2013年广州二模数学文科答案详解(word版)
2013年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1(参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,
如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应
的分数(
2(对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得
分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分(
3(解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数(
4(只给整数分数,选择题和填空题不给中间分(
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算(共10小题,每小题5分,满分50分(
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A C B B C A B
二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性(共5小题,每小题5分,满分20分(其中14~15
第13题第一个空2分,第二个空3分( 题是选做题,考生只能选做一题(
21,3611(1,3981 12( 13(; 14( 15( 21044
三、解答题:本大题共6小题,满分80分(解答须写出文字说明、
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
过程和演算步骤( 16((本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识,考查数据处理能力,本小题满分12分) 解:(1)高三文科(1)班抽取的8名学生视力的平均值为
4.424.624.824.95.1,,,,,,,( ,4.78
4.7 据此估计高三文科(1)班学生视力的平均值约为(………………………………………………3分
4.7(2)因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为、、、、、, 4.34.44.54.64.8
4.34.4,4.34.5,4.34.6,4.34.7,所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有,,,, ,,,,,,,,
4.34.8,4.44.5,4.44.6,4.44.7,4.44.8,4.54.6,4.54.7,4.54.8,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,
4.64.7,4.64.8,4.74.8,,,,共15种情形(…………………………………………………7分 ,,,,,,
4.34.5,4.34.6,4.34.7,其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的有,,, 0.2,,,,,,
4.34.8,4.44.6,4.44.7,4.44.8,4.54.7,4.54.8,4.64.8,,,,,,,,共10种( ,,,,,,,,,,,,,,
……………………10分
102=所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率为( ………………12分 0.2153
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17((本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分)
中,因为,,, 解:(1)在?ABCAB,80BC,70CA,50mmm
222ABACBC,,由余弦定理得 ………………………………………………………2分 cos,,BAC2,,ABAC
2228050701,,( ……………………………………………………3分 ,,280502,,
,因为为?的内角,所以(……………………………………………………4分 ,BACABC,,BAC3
AB(2)方法1:因为发射点到、、三个工作点的距离相等, OC
所以点为?外接圆的圆心(……………………………………………………………………5分 ABCO
设外接圆的半径为R,
BC在?ABC中,由正弦定理得, ……………………………………………………………7分 ,2RsinA
3,sinA,因为BC,70,由(1)知,所以( A,23
703701403A R,所以,即(…………………8分 2R,,333
2
BCD过点作边的垂线,垂足为,…………………………9分 OO
703BC70OBR,,在?OBD中,,, BD,,,35C B D 322
2,,703222所以 ………………………………………………………11分 ODOBBD,,,,35,,,,3,,
353, ( 3
353BC所以点到直线的距离为(……………………………………………………………12分 mO3
A AB方法2:因为发射点到、、三个工作点的距离相等, OC
ABC所以点为?外接圆的圆心(……………………5分 O
OBOC连结,,
BCD过点作边的垂线,垂足为, …………………6分 OO
,,,BAC由(1)知, 3C B D ,,,,BOC所以( 3
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,(…………………………………………………………………………………………9分 所以,,BOD3
BC70在Rt?中,, BODBD,,,3522
BD35353OD,,,所以(…………………………………………………………11分 tantan603,BOD
353BC所以点到直线的距离为(……………………………………………………………12分 mO3
