绝对值(提高)知识讲解

绝对值（提高） 撰稿：孙景艳  审稿：赵炜 【学习目标】 1．掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 . 【要点梳理】 要点一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0     要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立． 4. 求商法：设a、b为任意正数，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；反之也成立． 若a、b为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1．计算：（1）   （2）|-4|+|3|+|0|  （3）-|+(-8)| 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果. 解：(1) ， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8． 【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值． 2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值． 【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论． 【答案与解析】 解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6； 因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4； 由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4． 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4. 举一反三： 【变式1】 (1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少? 【答案】x＝6，y＝±4 【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为        ． 如果｜x－2｜＝1，那么x＝        ； 如果｜x｜＞3，那么x的范围是          ． 【答案】6或-6；1或3； 或 【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系． 【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|， 由此可得：|a+b|≤|a|+|b| . 类型二、比大小 3． 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3) 与 ；(4) 与 ． 【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较． 【答案与解析】 解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5． 因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|． (2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0． (3)化简得： ．这是两个负数比较大小，因为 ， ，且 ．所以 ． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|． 【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三： 【高清课堂：绝对值比大小  例（简单举例）】 【变式1】比大小： （1） －0.3        （2）     ． 【答案】＞；＞ 【高清课堂：绝对值比大小    典型例题2（最后两个）】 【变式2】比大小：（1） ______－1.384；（2） －π___－3.14． 【答案】＞；＜ 【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来． 【答案】解法一：∵  m＞0，n＜0， ∴  m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数． 又∵  正数大于一切负数，且|m|＞|n|， ∴  m＞-n＞n＞-m． 解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|， 把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示． ∵  数轴上的数右边的数总比左边的数大， ∴  m＞-n＞n＞-m． 类型三、含有字母的绝对值的化简 4. 把下列各式去掉绝对值的符号． (1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)． 【答案与解析】 (1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴  |a-4|＝a-4． (2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴  |5-b|＝-(5-b)＝b-5． 【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号. 举一反三： 【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示： 化简： . 【答案】 解：由图所示，可得 ． ∴ ， ， ， ∵ ． ∴ 原式 ． 【变式2】求 的最小值． 【答案】 解法一：当 时，则 当 时，则 当 时，则 综上：当 时， 取得最小值为：5. 解法二：借助数轴分类讨论： ① ； ② ； ③ . 的几何意义为 对应的点到-2对应点的距离与 对应点到3对应点的距离和． 由图明显看出 时取最小值． 所以， 时， 取最小值5. 类型四、绝对值非负性的应用 5. 已知a、b为有理数，且满足： ，则a=_______，b=________． 【答案与解析】由 ， ， ，可得 ∴ 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 举一反三： 【变式1】已知 ，则x的取值范围是________． 【答案】 ；提示：将 看成整体 ，即 ，则 ，故 ， ． 【变式2】已知b为正整数，且a、b满足 ，求 的值． 【答案】解：由题意得 ∴       所以， 类型五、绝对值的实际应用    6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 【答案与解析】 解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛． 【总结升华】绝对值越小，越接近标准. 举一反三： 【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】 解：小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻.