凸函数的性质

凸函数的性质 凸函数的性质及其应用 陈少璋 09信计一班 摘 要:函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。而凸函数则是其中重要的一类。凸函数广泛应用于数学 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 ，控制论等领域。函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图像以及 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。 关键词: 凸函数 性质 应用 1.引言 凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由Jensen给出。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。 凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是:在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。 本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。现行高等数学教材中, 也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用;研究凸函数在最优化中的应用，研究比凸函数更一般的各类凸函数，给出它们的定义及以及其之间的关系;以及广义凸函数求极小的问题(即广义凸规划)和广义凸函数求最大的问题。 2. 凸函数的概念与等价定义 2.1 凸函数的概念 人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。这种从几何直观给出的关于曲线凸(凹)的概念反映在数学上就是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达该曲线的凸(凹)性概念。 1 II定义2.1.1([1]) 设是定义在区间上的函数, 若对上的任意两点fx，， fxfx，xx，，，，，,,fx，，1212If,xx,,常有，则称为上的凸函数。 12,,22,, xx12I]) 若在定义上成立不等式(?) 定义2.1.2 ([2 xx，,,fxfx，，，，，1212f,,fx，，2,,2I<，则称是上严格的凸函数。 x,xa,，，aa 例1.1.1 指数函数(>0,?1)是(-?，+?)上的严格凸函数。 x,xa,，，aa不难验证，恒正的函数(>0,?1)满足关系式 xx，,,12xx,,,,，，，，12,,xx,212,,，由指数函数的单调性可知，当 时，必有 ,,xx,，，，，12 ，再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有 ，xxxxxx,,,,，,,，，，，，，，，，121212,,,,,xx，，，，122,,22<，综上所述可得:<， x,xa,，，aa因此，(>0,?1)是(-?，?)上的严格凸函数。 2.2 凸函数的等价定义 II定义 2.2.1([3]) 设在区间上有定义，在上成为凸函数当且fxfx，，，， Ixx仅当对任意 ,?,任意?(0,1)有,12 fxxfxfx,,,,，,,，,11，，，，，，，，，，1212 I若不等号反向，则称 为上的凹函数。 fx，， I若“?”改为“<”，则称 为上的严格凸函数。 fx，， II定义2.2.2([4]) 设在区间上有定义,在上成为凸函数当且仅fxfx，，，， fxfx，xx，，，，，,,1212If,xx当对任意,?,有 . 12,,22,, II定义2.2.3([5]) 设在区间上有定义，在上成为凸函数当仅fxfx，，，， 2 n,,x,i,,n1i,1,,Ixxxffx,当对任意,„,?,有 ，，,i12nnn,,i,1,,,, Ixxx推论:若 在区间上成为凸函数，则对任意<<,有 fx，，123 fxfxfxfxfxfx,,,，，，，，，，，，，，，213231 ,,xxxxxx,,,213232 I注:若在上连续，则上述定义1,2,3等价。 fx，， 3. 凸函数的简单性质 在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。 ，， 设fx定理3.1 ([6])在区间I上为凸函数，对任意，则: k,0 ，，，，时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数。 