线积分与面积分

线积分与面积分 第四章 線積分與面積分 4.1 線積分 在基本微積分中,我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之間的面積,其做法為將圖形下的區域沿著X軸切割成許多的長方條(元素),然後將這些長方條的面積沿著X方向累加而形成所謂的Riemann sum並取其極限值後,即定義所謂的定積分。換言之,我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X(或Y)來求面積。 而接下來所要介紹的線積分:line integral:是針對雙變數函數沿XY平面上一曲線方向的積分。在幾何上,雙變數函數代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 空間中的一個曲面,故線積分就是 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 該曲面與XY平面上之曲線間所包圍之區域的面積。所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。 , 從數學上的幾何觀點定義線積分 假設C為XY平面上之曲線,並以參數表示為: xgtyhttb,,,,(),(), a 且雙變數函數f為x、y之函數,表空間中一曲面。現若將曲線C切割成許多段的小弧,且各弧長為,S,則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為: i lim(,)(,)fxySfxydS,,iii,,,S,0Cii 此式稱為f沿曲線C之線積分。 Z Y ,S C i ,y i ,xfxy(,) iii Y ,S X i X C ,x,S由上圖可知,當很小時,近似一直線,故由畢氏定理可知 ii 22,,,Sxy,， iii 4-1 又由均值定理可得: ,,xxxxcttgctctt,,,()()(),[,],, ,,,iiikkkkk,,,111 ,,,,,()()(),[,],, ,,,,,,yyyyctthctctt,,,111iiikkkkk 所以 22 ,,Sgchct,()()，,,,ik 22當,,故線積分的參數公式可寫為: ,,0tdSgthtdt,()()，,,k 22fxydSfgthtgthtdt(,)((),())()(),， ,,,,C 特例1 若C為X軸上的一直線區間,則,S=,x,則線積分還原為一般定積分: ii fxydSfxdx(,)(),,,C 特例2 若C為XY平面上平行X軸或Y軸上的線段,則線積分分別有下列兩種情形: ,,SxfxydSfxydx,,,(,)(,)ii,,CC ,,,,,(,)(,)SyfxydSfxydyii,,CC Z zfxy,(,) Y C 2 C 1 X 如上圖所示,一曲面對兩線段之組合路徑做線積分時的結果為: fxydSfxydxfxydyCCC(,)(,)(,),,，,, 12,,,CCC12 4-2 若有兩個不同之連續函數M(x,y)及N(x,y)分別對同一路徑做線積分時,其結果可 合併為: MxydxNxydyMxydxNxydy(,)(,)(,)(,)，,，,,,CCC 以上的線積分公式可推廣至對空間曲線之線積分公式,假設C為空間中之 曲線,並以參數表示為: xgtyhtzkttb,,,,,(),(),(), a 則線積分公式為: 222 fxyzdSfgthtktgthtktdt(,,)((),(),())()()(),，，,,,,,C , 線積分的計算方法: 1. 當曲線C以參數方式表示為:時,則將積分式中xgtyhttb,,,,(),(), a 的x與y均以g(t)及h(t)代換,並令,且以a及b為上dxgtdtdyhtdt,(),(),,, 下限。 2. 當曲線C以方式表示時,則不必以參數代換,而直接以ygxxb,,,(), a y=g(x)及代入,並以a及b為上下限。 