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错位相减法与裂项相消法
【摘 要】数列求和是数列的重要内容，错位相减法与裂项相消法都是数列求和的重要方法，数列求和能体现学生对数列知识的掌握情况，同时也是
数学
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思想应用的一种体现，本文就这两种方法本质作进一步探讨。
【关键词】错位相减法;裂项相消法;前n项和
错位相减法是高中新教材中介绍的一种很重要的数列的求和方法，它适用于{anbn}类型数列的前n项求和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列。它的目的在于把非等差非等比的数列转化成等比数列再进行求和。然而很多学生都很容易在计算上犯错，导致解题失败。对这种类型的题目是否还有其它的解法可寻呢,
裂项相消法就是把数列的一项裂成一个数列相邻两项的差，从而在求和中使许多中间项相互抵消，从而达到求和的目的。这种方法的关键在能把通项裂开达到前后相消，它的运算过程相对简单，而且不易出错。那我们能否用裂项相消法来解决错位相减法的问题呢,先看下面一个例子:
例1:已知an=n?2n，求数列{an}的前n项和sn。
解法一:错位相减法
sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n ?
2sn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1 ?
?-? 得
-sn=(2+22+…+2n)-n?2n+1
=2n+1-2-n?2n+1
?sn=(n-1)?2n+1+2
解法二:裂项相消法
?an=n?2n
=[(n+1)?2n+1-n?2n]-2n+1
?sn=[(2?22-1?2)-22]+[(3?23-2?22)-23]+[(4?24-3?23)-24]+…+[((n+1)?2n+1-n?2n)-2n+1]
=[(2?22-1?2)+(3?23-2?22)+(4?24-3?23)+…+((n+1)?2n+1-n?2n)]-(22+23+24+…+2n+1)
=[((n+1)2n+1-2)]-(22+23+24+…+2n+1)
=(n+1)2n+1-(2+22+23+24+…+2n+1)
=(n+1)2n+1-?
=(n-1)?2n+1+2
从以上可以看出两种解法实质都是转化为等比数列的求和问题。但对求一般的数列{anbn}的前n项和(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的问题，能否都可以用裂项相消法呢,
设数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d。数列{bn}为等比数列，首项为b1公比为q，求数列{anbn}的前n项和sn。
解:(1)当d=0或q=1时，{anbn}为等比数列或等差数列，故不必讨论。
(2)当d?0且q?1时
?an+1bn+1-anbn=(an+d)bnq-anbn
?=(q-1)anbn+dqbn
?anbn=?[an+1bn+1-anbn]-?bn
sn=a1b1+a2b2+…+anbn
=?[(a2b2-a1b1)+(a3b3-a2b2)+…+(an+1bn+1-anbn)]-?(b1+b2+…+bn)
=?(an+1bn+1-a1b1)-???
=?-?
从而达到数列求和的目的。例如:
例2:求数列1，3a，5a2，7a3，……，(2n-1)an-1的前n项和sn(a?0，a?1)。
解:?(2n-1)an-1=?{(2n+1)an-(2n-1)an-1}-?an-1
?1?a0=?{3a1-a0}-?a0
3?a1=?{5a2-3a1}-?a1
5?a2=?{7a3-5a2}-?a2
… …
Sn=1?a0+3?a1+5?a2+…+(2n-1)an-1
=?{{3a1-a0}+{5a2-3a1}+{7a3-5a2}+…+{(2n+1)an-(2n-1)an-1}}-?(a0+a1+a2+…+an-1)
=?{(2n+1)an-a0}-?×?
=?
由此可以看出对数列{anbn}的前n项和(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)问题，既可用错位相减法，又可用裂项相消法。它们在本质
上是相同的，都是转化成等比数列的求和问题来解决，它们之间有异曲同工之妙。但裂项相消法与错位相减法也有不同之处，能用错位相减法的一定能用裂项相消法，能用裂项相消法的不一定能用错位相减法。如an=n(n+1)就可以用裂项相消法变成an=?[n?(n+1)?(n+2)-(n-1)?n?(n+1)]很快就可求前n项和，此题就不能错位相减法来完成。所以我们可以认为错位相减法是特殊方法，而裂项相消法才是通法。
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