谈谈对等价无穷小量定义与性质的理解及应用

分类号  017                论文编号201040431024 本 科 生 毕 业 论 文 谈谈对等价无穷小量定义与性质的理解及应用  姓    名：              院    系：            年级专业：              指导教师：            2014年4月 诚信承诺 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 作者签名：                      日    期：                      关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兴义民族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文。 (保密论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：                  导师签名：                  日    期：    年    月            目  录 摘要    I Abstract    II 第一章 绪论    1 第二章  等价无穷小量的概念及其重要性质    2 2.1等价无穷小量的概念    2 2.2等价无穷小量的代换    3 2.3无穷小量的比较    4 2.4 等价无穷小量的重要性质    5 第三章  等价无穷小量的应用    9 3.1 求函数的极限    9 3.1.1求积、商函数的极限    9 3.1.2求和、差函数的极限    10 3.2  等价无穷小量在近似计算中的应用    11 3.3  等价无穷小量在判断级数敛散性中的应用    11 3.4  等价无穷小量在求幂指数函数极限中的应用    12 3.5 等价无穷小量在求变上限积分的极限中的应用    13 第四章 结论    15 参考文献    16 致谢    17 摘要 数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 是大学中作为数学专业的学生必须学习的一门基础学科，等价无穷小量在其中则是一个最基本而又重要的概念.我们除了要正确掌握等价无穷小量的定义外，还要灵活应用等价无穷小量的性质，灵活应用这些性质，无论是在求极限的运算中，在某些近似计算中，在求含变上限积分的极限中，还是在正项级数敛散性的判断中，都可以起到意想不到的效果，能达到罗比塔法则和泰勒公式等所不能取代的作用.通过对比不同情况下等价无穷小量的应用及在应用过程中所要注意的一些性质条件，不仅可以使这项问题化繁为简，化难为易，更有甚者还可以避免在求解极限过程中所出现的错误.所以，常常把等价无穷小量替换用于简化极限的运算过程并加以推广. 关键词：  数学分析  等价无穷小  极限  积分 洛必达法则  泰勒公式       Abstract Mathematical analysis is a basic course in the University as a mathematics major students must learn, Equivalent Infinitesimal in which is one of the most basic and important concept. We define addition to correctly grasp the equivalent infinitesimal, properties and flexible application of the equivalent infinitesimal, flexible application of these properties, both in the operation of limit, in some approximate calculation, in the limit with variable upper limit integral in, or in the positive series convergence judgment, can play to beat all effect, can reach the hospital rule and Taylor formula is not a substitute for the role. Through some properties under different conditions by comparison of equivalent infinitesimal and application in the process should pay attention to, can not only make the problem simplified, from difficult to easy, moreover also can avoid appearing in the process of solving limit error. So, often the substitution of Equivalence Infinitesimal limit for operation process is simplified and generalized . Keywords: mathematical analysis  Equivalent infinitesimal  limit  comparison test  L'Hospital Rule of Taylor formula 第一章 绪论 函数是微积分学研究的主要内容，而极限是微积分学研究的一种重要工具.