kfxkfxk,0k,0 ，，，，gxfx，，，，定理3.2([7]) 设，是间I上的凸函数，则其和fx，gx也是I上的凸函数。 由定理3.1和定理3.2可知下面的推论 ，，，，gxfx推论:设，是间I上的凸函数，则线性组合的函数 ，，，，，，kfx，kgxk,k,0为I上的凸函数，，，，，为I上的凹kfx，kgx(k,k,0)12121212函数。 ，，，，gxfx,,，，，，定理3.3([8]) 若设，是间I上的凸函数，则maxfx,gx为I上的凸函数 ，，,u定理3.4([9]) 设是单调递增的凸函数，u = f (x)是凸函数，则复合函 ,,，，数,fx也是凸函数 1，，，，fxfx,0定理3.5([10]) 设为区间I上的凹函数，，则为区间I，，fx上的凸函数，反之不真。 1，，x,x,R,,,0,1证明:要证为区间I上的凸函数，即证任意有 12，，fx 3 1,1,,,因为，，，为凹函数。故有 fx,0,，，，，，，，，，fx，1,xfxfx,,1212 . 所以: ，，，，，，，，，，f,x，1,,x,,fx，1,,fx1212 11, ，，，，，，，，，，f,x，1,,x,fx，1,,fx1212 1,1,,只需证明:,由于,，，，，，，，，，，，fx，1,fxfxfx,,1212 1,1,,22，，，，，，，，fx，fy,2fxfy，故 成立，结论得,，，，，，，，，，fx，1,xfxfx,,1212 证。 1,2x,2x，，fx,e,0另:设为R上的凸函数，但仍为凸函数。 ,e，，fx ，，定理3.6([11]) 若fx在区间I上为凸函数，对任意，则为I的内xx,I ''''，，，，fx,fx点。则单侧导数皆存在，且。 ，，，，fx,fx,,，， ，，，，推论:若fx为I上的凸函数，则fx在I上的内点连续。 x,,,a,b,，,,R,，，,,定理3.7([12]) fx为区间a,b上的凸函数，对任意对0，，，，，，fx,,x,x，fx任意有. x,I00 ，，,,证明:(必要性) 已知fx为区间a,b上的凸函数，则由定理2.5可知 ，，，，fx,fx''0，，fx，，x,,,a,bfx对任，存在，且单调于。 ,00，x,x0 ''，，，，,,,fx,,fx，，，，，，x,xfx,,x,x，fx故对当时有，同理，当,0，0000 ''，，，，，，，，，，fx,fxx,xfx,,x,x，fx时，当时有，因为 .故对，,,,0，0000 ''，，，，fx,,,fx，，，，，，,x,,,a,bfx,,x,x，fx对，总有. ,0，0000 ,x,x,x,,,a,bx,(充分性)对，由题设，对，存在使得 1232 ，，，，，，，，,,fx,,x,xfx,x,a,b 22 4 fx,fxfx,fx，，，，，，，，3221x,x,x,x在上式中分别令得. 证毕。 ,,,13x,xx,x3221 4. 凸函数的判定定理 ，，是否为凸函数，常常并不方便。因此需要利用凸函数的定义判别函数,x 建立一系列的便于应用的判别法。 ，，定理4.1([13]) 若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积,x,,a,b x分所定义的函数是上的一个凸函数。 ,,a,b，，，，,x,,tdt,a a,x,x,b12证明:设，则 x，x12xx，x2,,122，，2，，，，，，,x,,，,x,,tdt,,tdt ,,x，x1212,,x12,,2 x，x12xx，xx,x2,,12212，，，，,tdt,,，,,tdt，，由于,x是递增的，故 ,,x，x12,,x122,,2 x，x,,12，，，，,x,2,，,x,0，，从而得.这样，由定义1可知，,x是凸函数。 ,,122,, ''II，，,x，，定理4.2([14]) 若在间上存在，则,x在上成为凸函数的充分必 ''，，xI,,0要条件是:在上 x，xx,x1212，，,xx,x证明:(1)必要性，已知为凸函数，令，并设 ,t,,h1222 t，h，t,h,，，，，,h,0因而，这样就有t,，即，，，，，， ,t，h，,t,h,2,t,0，，,2 ''tutu,，，，，，,,,''''，，,t,0tlim用反证法，假定，由，，可知，存在,,u,02u ''，，，，,t，u,,t,u,,,u(0,u,h)，使得 ,,0,h,0 d''，，，，，，，，，，,,,t，u，,t,u,2,t,,t，u,,t,u另外，从 知 du u,0，，，，，，,t，u，,t,u,2,t是u的减函数。但这函数当时等于。 