圆知识点总结
第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
(一)圆的有关概念
1、圆,两种定义,、圆心、半径,
2、圆的确定条件:
?圆心确定圆的位置～半径确定圆的大小,
?不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径,
4、圆弧,弧,、半圆、优弧、劣弧,
5、等圆、等弧～同心圆,
6、圆心角、圆周角,
7、圆内接多边形、多边形的外接圆,
8、割线、切线、切点、切线长,
9、反证法:假设命题的结论不成立～由此经过推理得出矛盾～由矛盾断定所作假设不正确～
从而得到原命题成立。
(二)圆的基本性质
1、圆的对称性
?圆是轴对称图形～任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *?圆是中心对称图形～圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
?垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦～并且平分弦所对的两条弧。 ?平分弦,不是直径,的直径垂直于弦～并且平分弦所对的两条弧。 * [引申] 一条直线若具有:?、经过圆心,?、垂直于弦,?、平分弦,?、平分弦所对
的劣弧,?、平分弦所对的优弧～这五个性质中的任何两条～必具有其余三条性质～即“知
二推三”。,注意:具有?和?时～应除去弦为直径的情况, 3、弧、弦、圆心角的关系
?在同圆或等圆中～相等的圆心角所对的弧相等～所对的弦也相等。 ?在同圆或等圆中～如果两条弧相等～那么它们所对的圆心角相等～所对的弦相等。
?在同圆或等圆中～如果两条弦相等～那么它们所对的圆心角相等～所对的弧相等。
归纳:在同圆或等圆中～两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等～那么它们所对应的
其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
?定理:在同圆或等圆中～同弧或等弧所对圆周角相等～都等于这条弧所对的圆心角的一半。
?在同圆或等圆中～如果两个圆周角相等～它们所对的弧一定相等。 ?推论:半圆,或直径,所对的圆周角是直角～90?的圆周角所对的弦是直径。 (三)与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
设?O的半径为r～OP=d则:
点P在圆内d
r. 2、直线与圆的位置关系
设?O的半径为r～圆心O到l的距离为d则:
直线l与?O相交 dr 直线和圆没有公共点。 直线l与?
3、圆与圆的位置关系
?如果两圆没有公共点～那么这两个圆相离～分为外离和内含, 如果两圆只有一个公共点～那么这两个圆相切～分为外切和内切, 如果两个圆有两个公共点～那么这两个圆相交。
?设?O的半径为r～?O半径为r～圆心距为d～则: 1122
两圆外离 d,r，r, 21
两圆外切 d,r，r, 21
两圆相交 r,r,d,r，r,r?r,, 212121
两圆内切 d,r,r,r,r,, 2121
两圆内含 0?d,r,r,r,r,。 2121
(四)圆的切线
1、定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、性质:
?圆的切线到圆心的距离等于半径。
?定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
?切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线～它们的切线长相等～这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。
3、判定:
?利用切线的定义。
?到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
?定理:经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。 (五)圆与三角形
1、三角形的外接圆
,1,定义:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
,2,三角形外心的性质:?是三角形三条边垂直平分线的交点,?到三角形各顶点距离相等,?外心的位置:锐角三角形外心在三角形内～直角三角形的外心恰好是斜边的中点～钝角三角形外心在三角形外面。
2、三角形的内切圆
,1,定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
,2,三角形内心的性质:?是三角形角平分线的交点,?到三角形各边的距离相等,?都在三角形内。
(六)圆与四边形
1、由圆周角定理可以得到:圆内接四边形对角互补。
*2、由切线长定理可以得到:圆的外切四边形两组对边的和相等。
(七)圆与正多边形
1、正多边形的定义
各边相等～各角也相等的多边形叫做正多边形～其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系
把圆分成n,n?3,等份～依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形～这时圆叫做正n边形的外接圆。
3、正多边形的有关计算,11个量,
边数n～内角和～每个内角度数～外角和～每个外角度数～中心角α～边长a～半径R～nnn边心距r～周长l～面积S (S=1/2lr) nnnnnn
4、正多边形的画法
画正多边形的步骤:首先画出符合
要求
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的圆,然后用量角器或用尺规等分圆,最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 (八)弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
21nRnR,,S,,rllRl,S, , (其中l为弧长) (其中l为母线长) 圆锥侧180弧长扇形2360
(九)直角三角形的一个判定
如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半～那么这个三角形是直角三角形。 (十)本章常见的辅助线
1、连半径
由圆的半径相等，想到:连半径，构造直角三角形或等腰三角形。
例1. 如图1，AB是?O的弦，半径OC?AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，
则OD的长是( )
(A)3cm。(B)2.5cm。(C)2cm。(D)1cm。
图1
例2. 如图，已知?O是?ABC的外接圆，AB是?O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE?DC交DC的延长线于点E，且AC平分?EAB。
(1)求证:DE是?O的切线;
(2)若AB=6，AE= 求BD和BC的长。
2. 过圆心，作弦的垂线
由垂径定理，想到:过圆心，作弦的垂线，构造直角三角形。 例3. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，AC=CD，且?COD=60?。
(1)求大圆半径的长;
(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长。
3. 作弦
由直径所对的圆周角是90?，想到:作弦，构造直角三角形。
例4. 如图4，?ABC中，AC=BC，以BC为直径的?O交AB于点D，过点D作DE?AC于点E，交BC的延长线于点F。
求证:
1)AD=BD;
(2)DF是?O的切线。
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