初二数学因式分解(课件)ppt模版课件

初二数学:因式分解(一) 因式分解——提公因式法 (一)、 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 提要 多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。 因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。 [知识要点] : 1(了解因式分解的意义和要求 2(理解公因式的概念 3(掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式 (二)、例题分析 例1(下列从左到右的变形，属于因式分解的有( ) 2 1.(x+1)(x-2)=x-x-2 2.ax-ay-a=a(x-y)-a 23232 3.6xy=2x?3y 4.x-4=(x+2)(x-2) 322 5.9a-6a+3a=3a(3a-2a) A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 分析:从左到右，式1是整式乘法;式2右端不是积的形式;式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式;式5的右边括号内漏掉了“1”这项;只有式4是正确的。 (答案)解:B 23322例2(把-3ab+6abc+3ab分解因式 分析:如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的 2系数是正的。此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是ab. 233222332222解:-3ab+6abc+3ab =-(3ab-6abc-3ab) =-3ab(b-2abc-1) 评注:当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误， 22可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如，观察-3ab(b-2abc-1)是否等于 23322-3ab+6abc+3ab，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。 22例3(分解因式3ab(2x-y)-6ab(y-2x) 分析:因为y-2x=-(2x-y), 就是说y-2x 与2x-y实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab(2x-y). 22解:3ab(2x-y)-6ab(y-2x) 22 =3ab(2x-y)+6ab(2x-y) =3ab(2x-y)(a+2b) 评注:本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。 3222例4(分解因式:2a(a-b)-a(a-b)+ab(b-a) 2222分析:要找出这三个项的公因式。因为(b-a)=[-(a-b)]=(a-b)，因此(a-b)就是公因 式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。 3222解:2a(a-b)-a(a-b)+ab(b-a) 3222 =2a(a-b)-a(a-b)+ab(a-b) 2 =a(a-b)[2(a-b)-a+b] 2 =a(a-b)(a-b) 3 =a(a-b). 评注:多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现 公因式，但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。 nn 当n为奇数时，(x-y)=-(y-x); nn 当n为偶数时，(x-y)=(y-x). 23例5(不解方程组 求7y(x-3y)-2(3y-x)的值。 23分析:先把7y(x-3y)-2(3y-x)进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。 23解:7y(x-3y)-2(3y-x) 23 =7y(x-3y)+2(x-3y) 2 =(x-3y)[7y+2(x-3y)] 2 =(x-3y)(2x+y) 2? ?原式=1×6=6 评注:先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。 200019991998例6(求证:3-4×3+10×3能被7整除。 200019991998分析:先把3-4×3+10×3因式分解 200019991998证明:?3-4×3+10×3 19982 =3×(3-4×3+10) 1998 =7×3 200019991998 ?3-4×3+10×3能被7整除。 (三)、练习 一、选择题: (1)在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( ) 2322 A、-5xy=-5xy(xy) B、x-4-3x=(x+2)(x-2)-3x 22 C、ab-2ab=ab(b-2) D、(x-3)(x+3)=x-9 3322222(2)49abc+14abc-21abc在分解因式时，应提取的公因式是( ) 222 222 33 A、7abc B、7abc C、7abc D、7abc 2(3)把多项式3m(x-y)-2(y-x)分解因式的结果是( ) A、(x-y)(3m-2x-2y) B、(x-y)(3m-2x+2y) C、(x-y)(3m+2x-2y) D、 (y-x)(2x-2y+3m) (4)在下列各式中: ?a-b=b-a; 22?(a-b)=(b-a); 22?(a-b)=-(b-a); 33; ?(a-b)=(b-a) 33?(a-b)=-(b-a); ?