0 '',0，，,t,0，，，，，，因此，,t，u，,t,u,2,t.这与结论矛盾，因而 充分性，两次应用中值定理有 Lagrange 5 '，，，，，，,h，t,,x，h,x，,h(0,,,1)， ''''''，，，，及,,，,h,,x，,h,，，x，,,h(0,,,1)， '2'''，，，，，，从而,x，h,,x，h,x，,h,，，x，,,h '''，，，，，，，，再由,x,0得,x，h,,x，h,x x，xx，x1212在上式中，令及得 ,,x，h,xx,x，h,xx,1222 x，xx,xx，xx,x,,,,,,,,''12121221，，，，，，，，,x,,x,x,,x,，,，, ,,,,,,,,212222,,,,,,,, x，x,,12，，，，,x,2,，,x,0，，两式相加得 .故是凸函数。证毕。 ,x,,122,, ''''II，，，，,x,x,0，，定理4.3([15]) 若在区间上存在，，则在区间是严,x格凸函数。 5. 关于凸函数的几个重要不等式 Jensen5.1 不等式 I，，定理5.1.1([16]) (凸函数的基本不等式)设,x是间上的凸函数，则对 Ix,x,...,x中任意个数成立不等式n12nxxxxxx，，，，，，，，...，,，,，...，,,,12n12nx,x,...,x,，当仅当时等号。 ,,,12nnn,, IJensen，，定理5.1.2([16]) (总和不等式)若,x是上的连续凸函数， p,p,...,p是一组不为零的非负数，则成立不等式: 12n ,,px，px，...，pxpx|，px，...，px，，，，，，,,,1122nn1122nn,,,， ,,,p，p，...，pp，p，...，p12n12n,, x当仅当都相等时等式成立。 i p,p,...,p证明:(1)特别地，设都是非负有理数，12n mmmn12l,l...lm,m...mp,,p,,...,p,，为自然数;为非负数，这样 12n12n12nlll12n 6 mmmn12xx...x，，，12npxpx...pxlll，，，1122nn12n，分子，分母同乘以,mmmpp...p，，，n1212n...，，lll12n l.l...l，上面分式就成了凸函数的基本不等式的样子，此时 12n n,m.l...l，m.l...l，...，ml...l，因而得证。 12n21nn1n,1 pp,p,...,p一般地，设都是非负实数，记,z(k,1,2,...n) 12nkp，p，...，p12n zz,z(m,则可具有公分母的有理数列，使)这样由(1)有 nkmkmk ，，，，，，，，,zx，zx，...，zx,z,x，z,x，...，z,x1m12m2nmn1m12m2nmn ，，考虑到,x具有连续性，因而对上面不等式的两边极限，立得 ，，，，，，,zx，zx，...，zx,z,x，...，z,x，证毕。 1122nn11nn IJensen，，定理5.1.3([17]) (积分不等式)若,x是上的连续凸函数， b，，，，而fx与px是,,a,b上的连续函数，，则成立 ，，，，px,0,pxdx,0,a bb,,pxfxdxpxfxdx，，，，，，，，，，,,,,,aa, ,,,bb,,，，，，pxdxpxdx,,aa,, ba,xakkn,，(,0,1,2,...,)knJensen证明:令，由总和不等式有 ba,xxx,,,,kk，1kn ，，pxfx，...，pxfxpxfx，...，pxfx，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,00n,1n,100n,1n,1, ,,,，，，，，，，，px，...，pxpx，...，px0n,10n,1，， n,1n,1,,pxfx,xpxfx,x，，，，，，，，，，,,,,,kkkkkkk,0k,0,,,从而，，当令时，即得 n,,n,1n,1,,，，，，px,xpx,x,,,,kkkk,k,0,k,0 7 bb,,pxfxdxpxfxdx，，，，，，，，，，,,,,,aa，证毕。 ,,,,bb,,，，，，pxdxpxdx,,aa,, 例5.1.1 若为上的正连续函数，则 ，，fx,,a,b bb11,,，，，，lnfxdxlnfxdx, ,,,,aa,,baba,, lnu证明:考虑到函数是凹函数，，，为上的正连续函数，当设fx,,a,b bb,,fxdxlnfxdx，，，，,,,,aaJensen，，，根据积分不等式立得ln，整理可得 px,1,,,bb,,dxdx,,aa,,bb11,,，，，，lnfxdxlnfxdx,. ,,,,aa,,baba,, n pa,iinn,1ia,0,p,0,(i,1,2,...n)例5.1.2 若，则 paln,palnaii,,iiiiin,1,1iip,i,1i 1''Jensen，，证明:设，，，因故,x是凸函数。