保费收取次数为负二项随机序列的多险种风险模型

保费收取次数为负二项随机序列的多险种风险模型 保费收取次数为负二项随机序列的Ξ 多险种风险模型 1 1 2 魏艳华,王丙参,宋立新 )(136000 1. 天水师范学院 数学与统计学院 ,甘肃 天水 741001 ; 2. 吉林师范大学 数学学院 ,吉林 四平 摘要 :讨论了一个基于进入过程的多险种风险模型 ,得到了破产概率满足的 Lundberg 不等式和破 产概率的上界. 关 键 词 :负二项分布 ;破产概率 ;鞅 () 中图分类号 :O21 文献标识码 :A 文章编号 :1671 - 0924 200901 - 0154 - 03 Insurance f or Ta king Negative Binomial Random Sequences of Many Types Risk Model 1 1 2WEI Yan - hua,WAN G Bing - can,SON G Li - xin (1. School of Mathematics and Statistics ,Tianshui Normal University , Tianshui ,741001 ,China ; )2. School of Mathematics ,Jilin Normal University , Siping 136000 ,China Abstract : The many types risk model of entering process was discussed. The Lundberg inequality and up2 per boundary of the ruin probability are got . Key words : negative binomial distribution ; ruin probability ;Martingale 在保险风险理论中 ,投保集体都或多或少地存在一定的非同质性 ,这就为负二项分布的应用创造了1 条件. 负二项分布的方差越大于其均值 ,表明投保集体存在的非同质性越严重. 关于风险过程的研究主 2 - 5 要基于对索赔过程的直接假设. 本研究首先建立一个新的多险种风险模型 ,由进入过程的随机选择 生成索赔过程 ,而不直接对后者进行假设 ,从而描述了进入过程与索赔过程之间的内在联系 ,更精确地刻 画了保险公司的风险行为 ,然后得到了破产概率的一般表达式和 Lundberg 上界. 1 多险种风险模型 在保险实务中 ,保险公司会提出多种保险产品以满足各种类型的顾客需求 ,从而提高公司的收益. 假 Ξ 收稿日期 :2008 - 11 - 06 () ( ) 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 10571073;天水师范学院科研基金资助项目 TSB0814; 吉林省教育厅科 () 学技术研究十一五规划重点项目 吉教科合2007 第 152 号. () 作者简介 :魏艳华 1978 —,女 ,吉林四平人 ,主要从事统计推断与金融数学研究. 155 魏艳华 ,等 :保费收取次数为负二项随机序列的多险种风险模型 ( ) 的随机变, k 如保险公司提供 k 种产品供顾客选择 , C, i = 1 , 2 为分布列为 P C= a= p, l = 1 , 2 , i l l l Ω 量 , 独立同分布 , 表示第 i 张保单的保费. 设 u ?0 , 给定概率空间 , F , P , n ?0 且为整数 , 令 ( ) ( )( ) ( )N nM n N nM n ) ( ( ) U n= u + ? C- ? Y, S n= ? C- ? Y i i i ii = 1 i = 1 i = 1 i = 1 ( ) π( ) 其中 : u 为初始资本 ; N n服从参数为 n ,的负二项分布 , 且 N 0= 0 , 表示在时间[ 0 , n ]收取的保费次 ( ) ( ) 数; { M n, n ?0} 是进入过程{ N n , n ?0} 的随机选择; p 表示选取概率 ; Y表示第 i 次索赔额 ; i 2 ( ) μ( ) σ( ) ( ) E Y= , V ar Y= , { N n, n ?0} 与{ C, i = 1 , 2 } 相互独立 , { M n, n ?0} 与{ Y, i = 1 , 2 } 相互 独i i i i 立. ( ) ( ) 称{ U n, n ?0} 为保费收取次数 , 为负二项随机序列的多险种风险模型 , { S n, n ?0} 为盈余过程. π( ( ) ) ( ) 引理 1 索赔过程{ M n, n ?0} 是参数为 n , a 的负二项随机过程 , 其中 a =. E [ S n ] = π p + qπ′ E C ππ na′ n′μππρ E[ C ] - , 其中=′ 1 - , a=′ 1 - a , 称=- 1 为相对安全系数.1 πa′ a μ 1a ( ) ( ) 定义 1 记 T = inf { n : U n < 0} , 表示保险公司破产发生时刻 T = ?, 可认为破产不会发生, 则 φ( ) () u= P{ T < ? U 0= u} 为破产概率. 2 破产概率 ρ 为了保证保险公司的正常运营 , 假设> 0. πa ( ) ( ) g r = 定理 2对 于 盈 余 过 程 { S n , n ?0 } , 存 在 函 数, 使 得π( ) ( )1 - M′- r1 - aM′ r C Y - rS ( n) n rC rY ( ) ( ) ( ) E[ e ] = [ g r] , 其中 M r= E[ e ,M r= E[ e . C Y ( )( ) N nM n( ) - rS nE[ e ] = E[ exp { - r ?C } , = M ( ( ) ) E[ exp { r ? Y } 证明ln M - r. ( ) i i N nC i = 1 i = 1 π a n n n (( ) ) Mln M r= [ ( ) = [ g r] . ] ] . ( ) M nY ) π( ( )1 - M′- r 1 - aM′ r Y C ( ) 定理 3 方程 g r= 1 存在唯一正根 R , 称为调节系数. π( )( ) π( ) ( ) 1 - M′- r1 - a′M r ?