收敛半径【精品-doc】

收敛半径【精品-doc】 ?11.2 幂级数 一 收敛半径 ,n2axxaaxxaxx()()(),,，,，,， (1) 定义1:形如 ,n001020n0, 的函数项级数称为幂级数, 其中常数a～ a～ a～ , , , ～ a ～ , , ,叫做幂级数的系数. 012n幂级数的例子: 23n 1，x，x，x， , , , ，x， , , , ～ 112n1，x，x， , , , ，x， , , , , 2!n! 注: 幂级数的一般形式是 2n a，a(x,x)，a(x,x)， , , , ，a(x,x)， , , , ～ 01020n0 2n经变换t,x,x就得a，at，at， , , , ，at， , , , , 0012n 幂级数 23n 1，x，x，x， , , , ，x， , , , 可以看成是公比为x的几何级数, 当|x|,1时它是收敛的, 当|x|,1时～ 它是发散的, 因此它的 123n,1，x，x，x， , , , ，x， , , , 收敛域为(,1～ 1)～ 在收敛域内有 , 1,x n幂级数形式上的特点:一般项为，从而所求的和是多项式(最简单函数)，axx(),0n 是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间(退化区间 ——点)。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 规定 ,,1,na，当时，0lim,,,n,,,n,,nlima,nn,,,,,,n Ra,,,，当时，lim0,nn,,,,,,na0lim，当时,,nn,,, ,, ,naxx(),定理1:(柯西-阿达玛定理) 幂级数在内绝对收敛，在xxR,,,0n00n, 内发散。 xxR,,0 R定义2: 称为幂级数的收敛半径。 ,naxx(),定理2:(阿贝尔第一定理) 若幂级数在点收敛，那么它必在x,,,0n0n, ,naxx(),内绝对收敛，又若级数在点发散，那么它必在x,,xxx,,,,,0n000n, 也发散。 xxx,,,,00 ,nRaxx(),定理3:(阿贝尔第二定理) 若幂级数的收敛半径为，则此级数在,0n0n, 内的任一个闭区间上一致收敛，也就是在内闭一致xRxR,，,ab,xRxR,，,，，，，,,0000 xR，xR,收敛;又若级数在点收敛，则它必在一致收敛。同理，当级数在收axR,，,,000敛时可得类似结论。 xxR,,xxR,，注: 当与时～ 幂级数可能收敛也可能发散, 00 ,naxx(),xx, 规定: 若幂级数只在收敛～ 则规定收敛半径R,0 ～ 若幂级数,0n00n, ,naxx(),对一切x都收敛～ 则规定收敛半径R,，,～ 这时收敛域为(,,, ，,), ,0n0n, ,an，1nlim||,,ax 定理4: 如果～ 其中a、a是幂级数的相邻两项的系数～ 则这幂nn，1,nn,,an,0n 级数的收敛半径 ,, ，, ,0 ,,1, R, ,0 ,,,,0 ,，,,, ,an，1nlim||,,ax定理3 : 如果～ 则幂级数的收敛半径R为 ,nn,,an,0n 1当,0时 当,0时R,，, 当,，,时R,0 R,, 例1 求幂级数 ,23nnxxxx,1,1nnx(,1),,，, , , , ，(,1)， , , , ,nn23,1n 的收敛半径与收敛域, 1 a1n1，1n，解 因为～所以收敛半径为, ,, lim||, lim,1R,,1n,,n,,1a,n n ,1n1,级数成为,～ 是收敛的, 当x,1时～ 幂(1),nn1, ,1 当x,,1时～ 幂级数成为(,)～ 是发散的, 因此～ 收敛域为(,1, 1] ,nn1, ,11nnn(3(1))，,x例2:证明在绝对收敛，在其它点发散. (,),,440n, 二 幂级数的性质 ,nRaxx(),(,)xRxR,，性质1: 设幂级数的收敛半径为，则其和函数在内,0n000n, xR，[,)xRxR,，连续。又若级数在点收敛，则其和函数在内连续。 000 ,nRaxx(),性质2: 设幂级数的收敛半径为，和函数为Sx()，则在 ,0n0n, (,)xRxR,，(,)xRxR,，上幂级数可以逐项积分和逐项微分，即:对上任一点，x0000 有 ,,xxannn()()(),,,,attdtxxstdt ,,00n,,xx00，1n00nn,, ,,ddnn,1[()]()(),,,,axxnaxxsx ， ,,nn00dxdxnn00,, R并且逐项求导和逐项积分后的级数(仍为幂级数)，其收敛半径仍为。 幂级数性质的应用: ,1nx例3 求幂级数的和函数, ,，1nn0, 解: 求得幂级数的收敛域为[,1 1) ,1n(),sxx设幂级数的和函数为s(x)～ 即 x,[,1 1) ,，1nn0, 显然S(0),1 因为 ,,x1111n，n，, xs(x)x[x]dx ,,,,,0n1n1，，00n,n, ,xx1n ～ ,xdx,dx,,ln(1,x) (,1,x,1),,,001,x0n, 1s(x),,ln(1,x)所以～ 当时～ 有 0,|x|,1x 1,,,ln(1,x) 0,|x|,1s(x),从而 , x, , 1 x,0, S(,1),limS(x),ln2 由和函数在收敛域上的连续性 ，x,,1 1,,,ln(1,x) x,[,1, 0),(0, 1)s(x), 综合起来得:, x, , 1 x,0, xx,,F(x)dx,F(x),F(0)F(x),F(0)，F(x)dx提示 应用公式 即 ,,00 123n,1，x，x，x， , , , ，x， , , , , 1,x ,2nnx例4: 求的和函数。 Sx(),,n1 21n，,xn(1),例5: 求的和函数Sx()。 ,21n，n,0 三 函数的幂级数展开 幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质(如收敛域是区间;在收敛域内部内闭一 致收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等)。这就使我们想到，能否把一个函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 幂级数来研究, 定理4: 设fx()在内有阶连续导数，则对一切,xx,，,,,xxx,,，,,,n，1，，，，0000 有 ，n)fx()n0,,，,，，,，fxfxfxxxxxrx()()()()()() ， 0000nn! x1(1)，nn其中. rxftxtdt,,()()()n,x0n! x,0在实际应用中,往往取,此时的Taylor级数 0 ,,,ff(0)(0)2 fxx(0)，，，1!2! x1(1)，nn称为Maclaurin级数, 此时积分型余项为. rxftxtdt,,()()()n,0n! 2nxxx1 1 , ex,，，，，，,,,,,x2!!n 3521n，xxxnsin(1),,，,，,，xx , 2,,,,,x3!5!(21)!，n 242nxxxncos1(1)x,,，,，,，3 , ,,,,,x2!4!(2)!n 23nxxx,n1ln(1)(1)，,,，,，,，4 xx, ,,,11x23n 357xxxarctanxx,,，,，5 , ,,,11x357 ,,nn(1)，,xCx6 , x,,,,1,1,,0n, ,,,(1)(1),,，nn 此处,, ,,0,1,2,C,,n! 3521n，13(21)!!xxnx,arcsin,xx,，,，,，，,，7 ,,,11xn238521n，2!n m例6 将函数f(x),(1， x)展开成x的幂级数～ 其中m为任意常数, 解: f(x)的各阶导数为 m,1 f ,(x),m(1，x)～ m,2 f ,,(x),m(m,1)(1，x)～ , , , , , , , , ,～ (n)m,n f (x),m(m,1)(m,2), , ,(m,n，1)(1，x)～ , , , , , , , , ,～ (n)所以 f(0),1～ f ,(0),m～ f ,,(0),m(m,1)～ , , ,～ f (0),m(m,1)(m,2), , ,(m,n，1)～ , , , 于是得幂级数 m(m,1)m(m,1) , , , (m,n，1)2n , 1，mx，x， , , , ，x， , , , 2!n! 可以证明 m(m,1)m(m,1) , , , (m,n，1)m2n (1，x),1，mx，x， , , , ，x， , , , (,1,x,1)2!n!例7: 求下列函数按幂级数展开的Taylor级数. x 6232ln(1),,，xxx (1); (2); (3) sinx(1)(2)xx,， 2x,0例8: 求在的Taylor展开. yxx,，，ln(1)0 ,(x,)例9: 将函数f(x),sin x展开成的幂级数, 4 解 因为 2,,,, ～ sinx,sin[，(x,)],[cos(x,)，sin(x,)]44244并且有 11,,,24cos(x,),1,(x,)，(x,), , , ,(,,,x,，,) ～ 42!44!4 11,,,,35sin(x,),(x,),(x,)，(x,), , , ,(,,,x,，,) ～ 443!45!4 211,,,23所以 . sinx,[1，(x,),(x,),(x,)， , , ,] (,,,x,，,)242!43!4