(a+b)(a-b)=(-a+b)(-a-b) 正确的等式有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3222(5)在分解-5x(3a-2b)+(2b-3a)时，提出公因式-(3a-2b)后，另一个因式是( ) 3333 A、5x B、5x+1 C、5x-1 D、-5x (6)下列各组代数式中没有公因式的是( ) 2222 A、5m(a-b)与b-a B、(a+b)与-a-b C、mx+y与x+y D、-a+ab与ab-ab (7)下列各题因式分解正确的是( ) 232322 A、3x-5xy+x=x(3x-5y) B、4xy-6xyz=-2xy(2x-yz+3) C、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a) D、322222-56xyz+14xyz-21xyz=-7xyz(8x-2xy+3yz) 19992000(8)把(-2)+(-2)分解因式后是( ) 19991999 A、2 B、-2 C、-2 D、-1 n+2n-1n(9)把3a+15a-45a分解因式是( ) n+2n-1nn2-1 A、3(a+5a-15a) B、3a(a+5a-15) n-13-1n-13 C、3a(a+5-15a) D、3a(a+5-15a) [答案]: 1.C 2.A 3. B 4. C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D 二、填空题: 223231(单项式-4abc，12abc, 8ab的公因式是________。 332(多项式9xy-36xy+3xy提取公因式________后，另一个因式是______。 2nn3(多项式8x-4x提取公因式后，括号内的代数式是______。 4(分解因式:x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_________. 25(分解因式:x(x+y)(x-y)-x(y+x)=________. 6(2y(x-2)-x+2 分解因式________。 [答案]: 2 22n1. 4ab 2. 3xy, 3x-12y+1 3. 2x-1 4. (m-n)(a-b)(x-y) 5. -2xy(x+y) 6. (x-2)(2y-1) 三、解答题: 1(把下列各多项式分解因式 5232(1) ab-ab+ab 2222(2) -7xy-14xy+49xy 22(3) (x+y)(a+a+1)-(x-y)(a+a+1) 2223(4) 18x(x-2y)-24xy(2y-x)-12x(2y-x) (5) x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y) 22(6) y(2x-y)-2x(y-2x) 2(计算下列各式 (1) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1 119(2) 10-5×10 3(先化简，再求值。 4334(1)已知2x-y=, xy=2, 求2xy-xy的值。 22(2)已知4x+7x+2=4,求-12x-21x的值。 4(求证下列各题 200019991998 (1)证明7-7-7能被41整除 (2)求证:奇数的平方减去1能被8整除 (3)求证:连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。 [答案]: 1( 232(1)ab(a-b+1) (2)-7xy(x+2y-7xy) 2(3)2y(a+a+1) 2(4)6x(2y-x)(5x-8y) 2(5)(x+y-z) 22(6)原式=y(2x-y)-2x(2x-y) 2 =(2x-y)(y-2x) 3 =-(2x-y) 2( (1)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9) =200.1×10 =2001 92(2)原式=10×(10-5) 9 =10×95 10 =9.5×10 3( (1)解:?2x-y=, xy=2, 4334333?2xy-xy=xy(2x-y)=2?=. 2(2)解:?4x+7x+2=4 2?4x+7x=2 22?-12x-21x=-3(4x+7x)=-3×2=-6. 4( 200019991998199821998(1)证明:?7-7-7=7(7-7-1)=41×7 199919982000?7-7-7能被41整除。 (2)证明:设奇数为2n+1, 2则(2n+1)-1=(2n+1-1)(2n+1+1) =2n?(2n+2) =4n(n+1) 又?相邻两个整数的积一定是偶数 ?n(n+1)是偶数 即n(n+1)是2的倍数， ?4n(n+1)是8的倍数， 故原命题成立。 (3)证明:设n为整数，则n, n+1是两个连续整数， 2?n?(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1), 故原命题成立。 课外: 初二学生数学学法指津 初一匆匆过去，初二迎面而来，如果说一个人成才的基础工程在初中，而这个工程的核心则在初二。 所以高度重视认真探索学习方法、研究学习方法具有重要意义。下面我们一起来就初二学习的内容，学习内外部环境,学习方法指导等方面探求、分析。 一、初二学习内、外部环境的变化。 ,、学科上的变化:和初一比较，初二开始添设几何和物理，这两个学科都是思维训练要求较强的学科，直接为进入高一级学科或就业服务的学科。 ,、学科思维训练的变化:初二各学科在概念的演化、推理的要求、思维的全面性、深刻性、严密性、创造性方面都提出了比初一更高的要求。 ,、思维发展内部的变化:思维发展从思维发展心理学的角度看已进入新的阶段，即已经炽烈地、急剧地进入第五个飞跃期的高峰。这个“飞跃”期是否会缩短，“飞跃”的质量是否理想要靠两个条件:1)教师精心的指导;,)自己不懈地努力。 ,、外部干扰因素的变化:初二正是你性格定型加快节奏，幻想重重的年龄期，常常 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出心理状态和情绪的不稳定，例如逆反情绪发展。这给外部的诱惑和干扰创造了乘虚而入的条件。不要因为这些妨碍自己正常地接受教师和家长的指导，破坏了专一学习的正常心理状态。要学会“冷静”、“自抑”，把充沛的青春活力投入到学习活动中去。 二、初二学法指导要点。 ,、积极培养自己对新添学科的学习兴趣。平面几何是逻辑推理、形象思维、抽象思维的训练，平几学习的好坏，直接影响你的思维发展，影响你顺利地完成第五个思维发展飞跃。理化学科是你将来从事理工科的基础，语文的快速阅读和写作训练也在为你今后的发展奠定基础。切记勿偏科，初中阶段的所有学科都是你和谐完美发展的第一块基石。 ,、用好“读、听、议、练、评”五字学习法，掌握学习主动权。读:读书预习;听:听课;议:讲议讨论;练:复读练习，形成技能;评:自我评价掌握学习内容的水平。 ,、在评价中学习，在评价中达标:“在评价中学习”是指给自己提出明确的学习目标，在目标的指导和鞭策下学习。“在评价中达标”是指只有进入“自我评价状态的学习”，才能有效地达到学习目标，强烈的自我追逐学习目标，才能高质量、高水平的达到目标。 ,、听课要诀:(,)在自学预习的基础上听;(,)手脑并用，勤于实践议练，勤于 笔记 哲学笔记pdf明清笔记pdf政法笔记下载课堂笔记下载生物化学笔记PDF ，养成笔记的习惯;(,)勇于发言，发问，暴露自己的疑点、弱点;(,)把握重点和难点。对“重点”要“练而不厌”，对“难点”要锲而不舍;(,)形散神不散。课堂上，教师的读、讲、议、练、评活动安排从形式上可能有些“散”，你要积极参与配合，做到45分钟形散神不散;(,)重视每节课的归纳 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 ，把感性认识上升为理性认识。就数学而言要学会归纳知识结构、题型、数学思想和方法。 ,、重视知识、题型积累，更重视思维训练和能力发展。你要适应21世纪初人才需求的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，必须是既有知识，又有能力，会思考、会运筹的人。怎样培养自己的能力呢,(,)在听懂双基知识点的同时，着力弄清思路和方法;(,)学会多方面地思考问题，就是在研究问题的证与解的同时，着力思考多解和多变，自己编一些变条件，变解答过程、变结论的问题;(,)有目的地提高自己的动手能力。常言道:“动脑不动手，沙地起高楼”，不可行。新的见解，常出于实践训练之中;(,)有目的地提高自己的特异思维能力，不要只满足于教师讲的，书上写的解法和证法。一题多解，胜练十题，特异思维的一次成功，就是思维发展的一次飞跃。 暂时介绍这些初二学法要点，祝同学们学习顺利，成功～ 中考分析: 提公因式法的中考考点 1(正确理解因式分解的概念及它与整式乘法的区别与联系。 2(能够用提公因式法把多项式进行因式分解。 考点讲解 1( 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 注意:?必须是把一个多项式因式分解。 如:-2ab=-2a?b ?-2ab不是多项式，?-2ab=-2a?b不是因式分解。 ?因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。 2如:3x+6xy-12x=3x(x+2y-4) 22a-b=(a+b)(a-b) 都是正确的，但像 222(1)a-b=(a+b)?; 2(2)x-4+3x=(x+2)(x-2)+3x; 就不是因式分解了。因为(1)中不是整式;(2)中(x+2)(x-2)+3x不是积的形式。 2(本节另一个重点是掌握提公因式方法，关键是确定公因式，难点是寻找隐含的公因式。利用提公因式法进行因式分解时，可按如下法则进行: ?提出的公因式必须是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。 ?把确定的公因式提出写在括号外面作为一个因式，而括号里面的每一个因式是多项式 除以公因式的商。 2( 利用提公因式法分解因式时，要防止出现以下错误: ?提不“全”或提不“净”现象: 222如 12a-6a-18a=3a(4a-2a-6)的错误原因是只注意到字母的指数，而没有提系数的最 大公约数。 ?出现“丢项”: 2222222如 3xy-9xy-3x=3x(y-3y)的错误原因是丢项(-3x)，当某一项恰是这个多项式各项 的公因式时，它被提出后不是没有了，而是还有“1”; 2又如 -a+ab-ac=-a(a+b-c)的错误原因是提“-a”后括号内各项没有变号。 考题例析 1( 因式分解:=__________。 考点:提公因式法;平方差公式法;分解因式。 评析思路:先提公因式，然后再用平方差公式进行分解. 说明:分解因式要彻底。 2答案:x(x-4y) 322( 分解因式:4q(1-p)+2(p-1) 考点:提公因式法 222分析:注意到(p-1)=(1-p), 把(1-p)看作一个整体，且最低次幂是(1-p), 系数的最 2大公约数是2，故提2(1-p). 32解:4q(1-p)+2(p-1) 2=2(1-p)[2q(1-p)+1] 2=2(1-p)(2q-2pq+1). 真题实战 21(选择:若二次三项式x+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为()。 A、-1 B、1 C、-2 D、2 2分析:解此类题关键在于理解因式分解的概念，根据题意x+ax-1=(x-2)(x+b),把右边 展开后，再由恒等式的性质即可求解，故选(A)。 2(选择:把ab+a-b-1分解因式的结果为( ) A、(a+1)(b+1) B、(a-1)(b-1) C、(a+1)(b-1) D、(a-1)(b+1) 解:ab+a-b-1 =(ab+a)-(b+1) =a(b+1)-(b+1) =(b+1)(a-1) 答案:D 3(填空:分解因式2a(b+c)-3(b+c)=________. 解:应填(b+c)(2a-3). 224(分解因式:xy-xy. 22解:xy-xy=xy(x-y). 25(分解因式:a-ab=____( 答案:a(1+b)(1-b) 26(因式分解:x,xy=______( 答案:x(x-y) 初二数学:因式分解(二) 一、学习指导 1(代数中常用的乘法公式有: 22 平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b 222 完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b 2(因式分解的公式: 将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个 公式: 22 平方差公式:a-b=(a+b)(a-b) 222 完全平方公式:a?2ab+b=(a?b) 3( ?应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数 系数，符号等方面掌握它们的特征。 ?明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。 ?同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。 ?运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式 法来分解。 二、因式分解公式的结构特征。 221.平方差公式:a-b=(a+b)(a-b)的结构特征。 1)公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。 2)公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a是完全相同的，即为左边 22式子中被减数a的底数，另一项b和-b是互为相反数，即b是左边式子中减数b的底数。 3)要熟记1——20的数的平方。 2222、完全平方公式:a?2ab+b=(a?b)的结构特征。 1)公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为 正号(负号)时右边的两项式中间符号为正(为负)，2ab中的“2”是一个固定的常数。 2)公式的右边是两数和或差的平方形式。 3)要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a和b 在这里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab，如果是的，才可以分解为两数 和或差的平方形式。初学时中间的过渡性步骤不要省掉。 三、例题分析: 222416例1(分解因式:(1)4a-9b (2)-25ay+16b 分析(1): 2222??4a=(2a),9b=(3b),那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可。 ?将两项交换后，这两项式是平方差的形式。 22解: 4a-9b 22=(2a)-(3b) =(2a+3b)(2a-3b) 22注:为保证解题正确要将中间步骤(2a)-(3b)写上，即先化为公式的左边形式。 分析(2): ? 这是个两项式，且两项符号相反 1682? ? 16b=(4b) 2422 25ay=(5ay) 82那么可将4b和5ay看作平方差公式中的a和b即可。 2416解:-25ay+16b 1624 =16b-25ay 8222 =(4b)-(5ay) 8282 =(4b+5ay)(4b-5ay) 8222注:要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b)-(5ay) 4861022例2(分解因式: (1) 36bx-9cy (2) (x+2y)-(x-2y) 88 22(3)81x-y (4)(3a+2b)-(2a+3b) 分析: (1)题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。 (2)题的两项式符合平方差公式，x+2y和x-2y分别为公式中的a和b。 44(3)题也是两项式，9x和y是公式中的a和b。 (4)题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。 48610解(1): 36bx-9cy 48610=9(4bx-cy) 242352=9[(2bx)-(cy)] 24352435=9(2bx+cy)(2bx-cy) 注:解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。 22解(2):(x+2y)-(x-2y) =[(x+2y)+(x-2y)][(x+2y)-(x-2y)] =(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y) =(2x)(4y)=8xy 注:此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知， 因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。 88解(3):81x-y 4242=(9x)-(y) 4444=(9x+y)(9x-y) 442222=(9x+y)[(3x)-(y)] 442222=(9x+y)[(3x+y)(3x-y)] 442222=(9x+y)(3x+y)(3x-y) 44注:?第一次应用平方差公式后的第二个因式9x-y还可以再用平方差公式分解。 22?3x-y在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。 22解(4):(3a+2b)-(2a+3b) =[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)-(2a+3b)] =(3a+2b+2a+3b)(3a+2b-2a-3b) =(5a+5b)(a-b) =5(a+b)(a-b) 注:(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。 22 22例3(分解因式:?(2m-n)-121(m+n) ?-4(m+n)+25(m-2n) 分析: 2(1)题的第二项应写成[11(m+n)]就可以用平方差公式分解，2m-n和11(m+n)为公式中 的a和b。 (2)题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b 分别为5(m-2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。 22解(1):(2m-n)-121(m+n) 22=(2m-n)-[11(m+n)] =[(2m-n)+11(m+n)][(2m-n)-11(m+n)] =(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n) =(13m+10n)(-9m-12n) =-3(13m+10n)(3m+4n) 注:(-9m-12n)这项应提取公因式-3 。 22解(2):-4(m+n)+25(m-2n) 22=25(m-2n)-4(m+n) 22=[5(m-2n)]-[2(m+n)] =[5(m-2n)+2(m+n)][5(m-2n)-2(m+n)] =(5m-10n+2m+2n)(5m-10n-2m-2n) =(7m-8n)(3m-12n) =3(7m-8n)(m-4n) 注:利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则 的应用。 例如:-2(m+n)=-2m-2n?-2m+2n 。 544例4(分解因式: (1) ab-ab (2)a(m+n)-b(m+n) (3)- 分析:这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分 解为止。 5解(1):ab-ab 4=ab(a-1) 22=ab(a+1)(a-1) 2=ab(a+1)(a+1)(a-1) 22注:a+1在有理数范围不能分解，a-1可以分解。 44解(2):a(m+n)-b(m+n) 44=(m+n)(a-b) 2222=(m+n)(a+b)(a-b) 22=(m+n)(a+b)(a+b)(a-b) 解(3):- 2=-(a-16) =-(a+4)(a-4) 注:提取分数公因式-便于后面用公式法分解。 22例5(计算1.2222×9-1.3333×4 分析:这是数字的计算问题,若按运算顺序一步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法, 发现题中的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解, 这样可以使计算简化。 22解:1.2222×9-1.3333×4 22=(1.2222×3)-(1.3333×2) =(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3-1.3333×2) =(3.6666+2.6666)(3.6666-2.6666) =6.3332×1=6.3332 2222例6(分解因式:(1)x(x-1)-x+1 (2)(x+x+2)(x+x+7)-6 222分析:(1)可看成二项式:将-x+1变形为-(x-1)则可提取公因式(x-1)再将公因式用平方 差公式分解。 22解(1):x(x-1)-x+1 222=x(x-1)-(x-1)=(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) 2=(x+1)(x-1) 222分析:(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x+x+2与x+x+7的平均数为x+x+，故 可用换元法解: 2解?:设y==x+x+ 22则(x+x+2)(x+x+7)-6 2=(y-)(y+)-6=y--6 2=y-=(y+)(y-) 2222=(x+x++)(x+x+-)=(x+x+8)(x+x+1) 222注:此题也可以展开式子(x+x)+9(x+x)+8再应用十字相乘法进行。 48例7(若(2-1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。 484848分析:首先应分析2-1的特殊形式为平方差，由题意2-1能被两个数整除说明2-1 48能分解成哪两个数与其它因式的积，并将2-1进行因式分解。并注意这两个整数的取值范 围是大于60且小于70。 48解:2-1 24222424=(2)-1=(2+1)(2-1) 241212=(2+1)(2+1)(2-1) 241266=(2+1)(2+1)(2+1)(2-1) 662412?2+1=65为整数，2-1=63为整数，2+1和2+1都为整数 24126?=(2+1)(2+1)(2-1)为整数。 24126=(2+1)(2+1)(2+1)也为整数。 48?2-1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。 48说明:此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是2-1是因式分解的平方差公式的基 66本形式。将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现2+1的因式，2+1=65，及 633出现2-1=63。因为2+1=9，2-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。 例8(求证:任意两个连续整数之积是2的倍数， 证明:设这两个连续整数分别为n和n+1 则这两个连续整数之积为:n(n+1) (1)如果n为偶数，可设n=2k(k为整数) 则n(n+1)=2k(2k+1) ?=k(2k+1) ?k为整数， ?k(2k+1)为整数。 ?n(n+1)是2的倍数。 (2)如果n为奇数，可设n=2k+1(k为整数) 则n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1) ?=(2k+1)(k+1) ?k为整数， ?(2k+1)(k+1)也为整数。 ?n(n+1)是2的倍数。 ?任意两个连续整数之积是2的倍数。 注:本题的证明，主要是明确以下几点: (1)连续整数的表示法，注意数之间差为1。 (2)2的倍数是什么意思;即被2整除，也就是说除以2所得的商是一个整数。 (3)要进行分类讨论，将n分为偶数和奇数来进行讨论。 22222例9、分解因式:(1)x+6ax+9a (2)-x-4y+4xy (3)9(a-b)+6(a-b)+1 分析:这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。 2222(1) 题的x=(x)，9a=(3a)，且这两项的符号相同，可写成平方和。这样x和3a就为公式中的a和b了。另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。 22解(1):x+6ax+9a 22=(x)+2(x)(3a)+(3a) 2=(x+3a) 22注:再写第一步的三个项的和时实际上先写x和(3a)项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内;计算出来为6ax，即原题中的中间项。 22分析:(2)题中的-x-4y，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即2222-x-4y=-[x+(2y)]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。注意提取负号时4xy要变号为-4xy。 22解(2):-x-4y+4xy 22=-(x-4xy+4y) 22=-[x-2(x)(2y)+(2y)] 2=-(x-2y) 2 22分析:(3)题9(a-b)+1可写成平方和[3(a-b)]+1，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。 2解(3):9(a-b)+6(a-b)+1 22=[3(a-b)]+2×3(a-b)×1+1 2=[3(a-b)+1] 2=(3a-3b+1) 422222 22 例10、分解因式:(1) ax-4axy+4xy(2) (x+y)-12(x+y)z+36z 2222222224(3)(x+4x)+8(x+4x)+16 (4)(x-2y)-2(x-2y)y+2y 242222分析:(1)题有公因式x应先提取出来，剩余因式(a-4ay+4y)正好是(a-2y) 422222解(1):ax-4axy+4xy 2422=x(a-4ay+4y) 22222=x[(a)-2(a)(2y)+(2y)] 222=x(a-2y) 分析:(2)中可将(x+y)看作一个整体，那么这个多项式就相当于(x+y)的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和b分别为(x+y)和(6z)，中间项-2ab为-2(x+y)(6z)，正好适合完全平方公式。 22解(2):(x+y)-12(x+y)z+36z 22=(x+y)-2(x+y)(6z)+(6z) 2=(x+y-6z) 注:此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项(或一部分)作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。如此题中将(x+y)代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。 222分析:(3)的题型与(2)题相同，只不过公式中的a和b为x+4x和4，分解为(x+4x+4) 2后再将x+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。 222解(3):(x+4x)+8(x+4x)+16 2222=(x+4x)+2(x+4x)×4+4 22=(x+4x+4) 224=[(x+2)]=(x+2) 222222分析:(4)题把x-2y和y看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x-2y和y的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。注意分解到不能分解为止。 2222224解(4):(x-2y)-2(x-2y)y+2y 2222224=[(x-2y)-4(x-2y)y+4y] 22222222=[(x-2y)-2(x-2y)(2y)+(2y)] 2222=(x-2y-2y) 222=(x-4y) 2=[(x+2y)(x-2y)] 22=(x+2y)(x-2y) 222242例11、分解因式:(1) 9(a-b)+12(a-b)+4(a+b) (2) 3a-6a+3 n+1n-1n22222(,) a+a-2a (4) (m+n+1)-4mn 22分析:(1)题中的9(a-b)=[3(a-b)]， 224(a+b)=[2(a+b)]而中间项， 2212(a-b)=12(a+b)(a-b)=2×3(a-b)×2(a+b) ， 正好是公式中的2ab项。 2222解(1):9(a-b)+12(a-b)+4(a+,) 22,[3(a-b)]+12(a+b)(a-b)+[2(a+b)] 22=[3(a-b)]+2×3(a-b)×2(a+b)+[2(a+b)] 2=[3(a-b)+2(a+b)] 2=(3a-3b+2a+2b) 2=(5a-b) 2分析:(2)此题的三项式可看作a的二次三项式,且应先提取公因式3，再用公式进行分 解。 42解(2):3a-6a+3 42=3(a-2a+1) 22=3(a-1) 2=3[(a+1)(a-1)] 22=3(a+1)(a-1) 2注:应用完全平方公式后注意再将因式a-1再用平方差公式分解。注意用积的乘方法 则。 n-1分析:(3)题有公因式a，先提取公因式再用公式。注意先按降幂排列好顺序。 n+1n-1n解(3):a+a-2a n+1nn-1=a-2a+a n-12=a(a-2a+1) n-12=a(a-1) 分析:(4)题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多项式的因 式都可再用平方差公式。 22222解(4): (m+n-1)-4mn 2222=(m+n-1+2mn)(m+n-1-2mn) 2222=[(m+2mn+n)-1][(m-2mn+n)-1] 2222=[(m+n)-1][(m-n)-1] =(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1) 22例12:分解因式:(m-1)(n-1)+4mn. 22222222222222分析:将(m-1)(n-1)展开得mn-m-n+1=(mn+1)-(n+m)可将mn+1与n+m均配成 完全平方则可用平方差公式分解。 22解:(m-1)(n-1)+4mn 2222=(mn-m-n+1)+4mn 2222=(mn+1)-(n+m)+4mn 2222=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n) 22=(mn+1)-(m-n) =(mn+1+m-n)(mn+1-m+n) 课外 立方和立方差公式 立方和立方差公式是旧教材中的必学内容，但新教材已经将这两个公式删去，现我们 做简单的讲解，让同学们对立方和差公式有所了解～ 内容:立方和与立方差公式: 2233(a，b)(a,ab，b),a+b 2233 (a,b)(a，ab，b),a-b 把这两式反过来，就得到 3322a，b,(a，b)(a,ab，b) 3322a,b,(a,b)(a，ab，b) 其特点是:等号左边是两数的立方和(或差)，等号右边是二数和(或差)与一个三项 式的积，三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号 相反。 运用这两个公式，可以把形式是立方和(或差)的多项式分解因式。 例1 把下列多项式分解因式: 33(1)a，8; (2)27,8y 333222解(1): a，8=a+2=(a+2)(a-2a+2)=(a+2)( a-2a+4) 333222(2): 27,8y=3-(2y)=(3-2y)[(3+6y+(2y))]=(3-2y)(9+6y+4y) 43例2.(1999福建)x-xy=________. 433322答案: x-xy=x(x-y)=x(x-y)(x+xy+y) 评析思路:先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择因式分解的方 法，此题根据题目的特点，首先要采用提公因式法，然后利用公式法进行最后分解。 小结:运用立方和公式与立方差公式分解因式，一定要记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了。 中考考点:运用公式法 1(理解因式分解的平方差公式、完全平方公式、立方和(差)公式的意义。 2(掌握每个公式的特点，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解。 考点讲解 利用因式分解与整式乘法之间的关系，把乘法公式反过来，就是因式分解的公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式，难点是灵活运用公式进行因式分解。 221(平方差公式:a-b=(a+b)(a-b) 其特点是:?多项式为二项式。?两项符号相反。?每项都可以化为某数或某式的平方的形式。 2222(完全平方公式:a?2ab+b=(a?b)。 其特点是: ?多项式为三项式; ?两项同号且能写成某数或某式的完全平方的形式; ?另一项是这两项写成的某数或某式的积的2倍，符号可正可负。 3(考察运用公式法进行因式分解这部分知识，比较简单的题型是直接运用公式， 322 如:?分解因式:x-8，x+4x+4，x-64等; 22?填空:x+ x+64=(x+ )， 32227x+ =( +2)(9x- + )等。 66比较复杂的题型是几个公式的混合多次运用，如分解因式:a-b等，这就要求同学们要掌握每个公式的特点。在应用时应注意: ? 各项有公因式时，应先提因式; ? 熟记1——20的平方数; ? 完全平方公式有两个，是加是减看中间项符号; ? 立方和(差)公式的结果中，右边第二个因式的中间项的符号与第一个因式第二项的符号相反。 考题例析 221((贵阳市)(因式分解:x-4y= 。 考点:公式法因式分解。 评析:要正确使用公式，注意先将多项式转化为公式并分解， 2222即x-4y=x-(2y)=(x+2y)(x-2y)。 22((长沙市)分解因式:ma+2ma+m= 。 考点:提公因式，公式法分解因式。 评析:对于三项式的因式分解，首先观察有无公因式，提出公因式后，再观察是否符合 完全平方公式或十字相乘法，直至不能再分解为止。 2答案:m(a+1) 3((河北省)分解因式:=_____________________。 考点:提公因式、公式法因式分解。 评析:思路先提出公因式2xy，剩下的是符合完全平方公式的二次三项式，然后利用完 全平方公式可分解彻底。 2答案:2xy(x+2y) 32234((北京市东城区)分解因式:2ab+8ab+8ab=_________________。 考点:公式法分解因式。 评析:因多项式是三项多项式，所以若有公因式先提公因式，剩余的三项可用完全平方 公式或十字相乘法分解，此题用完全平方公式法分解。 2答案: 2ab(a+2b) 5.(辽宁)方程2x(x-3)=5(x-3)的根为( ) A、x=; B、x=3; C、x=3,x=; D、x=- 12 考点:因式分解，解方程 评析:此题是一道解一元二次方程的问题，在解方程的过程中，如果用因式分解来解的 话，会很容易求出解的。具体步骤如下: 解:因为2x(x-3)=5(x-3) 所以2x(x-3)-5(x-3)=0 即(x-3)(2x-5)=0 解得:x=3，x= 12 答案:C 真题实战 21((苏州市)分解因式:ma-4ma+4m= 。 2答案:m(a-2) 2((扬州市)分解因式: 。 3答案:x(x+1)(x-1) 3((石家庄市)等式成立的条件是 。 答案:a=0或b=0 4((山西省)下列各式中，正确的是( ) 222 -10A(a+2ab+4b=(a+2b) B((0.1)+(0.1) 3322C( D(a+b=(a+b)(a+ab+b) 答案:C 225((昆明)x-x+_________=(x-)。 答案: 2226((石家庄)分解因式:a+4b-4ab-c=______ 22222解:a+4b-4ab-c=(a-2b)-c=(a-2b+c)(a-2b-c) 答:应填(a-2b+c)(a-2b-c) 47((河北省)选择题:分解因式x-1的结果为( ) 2222A、(x-1)(x+1) B、(x+1)(x-1) 23C、(x-1)(x+1)(x+1) D、(x-1)(x+1) 答:应选C 28((安徽)分解因式:x-4=____( 答案:(x+2)(x-2) 229((福州)分解因式:x-4y=____( 答案:(x-2y)(x+2y) 小结:初学因式分解的几个问题 因式分解是初二代数中的重要内容，并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中，学习它，既可以培养同学们的观察能力、运算能力，又可以提高同学们综合分析问题、解决问题的能力。转化是本章最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的。本专题重要讲解两个内容，一是因式风解的几点注意事项，二是因式分解的应用。 一、注意事项: 1、因式分解与整式乘法互为逆运算 2(在提公因式时，若各项系数都是整数，所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。 3(如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 4(有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式， 例如:-a-b+c=-(a+b-c); 2n2n2n-12n-1又如:当n为自然数时，(a-b)=(b-a); (a-b)=-(b-a)，都是在因式分解过程中常 用到的因式变换。 225(能运用平方差公式a-b=(a+b)(a-b)分解的多项式，必须是二项式或视作二项式的多项式，且这二项的符号相反， a、b可表示数，亦可表示字母或代数式，每项都能写成数(或式)的完全平方的形式。 2226(能运用完全平方公式a?2ab+b=(a?b)分解的多项式，必须是三项式或视作三项式的多项式，且其中两项符号相同并都能写成数(或式)的完全平方形式，而余下的一项是这两个数(或式)的乘积的2倍。如果三项中的两个完全平方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全平方公式分解因式。 22例1、 把-a-b+2ab+4分解因式。 22解: -a-b+2ab+4 22 =-(a,2ab+b-4) 22 =-[(a-2ab+b)-4] 2 =-[(a-b)-4] =-(a,b+2)(a,b,2) 如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的，以免出错。 n+2n+1n例2、 分解因式(a+b)-2(a+b)+(a+b) n+2n+1n解: (a+b)-2(a+b)+(a+b) n2 =(a+b)[(a+b)-2(a+b)+1] n2 =(a+b)(a+b-1) 本题先运用提取公因式，然后运用完全平方公式 42例3、 分解因式:x,8x+16 42解: x-8x+16 22 =(x-4) 2 =[(x+2)(x-2)] 22 =(x+2)(x-2) 本题注意分解彻底，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 二、因式分解的应用: 将式子化为若干个因式的乘积，这种转换往往能使复杂的运算展开，转换为一次因式中的简单加减运算，从而大大减化运算过程，这是等价转换的数学思想方法。 例1(计算: (1); (2); 2222(3) 202-54+256×352; (4) 621-769×373-148. 222222222222分析:此题中有181-61，319-209;17.5-9.5, 131.5-3.5; 202-54; 621-148.使我们考虑到多项式的乘法公式: 2222(a+b)(a-b)=a-b，它的逆变形是 a-b=(a+b)(a-b) 应用上述变形式，我们就可以将较为复杂的平方运算，降价转化为简单的加、减运算和乘法运算。 解(1): ===. (2): ===. 22 (3) ; 202-54+256×352 =(202+54)×(202-54)+256×352 =256×148+256×352 =256×(148+352) =256×500=128000. 22(4); 621-769×373-148. =(621+148)×(621-148)-769×373 =769×473-769×373 =769×(473-373) =769×100=76900. 通过例1，我们不难得出解此类题目的方法: (1)逆用平方差公式，化平方运算为乘法运算; (2)约分化简或提取因数结合运算求值。 同时，例1也反映出分解因式的方法，在简化运算时的重要性。 例2(求证: 10988(1) 7-7-7=7×41 9876(2) 10+10+10=5×10×222 712(3) 25-5能被120整除 7913(4) 81-27-9能被45整除 分析:根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc，反过来，我们可以 得到 ma+mb+mc=m(a+b+c)。 应用上述结论，能够恰到好处的达到降低次数，解决本例问题的目的。 1098 解(1):? 7-7-7 82=7×(7-7-1) 8=7×(49-8) 8=7×41， 10988?7-7-7=7×41. 987 (2):? 10+10+10 72=10×(10+10+1) 7=10×(100+11) 6=10×10×111 6=5×10×222 9876?10+10+10=5×10×222. 712 (3):?25-5 2712=(5)-5 1412 =5-5 113=5×(5-5) 11=5×(125-5) 11=5×120, 712?25-5能被120整除; 7913 (4):?81-27-9 4739213=(3)-(3)-(3) 282726 =3-3-3 24432=3×(3-3-3) 24=3×(81-27-9) 24=3×45, 7913?81-27-9能被45整除. 通过例2，我们可以看出，解决此类整除问题的主要思路是: (1)提取适当的因数; (2)将提取因数后的其他数的代数和化简，得到我们能够说明问题的结论，从而解决 问题。 22例3(已知a=, b=, 求(a+b)-(a-b)的值。 22解:? (a+b)-(a-b) =[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)] =2a?2b =4ab, 22?(a+b)-(a-b)=4××=. 例4(解方程: 22 (1)(65x+63)-(65x-63)=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78). 解(1):逆用平方差公式，把原方程化为其等价形式 [(65x+63)-(65x-63)][(65x+63)+(65x-63)]=260, 即126×130x=260, ? x=. (2):原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0, 即-78×2×(78x+77)=0, 78x+77=0, ? x=-. 通过例4可见，应用等价转化思想来因式分解，往往可以将较高次的方程，巧妙转化为 最简方程，从而求出方程的根。 48例5((2-1)可以被60与70之间的两个数整除，这两个数是( ) A、61，63 B、61，65 C、63，65 D、63，67 48解:2-1 2424=(2+1)(2-1) 241212=(2+1)(2+1)(2-1) 241266=(2+1)(2+1)(2+1)(2-1) 6? 2+1=65 62-1=63. ? 应选C。