dygxdx,(), , 從物理上功的觀念定義線積分 假設向量空間中一質點受向量力場之作用,此力場為: ,FxyzMxyzNxyzPxyz(,,)(,,)(,,)(,,),，，ijk 若質點位於一曲線C上,且其參數式為: ,,則沿曲線C移動該質點一微小位移時xgtyhtzkttb,,,,,(),(),(), aF 所做的功為: ,,,,WFxyzR,,(,,) ,,(,,),(,,),(,,),,,,, MxyzNxyzPxyzxyz，，，， ,，，(,,)(,,)(,,),,,MxyzxNxyzyPxyzz ,所以沿曲線C對質點做的總功為 F 4-3 WWMdxNdyPdz,,，，lim,,,C,,0 ,,假設為曲線C上任一點之位置向量,且為曲線上之單位切線向量,Rxyz,(,,)T 則: ,,dRdxdydz,,T,,,,,,,,dsdsdsds ,,dxdydz,,,，，FTMNP dsdsds,,,,,，，FTdsMdxNdyPdz,,,,,,,，，,,FTdsMdxNdyPdzFdR,,,CCC ,所以,功就是指力場沿曲線路徑C之切線方向上之分量:即投影量:的線積F ,分。反言之,線積分可以解釋為力場沿曲線路徑C對質點所做的功。 F ,在以上述公式求線積分時,應注意與曲線C之間的參數關係: Rxyz,(,,),,,,,dR1. 當表為t的參數式時,可使用。 FdRF,,,dtR,,CCdt,,,,,2. 當表為s的參數式時,可使用FdRFTds,,,。 R,,CC 4.2 Domains; Simply Connected Domains 1. 一個區域(region)如只包含內部點(interior points)而不包含邊界點(boundary points),則此區域稱為open。 2. 如果一個曲線位於一open的區域內,則根據1.的定義,此曲線絕不可與此 區域的邊界相交或接觸。 3. 若在一個open的區域內,只要給定兩個點就能找到一平滑曲線將該兩點連 接起來,則此區域稱為connected。 4. 一個既open又connected的區域稱為一個domain。 5. 若在一domain中的每一個封閉曲線均能在不使曲線的任何一部份跑到 domain以外的情形下,連續收縮成一個點,則此domain稱為 simply-connected。換言之,simply-connected domain就是只沒有洞口的 domain。 4.3 保守場 ,假設為domain D中的向量場,如果在D中能找到一個純量場φ使得F ,,,=gradφ,則向量場稱為保守場:conservative field:。φ稱為的勢能函數FFF 4-4 ,:potential function:,或簡稱為的勢能:potential:。φ的選擇並不唯一,因F ,為φ雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數,但其梯度仍為。以下為F與保守場有關之定理。 定理一 ,,,一個在domain D中連續的向量場為保守場,其中P、Q,,,,FdRQP,,()()F,C 分別為曲線C的起點與終點。換言之,在保守場中,線積分值只與路徑的起點終點有關,而與路徑無關。:證明課堂補充: 定理二 ,,,一個在domain D中連續的向量場為保守場,其中C為一封閉曲,,,FdR0F,C 線。 定理三 ,,一個在simply-connected domain D中連續可微分的向量場為保守場 F,,，,F0,即旋度為零。 4.4有向曲面及曲面面積 , 曲面的方向 一個曲面要有兩面才能定其方向,而其正方向是由曲面之法向量的方向來決定。 若一個曲面的邊界被一曲線包圍,則曲面的正面係指觀察者在沿著邊界曲線走時,曲面應永遠在其左側。 對於片段平滑的曲面,每一面都必須決定方向,且各正向曲面在交界處的曲線方向正好相反。 對於封閉之曲面,以遠離曲面之單位法向量的方向為正向。 , 平面的參數方程式 ,,Rxyz,(,,)假設表一平面上已知點之位置向量,而為該平面Rxyz,(,,)0000,,上之任一點之位置向量,且為該平面上兩個已知不互相平行的向量,則AB,,,,,,,,,RR,RR,必與AB,共平面,故可表為AB,的線性組合,亦即 00 ,,,,RRuAvB,,，0 ,,(,,)((,),(,),(,))(,),,,,RxyzxuvyuvzuvRuv 其中u、v為純量,而此式即為以u、v為參數之平面方程式。由此可知,一個平 4-5 面的參數方程式需要兩個參數來決定,而一個曲線的參數方程式僅需一個參數。其實使用參數方程式的意義就是將原來在XYZ座標系統下所描述之曲面上任一點(x,y,z)的位置改以建立在該曲面上之座標系統(u,v)來描述。所以,曲面的 ,,位置向量只要隨著參數u、v的變化即可產生一曲面。 