由,x,xlnx(x,0)，，,x,,0,x nnn papapaaln,,,iiiiiiin,1,1,1iiip总和不等式有，两边同乘以立得 ,ln,innni,1ppp,,,iii,1,1,1iii n pa,iinn,1i，证毕。 paln,palna,,iiiiin,1,1iip,i,1i Hadamard5.2不等式 Hadamard，，,x,,a,b定理5.2.1([18]) (不等式)设是上的连续凸函数， bab1ab，,，，，，，,,,，，xdx,,则. ,,,,,a2ba2,,, 8 证明:由于，，是上的连续凸函数，由凸函数的基本定理可知 ,x,,a,b b,xa，x,ab1，，，，,,，，，，，，，，，，，，,x,,,b,x,a，x,a,b ,,b,ab,a,, 两边积分可得 bbb11ab，,,，，，，,,，，xdxabxdxbxadx，，，，，，，，，，,,，,, ,,,,,,,,,,aaa，，baba2,,,, b1ab,，，，，，,，，xdx,因而..................................(A) ,,aba2, a，bbb2，，，，，，,xdx,,xdx，,xdxx,a，b,t又，若令，得 a，b,,,aa2 ，，ababb22，，，，，，,xdx,,,a，b,tdt,,a，b,tdt，所以 ，ab,,,ab2 bb，，，，，，,,,xdx,,a，b,x，,xdx，，，又是上的连续凸函数，即 ,x,,a,b，ab,,a2 a，b,,，，，，,,,a，b,x，x,2 ,,2,, bb，，abab,,,,，，2，，,,,,,,xdxdxba故 ,,,,，ab,,a22,,,,2 b，1ab,,，，,,,xdx即........................................................(B) ,,,a,ba2,, bab1ab，,，，，，，,,,，，xdx,,由A，B两式可得，证毕。 ,,,,,a2ba2,,, 6 凸函数的应用 6.1 凸函数在证明不等式中的应用 在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。 xy，xye，e2例6.1.1 证明不等式. e,2 x''x，，，，，，,x,e,x,e,0x,证明:设，因，所以是严格凸函数。 9 xyxy，，，，，,，,,,由凸函数的定义可知,() ,x,y,,22,, 这就是要证的不等式。 222例6.1.2若则，， 1,x，1,x,4,x，xx,1,x,1,121212 12''，，,x,1,x(x,1)证明:设，因 ，，,x,,,0322，，1,x，，x,,故,是,1,1上的凹函数，因而 xx1，,,12，，，，，，xx,,,，,，这便是要证的不等式。 ,,1222,, younger证明不等式: ,,xy,,x，,y(x,y,,,,均为正数， ,，,,1) 1''，，，，fx证明:令fx,lnx，则，为凹函数，从而，，fx,,,02x ,,x，，，，ln,x，,y,lnx，y由的单调增加性: e ,,，，,,ln，，,x，,ylnx，ye,e,x，,y,x，y 即 . ,,11x,xy,，x,y例6.1.4对任何正数，当时有 ,,1,,1,2y ,,11x,y证明:注意不等式系数之和，及系数均为正数，可考虑，,1,, 用凸凹性来证明。 1''，，fx,lnx设，则为凹函数，故 ，，fx,,,02x ,,,,,,,,11x11x,,,,,,fyfyf，或 ，,，，，,,1,,1,,,,,2y,2y,,,, ,,,,,,,,,,11x,11x,11,,,,，，lny，,lny，ln,lny，,,,lnx,,,1lny,lnx,,1,,1,,,,2y2y2,,,,,,, ,,,,,11x,,,lny，,,1,,,11,x,2ylnxx,,y，,xe,e 由的单调增加性知:，即，证毕。 e,,1,2y 10 rrr115,,,,例6.1.5设证明:. aba,b,0,a，b,1,r,0,，，，,,,,,r,1ab2,,,, r1,,证明:设，对 ，，,x,x，(r,0)r,0,0,x,1,,x,, r,12r,1112r1,,,,,,''x,rr,1x，1,，x，，，，，,,,,,,,3xx2xx,,,,,, r,r,12211r1,,,,,,224,,，，,rx，1,，x，2x，1,x,0,,,,,,24xxxx,,,,,, ，，故,x为上严格凸函数，因而 (0,1) rrr1115，ab,,,,,,,,22，证毕。 ，，，，，，，,,，,,,,,,abab,,,,,,,,r,1222ab,,,,,,,, 6.2 一般凸函数和凸集 n定义6.2.1([19]) 集合，若，以及任意的数，,,,,0,1,x,S,,y,SS,E 均有 ，，，则称为凸集。特别地，若为凸集，也为闭集，则称,x，1,,y,SSS 为闭凸集。 S i定理6.2.1([19]) 集合为凸集的充分必要条件是，及任意数,x,SS kkiR,,0(i,1,2,...,k,k,2),,,1，，,x,S有.设函数fx定义在凸集上，其,,iii,1,1ii Tx,(x,x,...,x)中， 12n 12,,0，，,x,R,,x,R,,,,0,1定义6.2.2([20]) 若存在常数，使得，有 2121212，，，，，，f,，，，，x，1,,x,,fx，1,,f，，x,2,1,,x,x，，fx，则称为一致凸函数。 1212,x,R,,x,R,x,x，，,,,0,1定义6.2.3([21]) 若，及，有 1212，，，，f，，，，,x，1,,x,,fx，1,,f，，x，，fx，则称为严格凸函数。 12，，,x,R,,x,Rfx定义6.2.4([22]) 设为可微的凸函数，若，满足 212，，，，fxx,x,0，，fx，则称为伪凸函数，其中 x 11 ,,fxfxfx,,,，，，，，，,,. fx,,...,，，,x,,xxx,,,12n,, 1212，，定义6.2.5([23]) 若,x,R,,x,R，f，，，，x,fx,,,0,1，有 1212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，则称，，为严格拟凸函数。 fx ,”改为“”，则称，，为拟凸函数 若把上式中的“fx, 1212,x,R,,x,R,x,x定义6.2.6([24]) 若，及，，，有 ,,0,1 1212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，，，则称为强拟凸函数。 fx 6.3 广义凸函数求极小的问题 R，，，其中为闭凸集，而为广义凸函数，则称考虑，，，，,,fxpminfx,x,R 上述问题为广义凸规划问题。 R，，定理6.3.1([25]) 设为凸集，为严格拟凸函数，则规划问题 fx ，，，，,,，的任意局部最优解都为整体最优解。 pminfx,x,R ，，N,x，，证明:设为p的局部最优解，即存在，使得为下面问题的最优xx min ，，，，y,R,fy,fx，，解:，若存在有，由于fx为严格拟凸函，，，，x,R,N,xfx ，，,,，，，，，，，，f,x，1,,y,maxfx,fy,fx，，，，,,,0,1,,0,1数，故，有，当，足够1，，，，,x，1,,y,N,x接近时，有，此与x为局部最优解相矛盾，证毕。 R，，定理6.3.2([26]) 设为凸集，fx为强拟凸函数，若如下规划问题存在 ，，，，，，,,p最优解:pminfx,x,R,则的最优解必唯一。 121212x,R,x,R,x,x,，，，，pfx证明:若和都为的最优解，由于为强xx 12,,x，1,x,R,，，，，,,,0,1拟凸函数，故都有 121212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，，，，,fx,fx 12，，p此与和都为的最优解矛盾，证毕。 xx R，，fx定理6.3.3([27]) 设为凸集，为拟凸函数，则问题 ，，，，,,pminfx,x,R的最优解集合为凸集。 12 1212证明:若x,R,x,R,x与为，，的最优解，有 p,,,,,0,1,x 121212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，，，，,fx,fx 1212，，故上式必等号，即f，，，，，，,x，1,,x,fx,fx 1212R，，，，由为凸集，故,x，1,,x,R，因此,x，1,,x也为，，的最优解 。 p 证毕。 6.4 广义凸函数求极大的问题 R，，,,，，pmaxfx,x,R，，考虑中为闭凸集，而为广义凸函数。 fx R，，定理6.4.1([28]) 设为闭凸集，为连续的严格拟凸函数，则规划问fx RR，，,,，，pmaxfx,x,R，，题的最优解一定在的边界上达到，除非fx在上为常 数。 