学1996年 ?RI(v)若?连续,则有F^+(+屯)?a(F(f),F^(屯))(Vt,?0,V?x). 定义1假设(墨,F..?)和(,只,?)均为MengerPN一空间,一1,…,,和分别由 (x..F,?)和(y.,,,?)的(,,)一邻域系导出的拓扑.集值(单值)算子P:D(P)cx×…×x 一(YD称为一一闭的,若对任意(,…,)?D(P),?P(x7.….xT)(jr=P(x7,…. )),当;,1'-..,n,时,有(..'z)ED(P)f~I?P(1,…,)(:P (】,…,.z)). 为符号简洁起见,下面统一以F..r.和f分别表示F.,,,畦和,(;1.…,). 设(乱)是一×非负实数矩阵,定义 一』?l 1一rJ'i—,i,;1'.I?,} ' 】+ Z一1,…,一1f,=1,…讲一Z. 引理2.''存在正实数^(1,…,)使得 ?irj<ri,i一1'..?,i-】 的充要条件为4.,>0"l,…,{i=l,…,+l--1). 总以m表示使不等式组(1)有正解(r",)的非负实数-令g一m< ax{r 0<g<1f?毋.rj?qrl(=1'.1). j-i (1) ?a,,irj},则有 (2) 引理3设F和F为分布函数,且F(0)一(0)一0,O<k<l,使得 F1(缸)?min{F1(f),F2()),V?o.(3) 则有F(f)?F?(f)(V?0). 以上引理不难用反证法证明,从略. 本文以下处处设(墨,,?)是一完备的MengerPN一空间,(yF.?)是MengerPN.空间 (=1',),?是^一型f一范数,皿是y的一切非空f2.闭的概率有界子集族,一1,…m.记x = x1×…×x.设集值(单值)算子只DCZ~n(),..:X一s(,墨)(yf—X.的一切单 值算子的集合),1,…,nI口=1,2m?,1,…,m记P.=(Pl…,P),r.=(r】I.'.-?, . .),口:1,2,一("..I).(,)称为集值(单值)算子组P和P关于"的广义概率收 缩偶一如果对一切=(_.I)?D,Y.?,?0和I,…讲,口?卢,a,卢=1,2,都有(记 +)jr=(】+r】I.(1)jr1,一",矗+..())), ()?n{), F . 卜(),F . )+一()),..(+r.】一()}(4) (?一(J?"{ra'in), . ,(卜,(f』),F .(+一(,)},F,.(+(一()))(5) 注1由引理I(v)易知,如果?连续且?(f,f)?t(VtE[0.17>,则式(4)等价于 第1期张石生等;广义概率收缩偶与概率赋范空问中非线性方程的解35 ?min{ra'in',,?_.J',, Frj,+一(fJ),F .卜.一, ),F..+)一() F.. (z+f))十(2t),Fr,.(+厂.(),)一一(2tf),Fv...+厂.())一.()(2t?)). 对单值算子,直接利用三角不等式可作类似说明. 定理1Pil.,DCX--~m(1,…,}口=1,2)是闭的集值映象,r:X--S(Y,,X.)( 1.…,}口=1,2)满足条件: (i)(l+r1..(1)l,…,+r,())ED,V(l,…,)ED,y,Ey,==1,…,nl (ii)(r,)是和P关于的广义概率收缩偶,即式(4)成立} (iii)3』lf>0,V(",一)ED,y,EYf,i=1,…,,有(f)?F(南J,V?01 (iv)V(.-'矗),(21,…,2)ED,口?,a,一1,2,若4EP?(_-1),则存在6?P (zl,…,2一),使得F一{()?Fr,…).. J(Z1....z. )(f),Vt?0. 则非线性集值算子方程组对 ".?P_.1(l,…,),.?P..2(l,…,),f=1,…,(6) 在D中有解. 证先对Ui=01(1'.|?,)的情形进行证明,此时式(4)有如下的形式 一(由,/i)min{,"(), ((fJ)),Fr,_.【-(m)(f)).(7) 设(,…,)是不等式组(1)的正解,则由式(1)的齐次性,可设rl?1,i一1,…,.对任一.= (},…,})ED,取EP(),:1,…,n,令=}+.()(一),由假设(i)知 +()(一Y.)=(础+.(})(一?),…,+.1(z)(--yD)=一 =(z},…,)?D. 在式(7)中取a=l,=2,并以代和(一)代,而且令rig,Vf?0,i=1,…由0,E P(.)一及引理1(iv),有 n(?"1?.一(?1 J'lJ一1 =Fr ,..+PI(x0?