函数的极值与导数经典
教案
中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
3.3.2函数的极值与导数
[教材分析]:
《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大(小)值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。 [学情分析]:
学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。 [教学目标]:
知识与技能:
• 了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学
生的数形结合意识，提升思维水平;
• 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法;
• 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
过程与方法:
• 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观:
• 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性;
• 培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神;
• 激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。
[教学重点和教学难点]:
教学重点:掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。
教学难点:函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
[教法学法分析]:
教法分析和教学用具:
本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。
学法分析
通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。
教学过程 教学内容
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
意图
课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课培养学生的自主学习能力， 一、自主学习:
本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。通过检查学为学生的终身学习奠定基
案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。 础。
对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组培养学生互相合作的精神，二、成果展示:
内达成共识。以小组为单位进行
汇报
关于vocs治理的情况汇报每日工作汇报下载教师国培汇报文档下载思想汇报Word下载qcc成果汇报ppt免费下载
展示。 提高学生语言
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达的能力，
增强学生学习的自信心。
展示北京奥运会奖牌榜:北京奥运会中国跳水队获得全部8激发学生的民族自豪感，培三、合作探究:
枚金牌中的7枚。 养学生的爱国主义精神.引对学生解决,ht()0,用高台跳水的例子研究: 起学生兴趣，激起学生的求不了的问题，重点
(1)当t
a时h(t)的单调性是 解决问题，以生成ta,ta,ta, ___________ 新目标、新知识、用高台跳水的例子发展学生(3)当t=_______时运动员距 新能力。 的数学应用意识，发挥学生水面高度最大，h(t)在此点的 的主体作用。 导数是_______ 分组讨论—小组
1
汇报—教师点拨。 (4)导数的符号有什么变化规律,
用信息技术辅助教学，突破用几何画板制作动画演示在t=a附近:
难点。 1、函数值的比较:h(t)-h(a)的正负号;
2、动点切线斜率(即导数)的发展变化. 再用两个例子使学生经历直如图，函数y=在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附f(x) 观感知、观察发现、归纳类分组讨论—小组近的函数值有什么关系,y=在这些点的导数值是f(x)比的思维过程，引导学生创汇报—教师点拨。 ________,在这些点附近，y=的导数的符号有什么规律, f(x)新与实践。 培养学生大胆创新、勇于探 y 索、互相合作的精神。 a x O b y x c d e f O g h i j
定义:在x=a附近，先减后增，先___后___，f(x)f'(x)f'(x)
根据探究，总结极小值点、学生展示: 连续变化，于是有=0(比在点x=a附近其它点的f'(a)f(a)极小值、极大值点、极大值、 函数值都小。我们把点a叫做函数y=f(x)的极值点、极值的定义。培养 __________,叫做函数的___________. f(a)学生的归纳能力。 在x=b附近，先增后减，先___后___，连f(x)f'(x)f'(x) 续变化，于是有f'(b)=0(f(b)比在点x=b附近其它点的函数值都大。我们把点b叫做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做函数的___________.
极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________。
1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小通过教师的点拨，帮助学生四、教师点拨:
变化情况; 构建知识体系，巩固、完善、
2、极值点是自变量的某个值，极值指的是其函数值; 深化对知识、规律内涵的认
3、函数的极值与导数的关系。 识。
f'(x)x(1)如果=0, 并且在附近的左侧 f'(x)>0 ，右侧00体会导数方法在研究函数性xf'(x)<0, 那么f()是极大值。 0质中的一般性和有效性。
x(2)如果f'(x)=0, 并且在附近的左侧 f'(x)<0 ，右侧0
xf'(x)>0, 那么f()是极小值。 0
通过典型例题巩固学生对新1五、巩固提高: 3的极值。 典型例题:求函数f(x),x,4x，4知识的理解。 对学案中的例题3通过对典型例题的板演，让和习题，先让学生132新疆王新敞奎屯学生明确求极值的方法，突f'(x)解:=(x,4x+4)′=x,4=(x+2)(x,2) 做，并让尽可能多3出本节课的重点。培养学生的学生板演，在学新疆王新敞奎屯f'(x)令=0，解得x=2，x=,2 12规范的表达能力，形成严谨生相互点评的基
下面分两种情况讨论: 的科学态度。 础上，教师引导学
2
生总结思路方法(1) 当>0，即x>2,或<-2时; f'(x)
技巧，并进行变式(2) 当<0，即-2a,? f(x)=(x+2)(x,2) … f'(x),0附近的左侧 >0 ，右f'(x)(3)讨论单调性 ; 令=0，解得x=2，f'(x) x=a,最高， 1f'(a),0x侧f'(x)<0, 那么f()是极0(4)列表 ; 新疆王新敞奎屯x=,2 (2)xb,? f(x)f'(x),0f'(x)x如果=0, 并且在拓展提高 00论:… x=b,最高， f'(b),0y 新疆王新敞奎屯(1)… … 附近的左侧 f'(x)<0 ，右 新疆王新敞奎屯(2)… … 变式训练: x侧>0, 那么f()是极f'(x)0新疆王新敞奎屯(3)… … 求出函数…的极值。 小值。 当堂练习: … 极小值点和极大值点统称为a … … 极值点，极大值和极小值统x O b 称为极值。
通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系。
我的说课到此结束，谢谢大家。
2008年12月12日
3.3.2函数的极大值和极小值
一(教学目标
4
(一)知识目标
结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;
(二)能力目标
掌握利用导数判别可导函数极值的方法;
(三)情感目标
体验导数知识和数学方法的作用，逐步形成科学地分析、解决问题的能力;
二、教学重点
利用导数判别可导函数极值的方法.
