2014高中数学 正态分布典型例题素材 北师大版选修2-3
正态分布
1(正态曲线及其性质
对于正态分布函数:
2,()x,,122,()fx,e
2,, ，x?(-?，+?)
由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点(或计算机中的绘图工具)画出课本图1-4中的图(1)、(2)、(3)，由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
2(标准正态曲线
标准正态曲线N(0，1)是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地
,,(x),p(x,x)00位，已专门制作了“标准正态分布
表
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”。对于抽像函数，课本中没有给出具体的表
x,x0达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N(0，1)、x轴、直线所围成的图形的面积。再由N
,,(x),1,,(x)00(0，1)的曲线关于y轴对称，可以得出等式，以及标准正态总体在任一区间(a，
P,,(b),,(a)b)内取值概率。
3(一般正态分布与标准正态分布的转化
2N(,,,)(x,x)12 由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间的概率
2N(,,,)时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考:能否将一般的正态总体转化成
2N(,,,)标准的正态总体N(0，1)进行研究。人们经过探究发现:对于任一正态总体，其取值小于x
,x,()()Fx,,,的概率。对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个
,x,()()Fx,,2N(,,,),字说明。这表明，对等式的来由不作要求，只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
4(“小概率事件”和假设检验的基本思想
“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识:一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的;二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同.
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想.进行假设检验一般分三步:
2N(,,,) 第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布.
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第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ，μ+3σ).
a,(,,3,,,，3,) 第三步，作出推断.如果a?(μ-3σ，μ+3σ)，接受统计假设;如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处.事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了矛盾，就把这个矛盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明了原命题的结论.
典例剖析:
例1设随机变量ε服从N(0，1)，求下列各式的值:
(1)P(ε?2.55); (2)P(ε<-1.44); (3)P(|ε|<1.52)。
分析:一个随机变量若服从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分
P(x,x),,(x)x,0000布表中只给出了，即的情形，对于其它情形一般用公式:φ(-x)=1-φ(x);
P(x,x),1,P(x,x)00p(a
179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点拨:解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，找出正确的数学表达式;而逆向思维和逆向查表，体现解决问题时思维的灵活性.
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