_^(一)(?ritJ j-1 min{ra— in{F4'r/),F_2'(例,Fvi)一()),Fr)()) =rain【1ra'in{F()),Fr,..)(f))(8) 于是由式(2)可得 FI)()?F"'(,,)?min{品?},FI)()}. 由于0<口<,故由引理.取F()=F.】{,(),F(f):{F()}有品{F()}? F_1I)(nf)(V?0,=1?…,n).由式(2),(8)和上式有 Fgid(zt)()?FP,. tzbr:(z%-y~(?ai0ritJ f 口? + + f F 应用数学 ? 1 ra 《 in{(,V?O,i一,…'_ 又由假设(iv),对Oi?P()一,存在?P(一)使得 F~(qr.f)?Fpl_】(I).P【l2(0]一(gr),(Vt?0,i=1,…,) 综合上两式并由^?1":1t..?,")有 F~(qrd)?ra ? in{() j ra " in{(f)),V?O,i一1,… 记G(f)一rain{Fy, q(t)),则由上式可以得到F(f)?Gl嘉j'Vf?.,=1,…,")?又令} +z(z)(一)(f:1,…,"),则由假设(i)知 +()(一j,)一({+1.(i)(一yO,…,+.()(一))一 一 (,…,:)?D. 在式(7)中取a=2,一1,并以代0和(一)代且,仿上述的证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,知存在Y?P (),使得Fg(gf)?(F(r))?G寺』Vf?o,=1,…,")于是有F(f)?G c焘j(Vf?0,一1,…,"),由归纳法可得序列f)((,…,:)?D)和{}c"一1,…, )使得 一 一 +m()(--y2),=+m(2.)(一计); yP,一?PI|】(,…,:),.?P(i.,…,); (f)?G(J,V?=.一," (9) (10) (11) 由假设cm和式c.,c即得c下式中a一(::j "一 ):(?(幻?Fy;c击J/->Gl赢J,Vt?一1'..;m=o'1'2,…一 于是对yt>O,由于0<口<l,则有 "??("一,一??{Ge).G()) ??(Gf?(G(t--qt'1 重复上述论证过程我们可推得 f)?(G(】j?=一 因?是^一型的f一范数,且Vf>0,事一oo(m一..),故得知{)是rrCauchy序列,设z ,i=1'..?另由式(11)知r.于是由P和P1.的r_闭性及式(10)得知(t..., )?D,且?P..(,…,:);?P?(,…,:)"=I,…,"). 当(..)?(,…,)时,令O(z:,…,靠)=.(",)--lg,(_.')?D,i =1,…,";a=1,2,故D(Q)=D(..)=D.且只满足式(4)等价于Q满足式(7),于是对方 程组对(4)的讨论可以转化为对集值算子方程组对"?Q"(-._),?._')( =1'..?,")"的讨论.定理证毕 对单值算子方程组对 "一P(1,…,).珥=P(,…,),i=1.…."(12 第1期张石生等:广义概率收缩偶与概率赋范空间中非线性方程的解37 我们有下面的 定理2设P:DCX~Y(1,…,f=1,2)是r一闭的单值映象,x一s(y,置)" =1,….}口=1,2)满足下列条件: (i)(1+r1,(1)lI…,+.())?D,V(1,…,)?D,Y?Yi.==1,…,"; (ii)(r,)是单值映象组P和关于"的广义概率收缩偶,即式(5)成立; f+' (iii)3M>0,V1,…,)?D,yi?,i=1,…,有. ()?F(南I(V}?0). 则非线性单值算子方程组对(12)在D中有一解,…,),且V(!,…,:)?D,迭代序列 fz=2.+/"il()[一(P(,…,)一轧)]., 2=++r啦+)[一(Pc11一.…,)一)]'.' 满足z,ix1'..?,.特别,若再假设rl|1(x/)ix1,…,和.2().1,…,之一组 是一x,的满映象,则,…,)是方程组对(12)的唯一解. 证明的某些部分类似于定理1,限于篇幅,从略. 推论1设P:DCX~Y,.(ix1,…,}n?,,I为任意的指标集)是r-闭的映象组族, x(,X)(=1,…,;口?,),"?"=1,…,)使得 (i)1+r1.1)1,…,+r()弘)?D,V1.…,)?D,Y?,=1,…,,?Ii (ii)V口,?I,?和一(1,…,)?D,Y?Yi,?0,=1,….有 Fm…(a~J,J?min{ra《in(tj), Fe ,, 卜(),F. )+一 ()).Fz…~+r.(),)一(})), 其中+I()jr=(z1+r1.(1),…,+r()); (iii)j>.,V(,…,)ED,YtEY-,i=1,…,和EI有'()?F【击},V ?0; (iv)存在?,,使得对一切('..?,.)?D,r()是x,的满映象,ix1,… 则非线性算子方程组族 "=P,, (1,…,.),i=1,…,;?I(14) 在D中有唯一解,???.),而且对任给的(!,…,)?D,,?,,n?,迭代序列 .1=+,)[一(P(,…,)一)] z.一?+r(州)[一(P..?,…,.1)一")] 满足—z,i一1,…,. 利用定理1可得集值映象组对的公共不动点定理. 定理3设(?,F,d)是r一完备的MengerPN一空间,一1,…,,d是^一型一范数,丁;一 仃|(一1,…,f口=1,2)使得V=(z1,…,矗),jr=(,…,)?z,?0和=1,…,,有 _.,(aiOtJ)?n{思{F'},_^.))(15) 再设对任意的,=1,2,口?和aET(),存在6?.(jr),使得F一5(})?F..【" . c(), Vt?O,则存在(,….)?X,使得,?T...(,…,),i=l,…,}=1,2,即(z,…, )是集值映象组丁,1,…,和_2Iix1,…,的公共不动点. 证令P(z1,…,)一五一T1,…,矗),V(1,…,z)?X,ix1,…,f=1,2以及 应用数学1995芷 .. (.)anl,VXi6X.,i=1,…,^la=1,2(1x~X.上的恒等映象).于盎对任意的t一?o和l 一 1.._?,,由式(15)得知 _1{,I?+i+一一'f? /-1 = F-1l哪(al,】?min【m<in.''),F‰(t1),F)(t1)) ?min{.ra"in(,)')'')),())- 其中+=(l+.',屯+弘).故PI.1,i=1'..?,和Pm,f之1,…,满足式(7).因而由定理 1,存在(,…,)?X,使得?Pi..0,…,),f=1,…,I一1,2.故有?Ti..(,…, ),i1'..?,l一1,2.证毕. 类似定理3的证明(显然,对一切矗?墨...()anIx~是满映象)利用推论l,可得映象组 族的公共不动点定理. 定理4设(Z,F,?)和?与定理3中的相同,设Ti,:X-~X.,,,I,X--~N(正整数集),i= 1...?,n}口?,使得对任意的=(,),Y=(..,)?X,口,卢?I,口?,t.?0,f=1, …,, 有 tnin{ln{F'一'), F一(】? F'一??((),F一【((一))(16) 则映象组族{T...11'..?,^)在x中有唯一公共不动点(2,…,),即一('..?, ),i一1'..?,}a?I.而且对任意的(,…,)?X,a,卢?j,a?卢,迭代序列 +l=?{扣(扣), ?+2=州()"=1,…,l,,I=O,1,2'.-?) 满足+,i=1,…(上式中一=(,…,)). 参考文献 l张石生.科学通报,1990,35#1451~1454 2AItm?M.ContractorsandContractorDirections.TheoryandApplications,NewYork,MarcelDek ker, 1977. 8LeeAC.PadgettWJ,NonlinearAna1.TMA-1977,1#173~185 4————..bid.1979.3I704,715 5————.ibid.1980.4,l45,151 5ReddyK&SubrahmanyamPV,Ahman'5contractorsandMatkowski'Bfhedpointthe orem,Nonlinear Ana1.1981,5ll06l,1075 7ReddyKB.SubrahmanyamPV.Ahman'目contractorsandtixedpointsofmultivaluedmappings.PacificJ. Math.1982.99tl27,l36 8MtkowskiJ.Some~nequautiesandageneralizationofBanach'目principle.BuU.Acad.Pob~n.Sci.1973,21I 323~324 9————.1ategrablesoludunsoffunctionalequatior~,RozprawyMat.CZZVI1975,l,6B l0张石生,不砬点理论及应用.重庆出版社,1984, = . . ?