1 2011年广州市花都区高二数学竞赛试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
2011.12.25
考生注意:⒈用黑色钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;
⒉不准使用计算器;
⒊考试用时120分钟,全卷满分150分.
一、选择题:本大题共4小题,每小题6分,满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若[]x 是不超x 的最大整数,如[]3.13=,若0x 是方程[]28x =的实数根,则( )
(A )023x << (B ) 034x << (C ) 023x <≤ ( D ) 034x ≤<
2.已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L
L 共有 条 ( )
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
3.在△ABC
中,1tan ,cos 2A B ==ABC 的最长边为1,则最短边长为 ( ) (A
(B
(C
(D
4
.满足y x ,y ) ( )
(A )只有一对 (B )恰有两对 (C )至少有三对 (D )不存在
二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,满分36分.
1.等差数列中,3835a a =,则前n 项和n s 取最大值时,n 的值为
2. 已知对于任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2011个实数解,则这2011个实数解之和为
3.如图一,设P 为△ABC 内一点,且2155AP AB AC =+ , 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 4
.已知棱长为P 到其中三个面的距离分别为1、2、3,则点P 到第四个面的距离为
5.若sin sin 1x y +=,则cos cos x y +的取值范围是
6.若 112
x a x -+≥ 对一切0x >恒成立,则a 的取值范围是 .
图一A
2
三、解答题:本大题共5小题,满分90分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
1.(本题15分)已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==- , 设函数()f x a b =
[]0,x π∈ (1)求()f x 的单调区间;
(2)若()0f x =在区间[]0,π上有两个不同的根,αβ,求cos()αβ+的值.
2.(本题15分)如图二,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面α内作菱形ABCD ,边长为1,060BAD ∠=,再在α的上侧,分别以ABD ?与△CBD 为底面安装上相同的正棱锥P ABD -与Q CBD -,090APB ∠=. (1)求证:PQ BD ⊥;
(2)设AC 与BD 交于,E 求cos PEQ ∠; (3)求点P 到平面QBD 的距离; 3.(本题20分)已知△ABC 的三边长分别为b c a 、、,且满足2(1)(1)(1)abc a b c =--- 是否存在边长均为整数的△ABC ?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。
4.(本题20分)数列{}n a 满足:112a =
,1(1)(1)
n n n na a n na +=++ (1)求 n a
(2)令12,n n x a a a =+++ 12111,1,2,n n y n a a a =+++= ; 若n n n c x y = , 12n T c c c =++ 求 T
5. (本题20分)在平面直角坐标系xoy 中,
已知圆221:(3)(1)4c x y ++-=
和圆222:(4)(5)4c x y -+-=
.
(1)若直线l 过点(4,0)A ,且被圆1c 截得的弦长为
求直线l 的方程;
(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l , 它们分别与圆1c 和圆2c 相交,且直线1l 被圆1c 截得的弦长与直线2l 被圆2c 截得的弦长相等,试求:所有满足条件的点P 的坐标
A
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