R，，p，，证明:设fx在上不为常数，存在最优解，即存在 x,IntR,,0, 00，，N,x,Ry,R,y,x,，，,,0,1使得现任意则存在，及使得 ，，x,N,x00 0000f，，，，x,fy，，,若由fx为严格拟凸函数，故 ，，x,,y，1,,x00 0，矛盾。 ，，，，,,，，，，，，fx,f,y，1,,x,maxfx,fy00000 00f，，，，x,fy,，，若由fx为连续的严格拟凸函数，故有 00000 ，，，，，，，，，，,,，，fx,f,y，1,,x,maxfy,fx,fy00 0R，，，，pfx,f，，y，，fx由x为的最优解，故必有，因此在上为常数，此与 假设矛盾，证毕。 ，，fx定理6.4.2([29]) 设为连续的严格拟凸函数，并约束集合 ，，，，pp,,R,x/Ax,b,x,0，若规划问题的最优解存在，则的最优解可以R在的顶点达到。 ，，p证明:令x,R为的最优解，设 Tx,(x,x,...,x),0;x,0,x,0,...,x,0;12n12s为线性相关的，于是，存在x,...,x,0;p,p...ps，1n12,s 13 sT使得. ,p,0，，,,,,...,,,0,jj12sj,1 Tnx,,,,x，,,记，则.考虑，其中A,,0，，,,,,,,...,,,0,0,...,0,E12s minxj,,0,,j(1,j,s)设存在有，令 ,,0,,0,j00j0,j min,xj''',,0,,x,x,,,,x,x，,,,存在有，令;令 0j(1,j,s),,,jj,j '''x,R,x,R,可知它们的非零向量比至少少1个;有 x ,,,,'''xxxxx,,，，,，, ,,,,，，，，，，，，,,,,,,,, ''''''，，f，，，，x,fx，，fx,max,,f，，，，x,fx若，由为连续的严格拟凸函数有 fx '''，，pf，，，，x,fx此与为的最优解矛盾，故必有 x ''''''，，,,，，，，，，，，fx,maxfx,fx,fx,fx，，由fx为连续的严格拟凸函数有而 '''，，，，pfx,f，，，，x,fx为的最优解，故有 x ''',,0,x,x,,,,x,x，,,若都有令 ,j,1,2,...,s,j 11''''''''''''，，x,R,x,R,x,x;x,x，xfx,f，，，，x,fx则.类似于(1)可证 22 xx,0x,0x重复上述过程，最多可通过步找到最优解或或。而对应s x的非零分量是线性无关的，可知为凸多面体的极点。 参考文献 [1] 裴礼文，数学分析中的典型问题和方法[M]，北京:高等教育出版社，1993.5. [2] 华东师范大学数学系编，数学分析(第三版)[M]，北京:高等教育出版社,2001.6. [3] 赵焕光，数学分析，四川:四川大学出版社，2006.6. [4] 刘玉链，数学分析讲义，北京:高等教育出版社，2003.7. [5] W.Rudin，Principles of Mathematical Analysis(Third Edition)[M], Beijing:China Machine Press, 2003. [3] Rockafellar R.T，Convex Analysis[M]，Pinceton University Press，1970. [4] Yang K,Murty K.G，New iterative methods for linear inequalities[J]，Joumal of Optimization Theory and Applications，1992.72(1):163-185. [5] 时贞军，岳丽，凸函数的若干新性质及应用[J]，应用数学，2004，17(增):1-4. 14 [6] 吉林大学数学系，数学分析(中册)，人民教育出版社，1978. [7] 史树中，凸分析，上海:上海科技出版社，1990. [8] Ponstein J.Seven，kinds of convexity，SIAM Review，1967(9):115-119. [9] 袁亚湘，孙文瑜，最优化理论与方法，北京:科学出版社，1999. [10] Rokafellar R.T，Convex Analysis，Princeton，University of Princeton Press， New Jersey，1970. [11] 魏权龄，王日爽，余兵，数学规划引论，北京:北京航空航天大学出版社，1991. [12] Seiford L.M，Data envelopment analysis，the evolution of state of the art(1978-1995)，Journal of Production Analysis，1996(7)，99-137. [13] 