三、教学难点
对极大、极小值概念的理解，对可导函数极值点的必要条件和充分条件的理解.
四、教学过程
(一)引入课题
上节课我们利用导数来研究函数的单调性，这节课我们要利用导数来研究函数的另一种性质——函数的极值.
(二)传授新知
,(我们观察一下两张图象中，点a与点b处的函数值.与它们附近点的函数值有什么
关系,
图1 图2
从图1可以看出，点a处的函数值f(a)比点a附近的点的函数值大;而从图2可以看出，点b处的函数值f(b)比点b附近的点的函数值小.
u,v 如果是函数y=f(x)在某个开区间()上的最大值点，即不等式f(c),f(x)对x,c
一切x,(u,v)成立，就说函数f(x)在处取到极大值f(c)，并称为f(x)的一个极大值x,cc
f(c)点，为f(x)的一个极大值.
u,v 如果是函数y=f(x)在某个开区间()上的最小值点，即不等式f(c),f(x)对x,c
x,(u,v)f(c)一切成立，就说函数f(x)在x,c处取到极小值，并称c为f(x)的一个极小值
f(c)点，为f(x)的一个极小值.
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称极值点.
5
,(观察课本图3,13到3,18，看出函数在极值点的导数为零. 观察课本图3,23，看出如果函数的曲线在局部最高点处有切线，这切线应与x轴平行.同样，如果函数的曲线在局部最低点处有切线，这切线应与x轴平行.换句话说，函数在极值点的导数为零.(这里的前提是函数在极值点有导数)
,(可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗,
3,y,x举个例子:，,0，但x=0不是极值点. f(0)
, y=,x,，在x,0处取到极小值，但不存在. f(0)
,,也就是说若存在，,0是f(x)在处取到极值的必要条件，但不是充分条件. f(c)f(c)x,c
,通常，若,0，则叫作函数f(x)的驻点. f(c)x,c
,(判别可导函数f(x)极大、极小值的方法
(,)求导数f′(x);
(,)求f(x)的驻点，即求f′(x),0的根;
(,)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个驻点处取得极大值;如果在驻点左侧附近为负，右侧附近为正，那么y,f(x)
函数在这个驻点处取得极小值. y,f(x)
,(几点注意:
新疆王新敞奎屯(,)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较
新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
新疆王新敞奎屯(,)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以
新疆王新敞奎屯不止一个
新疆王新敞奎屯(,)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值.
新疆王新敞奎屯(,)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取
新疆王新敞奎屯得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
(三)讲解例题
fx(),的驻点和极值点. 例1 求函数x，sinx
,f(x),1，cosx,0fx()分析:，的驻点集合是:,,. x,(2k，1),k,Z
,f(x)f(x)在驻点左右的符号均为正，所以函数没有极值.
2g(x),x(3,x)例2 求函数的极大值和极小值.
2,g(x),6x,3x分析:
,, (- ,0) (0,2) (2,+ ) x 0 2
6
+ — — , g(x)
0 4 g(x)
故函数g(x)的极小值为g(0)=0, 极大值为g(2)=4.
(四)技能训练
P练习1、2. 121
337答案:1.(1)函数的驻点是,极小值点是,极小值为. x,x,,222
,,,n(2) 函数的驻点集合是, xx,n，,n,Z(1),,,,6,,
3,,，k，函数的极大值点是,极大值为,. 2x,k，,k,Z,2126
535,,,，k，函数的极小值点是2,极小值是,. x,k，,k,Z,2126
(3)函数无驻点,无极值点.
,2(4) 函数的驻点是,函数的极大值点是,极大值为, x,,2,x,04ex,,2
函数的极小值点为,极小值为0. x,0
2.在处不一定能取到极值. f(x)x,c
323,,,,,,f(x),x,f(x),3x,f(x),6x,f(0),f(0),0f(x),x例如，，但是增函数，
4324,,,,,,f(x),x,f(x),4x,f(x),12xf(x),x无极值;，f(0),f(0),0,但在x,0处取得极小值。
(五)课堂
小结
学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结
本节课学习了函数在某点取得极值的必要条件和充分条件以及利用导数求可导函数的极值的步骤. 注意极大、极小值与最大、最小值的区别.
五、布置作业
课本P126习题8:第1题(1),(10)
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