极限在数学分析中是一个最重要的概念，它是微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一.在学习微积分的过程中，求极限作为一项重要的基本技能受到广大同学的重视.同时，由于极限概念抽象,计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 灵活也让大家在学习中感到困难.虽说无穷小量分离、导数的定义、高阶无穷小量的性质、极限存在准则、约零因子、函数极限四则运算、利用两个重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但这些方法对数学分析中的有些特殊极限的求法却不太实用，而且有时甚至很难求出相应的极限值，因此为了解决此类极限的求法，以导数为工具，引进了等价无穷小量代换这种方法来解决，等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法，用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易.目前各教材中一般只给出两个无穷小量之比的等价代换定理，但笔者在教学过程中发现，除了在积商运算中可进行等价代换外，在本文以下所讨论的一些运算中只要满足定理的条件，就可进行等价无穷小代换. 数学分析的历史表明，等价无穷小量的概念在其中占有重要的地位，只要我们合理地掌握等价无穷小量的概念和正确地使用等价无穷小量的性质，就能快捷、准确地解决一些特殊的极限问题.等价无穷小量在数学分析中起到桥梁的作用，让要解决的问题更加简捷. 目前，随着科学技术的进步及快速发展，社会生活中的各个领域都有等价无穷小量的出现，而且作用越来越广泛，越来越突出，我坚信，在不久的将来，等价无穷小量会随着社会的进步将会延伸到更广的领域并且会对我们人类产生深远的影响.随着科学的发展，虽然人们对等价无穷小量的研究范围在逐步扩宽，研究形势日益广泛，研究内容逐渐深入，研究成果不断创新，但仍然存在很多问题正等待新时期的学术爱好者去一同探讨，一起解决，因而，对于等价无穷小量的相关知识还需要我们更加深入地去学习、去探究. 第二章  等价无穷小量的概念及其重要性质 这部分在同济大学应用数学系主编的《高等数学》、华东师范大学数学系的《数学分析》、 刘三阳和李广民等主编的《数学分析选讲》等书籍中做了详细的讲解，下面是我对这部分的理解与总结，推广部分的性质在书中未做证明，根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明. 2.1等价无穷小量的概念 定义一  设 在某 内有定义，若 ，则称 为当 时的无穷小量. 例如 , , , 均为当 时的无穷小量. 是当 时的无穷小量，而 ， 为 时的无穷小量.又如 是当 时的有界量， 是当 时的有界量.特别，任何无穷小量也比都是有界量.                                                                            注意  不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在 的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数 ，而很小的数如百分之一，就不能小于任意给定的正数 ，例如取 等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的 .但是零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为 ，那么对于任意给定的 >0总有 < . 定义二  若 ，则称 与 是当 时的等价无穷小量.记作 . 由无穷小量的定义可立刻推出如下性质： 1) 绝对值非常小的数不是无穷小量，0是唯一的一个无穷小量数；无穷小量无限趋近于0而又不等于0. 2) 无穷小量是变量，与它的变化过程密切相关，且在该变化过程中以零为极限. 如函数 当 时的无穷小量,但当 时不是无穷小量. 3） 两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 4） 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 常用的等价无穷小代换：当 时 ，有 ， ， . 2.2等价无穷小量的代换 定理1 设函数 ， ， 在 上有定义，且有 . 若 ，则 ； 若 ，则 . 证明： = . 可类似地证明. 例 1  求 . 解：由于 ， .故由定理1得 . 定理2  设（1） ， ；（2） （或 ），则 .证明： . 定理3  设 ， ，且 存在（或无穷大），则 存在（或无穷大），且 . 证明： = （或 ）. 2.3无穷小量的比较 1) 若 = 0， 则称当 时 为 的高阶无穷小量，或称 为 的低阶无穷小量， 记作 = . 2) 若存在正数 和 ，使得在某 上有 ，则称 与 为当 时的同阶无穷小量.特别当 则称 与 必是同阶无穷小. 例如，当 时， 与 皆为无穷小量.由于 ，所以 与 为当 时的同阶无穷小量.又如，当 时， 与 都是无穷小量，由于他们之比的绝对值满足 ， 所以 与 为当 时的同阶无穷小量. 3) 若 =1， 则称 与 是等价无穷小量， 记作 ~ . 例如，由于 ，故有 .又由于 ，故有 . 注:并不是任意两个无穷小量均可进行阶的比较，如当 时， 与 都是无穷小量， 但它们不能进行阶的比较. 2.4 等价无穷小量的重要性质 设 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， 1 若 ，且 存在，则 = （ ） 2 若 ，则 . 性质①表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质②表明等价无穷小量的传递性. ，且 ，则 . 证明  因为 = 所以 . 而大多数学生则往往在性质(1)的应用上忽略了“ ”这个条件，千篇一律认为 ， ，则就有 ，这是望文生义，不正确的. 在同一变化过程中， ~ , ~ ,且 存在,则 = . 证明 ： 因为 = = = 故结论得证. 若 ， ， 且 存在，则当 ≠0且 存在，有 = . 证明 因为 , 又 ， ，于是， , , 从而 =1, 即 ~ 同理可证 ~ 故命题得证. 性质（1）、（3）在求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性，从而大大地简化了计算.但要注意条件“ ”，“ ≠0”的使用. 注意： （1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,整体和差的替换是行不通的. （2）以上性质说明我们可以利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到更宽领域,并对不定式极限的求解作简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义. 第三章  等价无穷小量的应用 等价无穷小量的应用在王斌老师的《用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨》、苏有菊老师的《用等价无穷小代换求函数极限》、李强老师的《函数极限中等价无穷小的应用探讨》、沐国华老师的《等价无穷小在幂指数函数极限中的应用》、褚亚伟和刘敏老师的《等价无穷小在极限运算中的应用》、杨春玲和张传芳老师的《变上限积分的等价无穷小》、屈红萍和赵文燕老师的《等价无穷小代换求极限的方法推广》、华东师范大学数学系的《数学分析》、同济大学数学系主编的《高等数学》、以及刘三阳老师、于力老师和李广民老师主编的《数学分析选讲》等中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.详情请看下面的内容： 3.1 求函数的极限 在前面已经介绍了常用的等价无穷小代换：当 时 ，有 ， ， . 3.1.1求积、商函数的极限 定理1  设： ， 为 时的无穷小量，若 存在，则： . 证      例 2  求极限 . 解：当 时， ， ， 所以                3.1.2求和、差函数的极限 定理2  设 ， ， ， 均为 时的无穷小量，且 ， ， 存在，但不等于-1，则有： . 证  需证 或 .因为 ，注意到 ， 故有 注  显然条件 可换成 .易知，若无穷小量 与 （或 与 ）同时为正（负），且极限 或 存在，则有 . 例 3  求 . 解  因为 时， ， ， ，且 ， ， 所以 原式 . 3.2等价无穷小量在近似计算中的应用 如： 例 4  . 解 因为 时， . 所以 . 故 的准确值，保留小数点后6位可得为2.005175，相对误差为 ，这说明计算精确度已经很高了. 3.3  等价无穷小量在判断级数敛散性中的应用 在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用.比较审敛法的极限形式：设 和 都是正项级数. 如果 ，且级数 收敛，则级数 收敛. 如果 或 ，且级数 发散，则级数 发散. 注  当 =1时，∑ ，∑ 就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知，∑ 与∑ 同敛散性，只要已知∑ ，∑ 中某一个的敛散性，就可以找到另一个的敛散性. 例 5  研讨论 的敛散性. 解 ：∵ =   =1 又∵∑ 发散， ∴ 发散. 从以上的例题可以看出，根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.而在级数敛散性的判别中，等价无穷小量发挥了重要的作用，在很多题目中，我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数、柯西判别法等相关知识综合运用来达到我们的解题目的. 3.4  等价无穷小量在求幂指数函数极限中的应用 我们通常把形式为 的函数称为幂指数函数.这一部分内容意在讨论在幂指数函数求极限的过程中能否用等价无穷小量来代换. 定理 1  设在 的某个去心领域内， 与 连续，且 ， ， ，则 . 证明    由于                  ， ， 所以                  . 对于极限不定型中的“ ”型，“ ”型及“ ”型，都可以化为“ ”型，再进而化为“ ”和“ ”型，就能用罗比塔法则来解决.如果在求极限的过程中利用等价无穷小量来代换，就可以使计算过程相当简化. 定理 2  设在 的某个去心领域内， 与 连续，且 ，且当 时， 与 为等价无穷小，即 ，则  . 证明  因为当 ， ，即 所以 . 例 6  求极限 . 解：当 ，有 . 所以 原式= 3.5  等价无穷小量在求变上限积分的极限中的应用 在求变上限积分的极限中，若选用恰当的等价无穷小量代换，则可以使很多复杂的问题简单化，从而易于求出极限值. 常用的变上限积分的等价无穷小量有：当 时， ； ； ； . 上述公式直接应用罗比塔法则即可证明（证明略）. 例 7   求 . 解   利用等价代换公式有 从上面的公式中可以看出被积函数之间均是等价无穷小量，由此可得将被积函数用等价无穷小量代换后的变上限积分仍是等价无穷小量，即 定理  若当时， ， ，存在 ， ， ， 则 . 证明  由此，定理还可以列出很多上面未列出的等价无穷小量，例如： ，当 时. ，当 时， . 例 8  求 . 解：利用等价代换公式有 以上的例子若改用罗比塔法则来求，解题过程非常繁琐不易求出，但是恰当的应用等价无穷小代换则只需几步即可求出结果且不易出错. 第四章 结论 高等数学研究的主要内容是函数的微分、积分及其应用，其基础是函数的极限.因此，能熟练的求出函数极限对于学习高等数学是非常重要的.而极限计算是《数学分析》中的一个重要内容，等价无穷小量代换又是极限运算中的一个重要工具.利用等价无穷小量代换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误. 另外，等价无穷小量可以应用到很多地方，如在四则运算极限中的应用；在某些近似计算中的应用；在求含变上限积分的极限中的应用；级数敛散性判别中的应用及在求幂指数函数极限中的应用等.进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换.即在等价无穷小量的代换中，可以分子分母同时进行代换，也可以只对分子（或分母）进行代换，当分子或分母为和式时，通常不能将和式中的某一项以等价无穷小量替换.而应将和式作为一个整体、一个因子进行代换，即必须是整体代换；当分子或分母为几个因子相乘积时，则可以只对其中某些因子进行等价无穷小量代换.简言之，只有因子才可以进行等价无穷小量替换. 参考文献 [1].华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M] .（第三版）北京：高等教育出版社，2004. [2].王斌.用洛必塔法则求未定极限局限性的探讨[J] .黔西南民族师专学报，2001. [3].屈红萍，赵文燕.等价无穷小代换求极限的方法推广.保山学院学报. [4].同济大学数学系.高等数学（上册）[M] .(第六版)北京：高等教育出版社，2007. [5].杨春玲，张传芳.变上限积分的无穷小.黑龙江科技学院学报，2004. [6].刘三阳，于力，张广民.数学分析选将[M] .北京：科学出版社，2007. [7].郑烨.应用等价无穷小求函数极限的几个特例.江苏食品职业技术学院学报，2008. [8].沐国宝.等价无穷小量在求幂指数函数极限中的应用[J] .上海应用技术学院学报，2002. [9].苏有菊.用等价无穷小求函数极限[J] .临沧师范高等专科学校学报，2009. [10]. 褚亚伟，刘敏.等价无穷小在极限运算中的应用[J] .阜阳师范学院学报，2005. [11]. 李强.函数极限中等价无穷小的应用探讨[J] .铜仁学院学报，2009. [12]. 华东师范大学数学系.数学分析[M] .北京：高等教育出版社，2001. [13]. 任全红.等价无穷小量代换求函数极限的应用.绵阳师范学院学报. [14]. 杨录胜.浅析“等价无穷小替换”在求函数极限中的应用.山西农业大学文理学院学报，2009. [15]. 肖岸纯．等价无穷小性质的理解、延拓及应用[J]．数理医药学杂志，2007. 致谢 光阴似箭，岁月如梭，世间走得最快的莫过于时间了，来不及感叹，来不及回顾，大学生活已近尾声，四年的努力与付出，随着本次论文的完成，将要划下一个学生生涯的句号。 本论文的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 在赵秀老师的悉心指导和严格要求下即将完成，从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着赵秀老师的心血和汗水。在我的毕业论文设计期间，赵秀老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，赵老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助、关怀和熏陶，我不会这么顺利的完成毕业设计.在此向赵秀老师表示深深的感谢和崇高的敬意！ 在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢您们四年来的辛勤栽培.不积跬步不以至千里，各位任课老师认真负责，循循善诱，让我终生铭记于心.在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在论文设计中得以体现，顺利完成我的毕业论文。 同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍、期刊和文献，在这里一并向有关的作者表示感谢. 我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友,在毕业论文设计的这段时间里,你们给了我很多的启发,提出了很多宝贵的意见,对于你们帮助和支持,在此我表示深深地感谢！