对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西
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数学压轴题时指出，其理论背景是：
设
，则
，其中
被称为“对数平均数”.
安振平老师通过构造
函数
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，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.
1 对数平均数的不等关系的几何解释
反比例函数
的图象，如图所示，
，
轴，
,
作
在点
处的切线分别与
交于
，根据左图可知，
因为
，
所以
. ①
根据右图可知，
，所以
， ②
另外，
，可得：
③
综上，结合重要不等式可知：
即
. ④
2 对数平均数不等式链的变式探究
近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.
为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式
，记为①式；将
，记为②式；将
，记为
式.
变式探究1：取
，则由①知：
.于是，可编制如下试题：已知
，求证：
.
变式探究2：取
，则由②知：
.于是，可编制如下试题：已知
，求证：
.
变式探究3：取
，则由
知：
.于是，可编制如下试题：已知
，求证：
.
变式探究4：取
，则由①知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究5：取
，则由②知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究6：取
，则由
知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究7：取
，则由①知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究8：取
，则由②知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究9：取
，则由
知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究10：取
，则由①知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究11：取
，则由②知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
变式探究12：取
，则由
知：
.于是，可编制如下试题：对任意
，且
，求证：
.
…… ……
总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.
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