函数的周期☆
函数的周期
——函数图象对称性问题的拓展
中国中学 刘艳华
随着二期课改的深入及新教材的运用，提高学生能力的问题越来越引起人们的重视。为了进一步提高
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学习的质量，有必要对能力问题开展进一步的研究。拓展课的功能就是开阔学生的视野，提高学生的能力。本节课就是学完函数及三角函数后的一节拓展课。
一、复习提问:
已知函数是定义在R 上的偶函数，且满足f(x，2),,f(,x),又0,x,1时，f(x)
f(x),2x，1,则f(15.5),________。
由此引出课题:
由电脑打出研究函数奇偶性时有关对称的结论及基本三角函数对称性及周期性的结论，由此引导学生探讨对称性与周期性的关系，得出如下命题: 二、新课:
命题1:若的图象关于直线对称，则为周期函数且f(x)x,a,x,b(a,b)f(x)
。 T,2|a,b|
(a,0),(b,0)对称,则f(x)命题2:若f(x)的图象关于点为周期函数且T,2|a,b|。
x,a,点(b,0)命题3:若f(x)的图象关于直线对称，则f(x)为周期函数且
T,4|a,b|。(这里的周期不一定是最小正周期) 三、类型题:
例1:已知f(x)是R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，
f(x) 证明是周期函数;
f(,x，3),f(x),且f(1),,1,则f(x)例2:已知定义域为R的偶函数满足
的值为_______________。 f(5)，f(14)
例3:是定义在R上的偶函数，其图象关于x=2对称，已知x,(,2,2]时f(x)
2f(x),,x，1,则当x,(,6,,2]时
表
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达式为的表达式是_________f(x)f(x)
R例4:已知定义在上的函数满足(1);(2)f(x)fxfx(4)(),，,fxfx(3)(3)，,,,且在[2，3]为减函数，则在上是( ) f(x)f(x)[2,1],,
33ABD 增函数 减函数 增 增减性无法确定[2,],,[,1],,减C22
知和都是R上的奇函数，且对任意x,R都有f(x),g(x，1)，例5:已f(x)g(x)
则。 g(2004),_______
小结:
1、通过类比和联想探讨了一类函数图象的对称性和周期性及应用。 2、根据本节课的学习，你自己是否会继续研究一些问题呢,如:方程的曲F(x,y),0
线对称性问题。
思考题1:已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数且
f(x),g(x,1)(x,R)
(1) 求f(2)的值。 (2)证明函数f(x)是周期函数。 (3)若g(x),,x，1(x,[0,2]f(x),ax(a,0))且方程有101个实根，求实数a的取
值范围。
f(x)思考题2:已知是R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意
1 x,x,[0,]都有f(x，x),f(x)，f(x),且f(1),a,01212122
11 (1)求; (2)证明是周期函数; f(x)f()及f()22n
1(3)记a,f(2n，),求lim(lna)nn,,n2n
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