18((本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识,考查空间想象能力等,
本小题满分14分)
(1)证明:因为,,,,PABPAC90,所以,PAAC,(………………………………1分 PAAB,
因为,所以PA,平面ABC(…………………………………………………………2分 ABACA,
BC,ABC 因为平面,所以BCPA,(………………………………………………………………3分 因为,,ACB90,所以BCCA,(……………………………………………………………………4分 因为,所以BC,平面PAC(…………………………………………………………5分 PACAA,
PBC,PACBC,PBC因为平面,所以平面平面(………………………………………………6分 (2)方法1:由已知及(1)所证可知,PA,ABCBCCA,平面,,
P 所以是三棱锥PABC,的高(……………………………7分 PA
因为PA,1,AB=2,设BCx,02,,x,……………8分 ,,
22222B A 所以(…………9分 ACABBCxx,,,,,,24
1C 因为 VSPA,,PABCABC,?3
12 ………………………………………………………………………………10分 ,,xx46
122 ,,xx4,,6
22xx,,4,,1 ,,…………………………………………………………………………11分 62
1(…………………………………………………………………………………………12分 ,3
22当且仅当xx,,4,即时等号成立(………………………………………………………13分 x,2
PABC,所以当三棱锥的体积最大时,(…………………………………………………14分 BC,2
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平面, 方法2:由已知及(1)所证可知,ABCPA,所以是三棱锥的高(………………………………………………………………………7分 PABC,PA
,,,,,0因为,设,……………………………………………………8分 ,,ACB90,,ABC,,,,2,,则,(……………………………………………9分 BCAB,,cos2cos,,ACAB,,sin2sin,,
11所以(………………………………………10分 SBCAC,,,,,,,,,,2cos2sinsin2?ABC22
1所以 VSPA,,PABCABC,?3
1 ( ………………………………………………………………………………11分 ,,sin23
,因为, 0,,,2
,1所以当,V有最大值( …………………………………………………………………12分 ,,PABC,34
,此时(………………………………………………………………………………13分 BC,,2cos24
所以当三棱锥PABC,的体积最大时,(…………………………………………………14分 BC,2
19((本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题
满分14分)
a解:(1)设等差数列的公差为, d,,n
aa,,5,25,ad,,,,121因为即………………………………………………………………………2分 ,,ad,,27.a,7.3,1,
a,1,,1解得 ………………………………………………………………………………………………3分 ,d,3.,
所以aandnn,,,,,,,,113132( ,,,,n1
*aan,,32()n,N所以数列的通项公式为( …………………………………………………4分 ,,nn
11111,,(2)因为, ……………………………………………5分 ,,,,,aannnn323133231,,,,,,,,,,nn,1
,,1n所以数列的前项和 ,,aann,1,,
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11111 S,,,,,,naaaaaaaaaa12233411,,nnnn
11111111111111,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,1 ,,,,,,,,,,3434737103353233231nnnn,,,,,,,,,,,,,,
11n,,,,,1(……………………………………………………………………………7分 ,,33131nn,,,,
SSS假设存在正整数、,且,使得、、成等比数列, n1,,mnm1mn
2则(……………………………………………………………………………………………8分 SSS,mn1
2mn1,,(………………………………………………………………………………9分 即,,,,31431mn,,,,
24m所以( n,2,,,361mm
2因为n,0,所以,,,,3610mm(
23610mm,,,即(
23113,,,,mm,1因为,所以( 3
*m,Nm,2因为,所以(……………………………………………………………………………12分
24m此时(…………………………………………………………………………13分 n,,162,,,361mm
m,2n,16n所以存在满足题意的正整数m、,且只有一组解,即,( ………………………14分
20((本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能
力等,本小题满分14分)
2fxxax()2ln,,解:(1)因为函数,
fx()(0,),,所以函数的定义域为(……………………………………………………………………1分
2a,且(………………………………………………………………………………………2分 fxx()2,,x
fx()若在定义域上是增函数,
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2a,在(0,),,上恒成立(…………………………………………………………3分 则fxx()20,,,x
2即在(0,),,上恒成立,所以( …………………………………………………………4分 ax,a,0
