直线系、圆系方程

直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（ ， ）的直线系方程： （A,B不同时为0）. 例 1 求过点 圆 的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为 （其中 不全为零）， 则整理有 ， ∵直线l与圆相切，∴圆心 到直线l的距离等于半径1，故 ， 整理，得 ，即 （这时 ），或 ． 故所求直线l的方程为 或 ． 点评：对求过定点（ ， ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点 的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习：　过点 作圆 的切线l，求切线l的方程． 解：设所求直线l的方程为 （其中 不全为零）， 则整理有 ， ∵直线l与圆相切，∴圆心 到直线l的距离等于半径1，故 ， 整理，得 ，即 （这时 ），或 ． 故所求直线l的方程为 或 ． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线 ： （ 不同时为0）与 ： （ 不同时为0）交点的直线系方程为： （ ， 为参数）. 例2 求过直线： 与直线： 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为： ， 当直线过原点时，则 =0，则 =－1， 此时所求直线方程为： ； 当所求直线不过原点时，令 =0，解得 = ， 令 =0，解得 = ， 由题意得， = ，解得 ， 此时，所求直线方程为： . 综上所述，所求直线方程为： 或 . 3、求直线系方程过定点问题 例3 证明：直线 ( 是参数且 ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为: , ∵ ∈R,  ∴ ，解得， ， ， ∴直线 ( 是参数且 ∈R)过定点（1,1）. （特殊直线法）取 =0， =1得， ， ，联立解得， ， ， 将（1,1）代入 检验满足方程， ∴直线 ( 是参数且 ∈R)过定点（1,1）. 点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点. 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以 为圆心的同心圆系方程： 　 与圆 ＋ ＋ ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为： ＋ ＋ ＋ ＝０ 2、过直线 ＋ ＋Ｃ＝０与圆 ＋ ＋ ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为： ＋ ＋ ＋Ｆ＋ （ ＋ ＋Ｃ）＝０（ Ｒ） 3、过两圆 : ＋ ＝0， : ＋ ＝０交点的圆系方程为： ＋ ＋ （ ＋ ）＝0（ ≠-１，此圆系不含 : ＋ ＝０） 特别地，当 ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 ，可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程: 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例  求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。 例１、求经过两圆 ＋3 － －2＝０和 ＋2 ＋ ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为： （ ＋3 － －2）＋ （ ＋2 ＋ ＋１）＝０ ∵　（0，0）在所求的圆上，∴　有－2＋ ＝０．　从而 ＝２ 故所求的圆的方程为： 即　 ＋7 ＋ ＝０。 练习：求经过两圆x2+y2+6x4=0和x2+y2+6y28=0的交点,并且圆心在直线xy4=0上的圆的方程. 1解: 构造方程 x2+y2+6x4+λ(x2+y2+6y28)=0 即 (1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy(4+28λ)=0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为 当该圆心在直线xy4=0上时,即 ∴ 所求圆方程为 x2+y2x+7y32=0 2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程： 例2（1）：求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。 分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 解：圆 和 的公共弦方程为 过直线 与圆 的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心 必在公共弦所在直线 上。即 ，则 代回圆系方程得所求圆方程 例２（2）; 求经过直线 ：2 ＋ ＋4＝０与圆Ｃ： ＋2 －4 ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程． 解：设圆的方程为： ＋2 －4 ＋1＋ （2 ＋ ＋4）＝０ 即 ＋ ＋（1＋4 ）＝０则 ，当 ＝ 时， 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为： ＋26 －12 ＋37＝０ 练习： 1．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零） 2．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零） 3．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上） 4．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径） 3、利用圆系方程求参数的值： 例3：已知圆 与直线 相交于P，Q两点，O为坐标原点，若 ，求实数m的值。 分析：此题最易想到设出 ，由 得到 ，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线 与圆 的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心 显然在直线 上，则 ，解之可得 又 满足方程①，则 ，故 。 4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系： 例4 圆系 ＋2 ＋（4 ＋10） ＋10 ＋20＝０（ Ｒ， ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？ 解：圆系方程可化为： ＋10 ＋20＋ （2 ＋4 ＋10）＝０ ∵　与 无关  ∴　 　即 易知圆心（０，-５）到直线 ＋2 ＋5＝０的距离恰等于圆 ＝５的半径．故直线 ＋2 ＋5＝０与圆 ＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切． 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。　 练习： 一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程 例1求过圆： + + +1=0与圆： + + =0的交点，圆心在直线： 的圆的方程. 分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解. 解析：设所求圆的方程为： + + +1+ + + )=0( ≠ ). 整理得 =0， 所以所求圆的圆心为 ， 由已知知所求圆的圆心在直线： 上， 所以 ＝0，解得， = ，代入圆系方程整理得， 所以，所求圆的方程为 . 点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数 不等于 这一条件，同学们应很好掌握这一方法. 二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程 例2已知圆O： 和圆外一点A（3，4），过点A作圆O的切线，切点分别为C、D，求过切点C、D的直线方程. 分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程. 解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1, )， ∴|AO|= = ，线段AO的中点为（2，1）， ∴以线段AO为直径的圆的方程为， ，即 ， 圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得： + +3=0， ∴直线CD的方程为 + +3=0. 点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数 为何值时表示圆，参数 为何值时表示直线. 例如：求与圆x2+y2－4x－2y－20=0切于A(―1,―3)，且过B(2,0)的圆的方程。 解：过A(―1,―3)的圆的切线为：3x+4y+15=0与已知圆构造圆系： x2+y2－4x－2y－20+λ(3x+4y+15)=0 ∵曲线过B(2,0) ∴λ= ∴所求的方程为：7x2+7y2－4x+18y－20=0 例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x2+y2=16和x2+y2－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。 分析：由x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切。 解： ∵x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1 ∴这两圆是外切 ∴(x2+y2－6x+8y+24)－(x2+y2－16)=03x－4y－20=0 ∴所求的两圆内公切线的方程为：3x－4y－20=0 学生注意：对于不同心的两个圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，圆系方程C1+λC2=0 补充：