证明 g r= 1 可化为 Q r=- a = 0C Y - rCrY- rCrY( ) π) (( ) ) (π) ) ( ) )( (( Q′r=′E Ce 1 - aE′ e + 1 - E′ e - a E Ye () ππμQ′0= aE′C - a′> 0 1 2- rCrY- rCrY( ) π) ( ( ) ) π) ( ) ) ( ( ( Q″r=[′ E Ce ] 1 - aE′ e +E′ Ce - aE′ Ye+ - rCrY- rC2 rYπ( ) ( ( ) ) (π( ) ) ( ( ) ) ′E Ce - a E Ye+ 1 - E′ e aE′ Ye< 0 ( ) 所以方程 Q r= 0 存在唯一的正解 R . S S S σ) ( ) ( 定义 2对于盈余过程{ S n, n ?0} 定义事件流 F= { F, n ?0} , 其中 F={ S n′, n?′n} .n n S 定理 4 ( ) { M n; n ?0} 是鞅 , 其中 M ( ) ( F, n= exp - ( ) ) U n. u n u 证明 S ) ( ) 1M n是 F可测的 ;u n ) ( ) ( ) 2E[ M n] = exp - Ru< + ?; u ) 3任意的 0 ?v < n , S S S ( )F( ( ( ( ) ( ) )F( ) ( ) ) )FE[ M n ] = E[ exp - Ru + S n ] = E[ exp - Ru + S v- S n- S v ] = v v v u ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) M vE[ exp - S n- S v] = M v. u u 156 重 庆 工 学 院 学 报 S σ 定理 5 破产时刻 T 是非降代数流{ F, n ?0} 的停时.n - Ru e ( ) φ, 其中 R 为调节系数. 定理 6 对于 Π u ?0 , 有 u=( ( ) ) E exp - R?U T / T < ? S y 证明 因为 T 是 F停时 , 选取 n< + ?, 则 T ?n是 F的停时. 由可选时定理有 0 0 - Ru ?n) ( ) T () ( ) ( ( )T < n) ( ) ( ( )P T ?n. e = M 0= E[ M T ?n= E M T P T < n+ E M n0] 0 0u u 0u 0u 0 S ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( M n= exp [ - RU n] ?1 , 因为 { M n, F; n ?0} 是非负鞅 , lim M n = M + ?= 0 , 所0 u u 00 u n u n ?+ ?0 以由单调收敛定理和勒贝格控制收敛定理 , 令 n?+ ?, 得 0 - Ru ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) e = E M TT < + ?P T < + ?+ E M + ?T = + ?P T = + ?= u u ) )( ( )( E M T T < + ?P T < + ?u - Ru e ( ) φ . 则 u=( ) )( E exp - R?U T / T < ?- Ru φ( ) 推论 1 u< e . 参考文献 : () 1 孟生旺. 负二项分布的优良特性及其在风险管理中的应用J . 数理统计与管理 ,1998 ,17 2:9 - 12. () 张世兵. 复杂条件下保险费随机收取的双险种风险模型J . 佳木斯大学学报 ,2008 ,26 1:68 - 70. 2 () 方世祖. 一个风险模型的研究J . 高校应用数学学报 :A 辑 ,2004 ,19 4:445 - 450. 3 () 聂高琴. 随机保费率下带干扰风险模型的破产概率J . 华中师范大学学报 ,2005 ,39 3:301 - 303. 4 () 元福军 ,黄磊. 保费随机收取双险种 Poisson 风险模型的破产概率J . 佳木斯大学学报 ,2008 ,26 4:561 - 562. 5 6 R?卡尔斯. 现代精算风险理论M .唐启鹤 ,译. 北京 :科学出版社 ,2005. () 责任编辑 刘舸 北京化工大学 ,2004.() 上接第 101 页 王孝莉. 倒立摆智能控制系统的研究 D . 济南 : 山 2 东大学 ,2007. 3 结束语刘春生 , 吴庆宪 , 邹新生. 二级倒立摆的模糊控制 3 () J . 光电与控制 , 2004 ,80 4:36 - 40. 固高科技有限 公司. 固高倒立摆系统与实验指导书 Z. 出版 确定了简化的模糊算法 , 分别采用了 2 个控4 地不详 : 固高科技有限公司 , 2004 : 24 - 制器并联或串联的方法对倒立摆系统进行了仿 33. 真 ,并在仿真的基础上对倒立摆成功进行实时控 沈鹏. 倒立摆系统的控制与研究D . 鞍山 :辽宁科技 制. 无论从仿真还是实控结果看 ,得到的控制结果 大学 ,2007. 5 都是比较理想的 ,为以后进行二级倒立摆系统的 吴晓燕 , 张双选. matlab 在自动控制系统中的应用 实物控制奠定了理论基础. M . 西安 :西安电子科技大学出版社 ,2006. 6 参考文献 : () 责任编辑 刘 舸 1 汪雪琴. 倒立摆系统的模糊智能控制系统D .北京 :