由已知, a,0
所以实数的取值范围为,,,0(……………………………………………………………………5分 a,,
2[1,2](2)?若,由(1)知,函数fxxax()2ln,,在区间上为增函数( a,0
fx()[1,2]f(1)1,所以函数在区间上的最小值为(…………………………………………………6分
22xaxa,,,,,,22xa,,fx(),,?若a,0,由于, xx
fx()所以函数在区间上为减函数,在区间上为增函数(………………………7分 0,aa,,,,,,,
(?)若a,1,即01,,a时,, [1,2],,,,a,,
2[1,2]fxxax()2ln,,函数在区间上为增函数,
fx()[1,2]f(1)1,所以函数在的最小值为(…………………………………………………………9分
14,,a(?)若12,,a,即时,
2fxxax()2ln,,函数在区间为减函数,在上为增函数, 1,aa,2,,,,
fx()[1,2]所以函数在区间上的最小值为(……………………………………11分 faaaa,,ln,,
a,4a,2(?)若,即时,, [1,2]0,,a,,
fx()[1,2]函数在区间上为减函数,
fx()[1,2]fa(2)42ln2,,所以函数在的最小值为( ……………………………………………13分
fx()[1,2]f(1)1,a,1a,0综上所述,当且时,函数在区间上的最小值为(
fx()[1,2]14,,a 当时,函数在区间的最小值为( faaaa,,ln,,
fx()[1,2]a,4fa(2)42ln2,,当时,函数在区间上的最小值为(………………14分
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21((本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算
求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)
22解:(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得,(…………………………1分 xy,xyy,,,,11,,,,
22整理,得(所以轨迹的方程为(…………………………………………………2分 xy,4Mxy,4
y,,1方法2:设动圆圆心为,依题意得点到定点F0,1的距离和点到定直线的距离相等, PPP,,
的轨迹是抛物线(……………………………………………………1分 根据抛物线的定义可知,动点P
y,,1且其中定点F0,1为焦点,定直线为准线( ,,
2所以动圆圆心的轨迹的方程为(………………………………………………………2分 PMxy,4
1122,(2)由(1)得,即,则( xy,4yx,yx,42
1,,2Dxx,设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为l00,,4,,
1y C (…………………………3分 kx,BC02
111,,,,,,222Axx,,Cxx,Bxx,由题意知点(设点,, 001122,,,,,,444,,,,,,E
1122D A xx,12xx,14412B 则, kx,,,x BC0O xx,42l 12
xxx,,2即(………………………………………………4分 120
11112222xx,xx,1020xx,xx,10204444因为,(……………………………5分 k,,k,,ACABxx,xx,441020
xxx,,2,,xxxx,,1201020kk,,由于,即(………………………6分 kk,,,,,0ACABACAB444
,,,BADCAD所以(…………………………………………………………………………………7分
2ADDAB,45(3)方法1:由点到的距离等于,可知,BAD(………………………………8分 2
12Cxx,ADAB不妨设点在上方(如图),即,直线的方程为:( yxxx,,,,,,21004
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1,2yxxx,,,,,,,,00 由4,2,xy,4.,
12,,xx,,4,4解得点的坐标为(……………………………………………………………10分 B,,00,,4,,
所以( ABxxx,,,,,,24222,,,,000
ACx,,222由(2)知,同理可得(………………………………11分 ,45,,,CADBAD0
12ABC所以?的面积, Sxxx,,,,,,,,22222244200002
解得x,,3(……………………………………………………………………………………………12分 0
13,,,1,当x,3时,点B的坐标为,, k,,,0BC42,,
13BC直线6470xy,,,的方程为,即(…………………………………………13分 yx,,,1,,42
493,,,7,当x,,3时,点B的坐标为,, k,,0,,BC42,,
493BC6470xy,,,直线的方程为,即( ……………………………………14分 yx,,,,7,,42
2ADDAB方法2:由点到的距离等于,可知,45(…………………………………8分 ,BAD2
,45,CAB,90由(2)知,,,CADBAD,所以,即ACAB,(
xx,xx,1020由(2)知,( k,k,ACAB44
xxxx,,1020所以( 1kk,,,,ACAB44
即xxxx,,,,16( ? ,,,,1020
xxx,,2由(2)知( ? 120
xx,,4,,10Cxx,AD不妨设点在上方(如图),即,由?、?解得…………………………10分 ,21xx,,4.20,
2112,,22因为, ABxxxxx,,,,,,222,,20200,,44,,
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ACx,,222( ………………………………………………………………………………11分 同理0
以下同方法1(
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