马仲藩，魏权龄，赖炎连，数学规划讲义，北京:中国人民大学出版社，1991. [14] 刘三阳，凸函数的新发展,J,，西安电子科技大学学报，1990，17(1):45-48. [15] 邱根胜，拟凸函数的几个性质[J]，南昌航空工业学院学报，1998，1998(2):36-39. [16] 郝彦，关于拟凸函数几个定义的讨论[J]，浙江海洋学院学报，2002，21(4):388-390. [17] 杜江，函数广义凸的充要条件,J,，江汉石油学院学报，1994，16(1):107-110. [18] 刘校，拟凸函数的连续性和可微性的讨论[J]，渝州大学学报，1996，13(3):82-86. [19] 王兴国，关于半连续性与拟凸函数的注记[J]，浙江师大学报，1999，22(2):14-18. [20] 杨新民，上半连续函数的拟凸性[J]，运筹学学报，2002，3(1):48-51. [21] 杨泽高，一类强伪凸函数的若干性质[J]，工程数学学报，1994，11(4):120-124. [22] 杨益民，函数强伪凸性与映射强伪单调性[J]，高等学校计算数学学报，2002，3(3): 141-146. [23] 裘兆泰等，数学分析学习指导，科学出版社，2004年. [24] 徐利治等，大学数学解题法诠释，第一版，安徽教育出版社，1999年. [25] 徐利治等，数学分析的方法和例题选讲，高等教育出版社，1984年. [26] 张从军，数学分析，安徽大学出版社，2000年. [27] 欧阳光中，姚允龙，数学分析概要二十讲，复旦大学出版社，1999年. [28] 张筑生，数学分析新讲，北京大学出版社，1991年. [29] Neculai Andrei，Convex functions [J]，2005. Abstract : Function is the most important basic concepts in maths, also is the main research object of the mathematical analysis. However, convex function is one important category. Convex function are widely used in mathematical programming, cybernetics, etc. Convex function is one of the important concept in mathematical analysis, and it is judging function, the function extreme value of the research and the image that inequality is widely used. As one of the youngest branches of mathematics, convex analysis developed with the spring up of mathematical programming, the optimal control theory, and mathematical economics since the 1950’s. This article is to study a few kinds of convex-function’s properties and applications. Discusses convex function and strictly to is quasi-convex function and strong to the definition of convex function, nature and function transformation between the three kinds of the sufficient and necessary conditions of multiplicative convex functions to also discuss the continuity and differentiable sex. At the same time also on strong pseudo convex function nature of the study, and get some significant conclusions. Keywords: convex function applications properties 15 16