RRuv,(,) ,, ,R,R ，,u,v , Z ,R ,v v (u,v) u ,,R, R,u Y X ,,如上圖所示,當參數v固定時,曲面的位置向量會沿著u方向建立一RRuv,(,) 曲線,則由偏微分及曲線的切線向量定義可知: ,,R表曲面上沿u方向之曲線的切線向量 ,u ,,同理,當參數u固定時,曲面的位置向量會沿著v方向建立一曲線,RRuv,(,) 則由偏微分及曲線的切線向量定義可知: ,,R表曲面上沿v方向之曲線的切線向量 ,v ,,,,,R,R,R,R因及為過(u,v)之切線向量,故外積代表曲面的法向量。 ，,u,v,u,v 在第三章我們曾經以非參的方式數表示曲面為f(x,y,z)=C,而與此曲面垂直的法向量為梯度向量grad f,所以我們現在有兩種方式來求曲面的法向量。 , 曲面的面積 假設我們從上圖的曲面上取一小片的平行四邊形元素,並以參數座標系統來看,則參考下圖可得下列關係: 4-6 ,,PQRuuvRuv,，,(,)(,), ,,,，,(,)(,),PSRuvvRuv ,, ,R,R， dudv S ,u,v(,)uvv，, R (,)uuvv，，,, P(u,v) Q (,)uuv，, 由微分的均值定理可得 ,,,R,RuuvRuv(,)(,)，,,,,uu, ,,,R,(,)(,)，,,,,RuvvRuvvv, 所以由外積的定理可知該平行四邊形元素的面積為: ,,RR,,,,,SPQPS,，,，uv uv,, 故曲面的總面積可利用極限及積分定義獲得如下: ,,RR,,SS,,，lim,dudv ,,,,,uv,,0uv,, 若再進一步令 ,,,,RRdS,,,dSdudvn, ,，, ,uv,,dS ,,,則為P點上的法向量,為與同方向之單位法向量,所以曲面的面積公式dSdSn 可改寫為: ,,, SdSndS,,,,,,, 當曲面的方程式以非參數之方式z=f(x,y)表示時,為了能利用上述的公式, 我們可以令 4-7 xuyvzfuv,,,,,(,) ,,,便可將曲面的位置向量轉換為,所以有 RuvfuvRuv,,(,,(,))(,)Rxyfxy,(,,(,)) ,,,R,R,f,,,,10,,,,,,,u,x,x ,,,,,R,R,f,,01,,,,,,,v,y,y 所以曲面面積公式為: ,,,RRff,,,,,,dSdudv,,1dxdy,，,,,,,,,uvxy,,,, 22,,,,,ff,,1,,,，，,,,,SdSdxdy,,,,,,,,xy,,Rxy R其中代表曲面在XY上投影的區域範圍,此範圍即用以定義該雙積分的積分xy,上下限。我們再進一步討論曲面的法向量與Z軸之單位向量k的關係;考慮dS 兩個向量的內積: ,,dSdS,,kcos, ,,,f,f,,,,,,,,1001，，,,,,1,x,ydS,,,cosk=, ,,2222dS,,,,,,,,,f,f,f,f1，，1，，,,,,,,,,,,,,,,,,,x,y,x,y 221,,,,,f,f,，1，,,sec,,,,,,,,,cos,x,,y ,其中γ為單位向量k的夾角,所以可得 dS 22,ff,,,,,,SdS,,，1，dxdy,,,,,,,,,,,,xy,,Rxy 1,dxdy,,cos,Rxy ,dS由以上的公式我們可以了解曲面上一片小元素的面積與此元素在XY平面上 ,dS投影的面積相差cosγ倍,換言之,在XY平面的投影面積等於其面積乘上 4-8 cosγ,此即為面積餘弦定理:Area Cosine Principle:。利用此定理可簡化上述的積分計算。 4.5 面積分 假設S為一平滑的曲面,且f(x,y,z)為一定義於該曲面上的連續函數,則f對曲面S的面積分定義為: , fdS,, ,,一般而言,f(x,y,z)常起源於一向量場與曲面上的單位法向量的內積,即 Fn,,,所以面積分的公式可改寫如下: fFn,, ,fdS,, ,,,,,FndS,,,,,dS ,,,FdS,,dS,,,,FdS,,,,,,,,,RR,,，,,,,Fdudv,,,,uv 若曲面以非參數之方式z=f(x,y)表示時,可利用面積餘弦定理改寫面積分公式: ,fdS,, ,dxdy,,,Fn,,,cos 4.6 體積分 如同面積分的定義,假設f(x,y,z)為一定義於包含邊界在內之區域V上的連續函數,則f對該區域V的體積分定義為: fxyzdV(,,) ,,,V 在直角座標系下,常將體積元素假設為邊長分別為的平行六面體,故dxdydz,, 體積分可表為: fxyzdxdydz(,,) ,,,V 4-9 而當f(x,y,z)=1時,體積分即簡化為: dV,,,V 此即代表區域V的體積。 , 補充內容 動力學之功與位能及保守場的關係。 , 參考文獻 th[1] Davis, H. 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