高三高考数学国步分项分类题及析
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
十
2-8函数与方程、函数模型及其应用
基础巩固强化
1
13x1.(2011?北京东城一模)已知函数f(x),(),x ,在下列区间中,2
含有函数f(x)零点的是( )
111A((0,) B((,) 332
1C((,1) D((1,2) 2
[答案] B
1111
1111113332[解析] f(0),1>0~f(),() ,() >0~f(),() ,() <0~ 323222
11?f()?f()<0~且函数f(x)的图象为连续曲线~ 32
11?函数f(x)在(~)内有零点( 32
[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理~难度不大~但有一定的综合性~要多加强这种小题训练~做题不一定多~但却能将应掌握的知识都训练到(
2((文)(2011?杭州模拟)函数f(x),|x,2|,lnx在定义域内零点的个数为( )
A(0 B(1 C(2 D(3
[答案] C
[解析] 在同一坐标系内作出函数y,|x,2|与y,lnx的图象~?lne,1~e<3~?由图象可见两函数图象有两个交点~?函数f(x)有两个零点(
(理)(2011?陕西)函数f(x),x,cosx在[0,,?)内( )
A(没有零点 B(有且仅有一个零点
C(有且仅有两个零点 D(有无穷多个零点
[答案] B
[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y,x和y,cosx的图象~如图~由于x>1时~y,x>1~y,cosx?1~所以两图象只有一个交点~即方程x,cosx,0在[0~,?)内只有一个根~所以f(x),x,cosx在[0~,?)内只有一个零点~所以选B.
,1,x,,3((文)函数f(x),,sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( ) ,2,
A(1 B(2 C(3 D(4
[答案] B
1,,x,,[解析] 在同一坐标系中作出函数y,与y,sinx的图象~易,2,
知两函数图象在[0,2π]内有两个交点(
x(理)(2011?深圳一检)已知函数f(x),x,2,g(x),x,lnx,h(x),x,x,1的零点分别为x,x,x,则x,x,x的大小关系是( ) 123123
A(x
1~即x>1~从而可23知x1,,32,,,f(x),且当x?[,1,1]时,f(x),x,函数g(x),,x ,2 ,x?1,,
则函数h(x),f(x),g(x)在区间[,5,5]内的零点的个数为( )
A(9 B(8 C(7 D(6
[答案] B
[解析] ?f(x,1),,f(x)~?f(x,2),f(x)~又x?[,1~1]时~
2f(x),x~?f(x)的图象如图所示~在同一坐标系中作出函数g(x)的图
x象~可见y,f(x)(,5?x?5)与y,2(x?1)有5个交点~y,f(x)(,5?x?5)与y,log(x,1)(x>1)的图象有3个交点~?共有8个交点( 3
35((2012?新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中,函数f(x),x,24x,x,4不存在零点的区间是( )
A([0,1] B([1,2]
C([2,3] D([3,4]
[答案] C
[解析] ?f(0),4~f(1),0~f(3),,8<0~f(4),0~f(2),,6~由于在区间[0,1]~[1,2]~[3,4]内都存在零点~故选C.
[点评] 注意~不能由f(2),,6<0~f(3),,8<0~做出判断f(x)在区间[2,3]内无零点(
6.
如图,A、B、C、D是四个采矿点,图中的直线和线段均
表
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示公路,四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形,A、B、C、D四个
采矿点的采矿量之比为6 2 3 4,且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比(现从P、Q、R、S中选一个中转站,要使中转费用最少,则应选( )
A(P点 B(Q点 C(R点 D(S点
[答案] B
[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1~A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)~设s(i,1,2,3,4)表示运矿费i
用的总和~则只需比较中转站在不同位置时s(i,1,2,3,4)的大小(如i
果选在P点~s,6a,2a×2,3a×3,4a×4,35a~如果选在Q点~1
s,6a×2,2a,3a×2,4a×3,32a~如果选在R处~s,6a×3,232a×2,3a,4a×2,33a~如果选在S处~s,6a×4,2a×3,3a×24
,4a,40a~显然~中转站选在Q点时~中转费用最少(
27((2012?江苏)已知函数f(x),x,ax,b(a,b?R)的值域为[0,,?),若关于x的不等式f(x)0且,,c40t~即W>P~ 3
所以使用液化气比使用汽油省钱(
140t(2)?设37.5t,5000,~解得t?545.5~ 3
又t?0~t?N~?t,546.
140t?设40t,5000,~解得t,750. 3
所以~若改装液化气设备~则当行驶天数t?[546,750]时~省出的钱等于改装设备的钱.
能力拓展提升
x311.(文)(2012?天津理)函数f(x),2,x,2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A(0 B(1 C(2 D(3
[答案] B
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性~考查分析问题、解决问题的能力(
x3x2?f(x),2,x,2,00在(0,1)上恒成立~?f(x)在(0,1)上单调递增(
0又f(0),2,0,2,,1<0~f(1),2,1,2,1>0~f(0)f(1)<0~则f(x)在(0,1)内至少有一个零点~
又函数y,f(x)在(0,1)上单调递增~则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点(
[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公
共点个数(
,lnx,2x,6 ,x>0,,,(理)(2011?舟山月考)函数f(x),的零点个数 ,,x,x,1, ,x?0,,
是( )
A(0 B(1 C(2 D(3
[答案] D
[解析] 令,x(x,1),0得x,0或,1~满足x?0,
当x>0时~?lnx与2x,6都是增函数~
?f(x),lnx,2x,6(x>0)为增函数~
?f(1),,4<0~f(3),ln3>0~
?f(x)在(0~,?)上有且仅有一个零点~
故f(x)共有3个零点(
12(某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
2A(y,100x B(y,50x,50x,100
xC(y,50×2 D(y,100logx,100 2
[答案] C
[解析] 观察前四个月的数据规律~(1,100)~(2,200)~(3,400)~(4,790)~接近(4,800)~可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律~故选C.
[点评] 也可以将x,1,2,3,4~依次代入四个选项中~通过对比差异大小来作判断~但计算量比较大(
13(某
流程
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图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )
|x|11A(f(x), B(f(x),, xx22,1
x,xe,e
C(f(x), D(f(x),lgsinx x,xe,e
[答案] C
[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数~并且此函数存在
|x|11零点(经验证:f(x),不存在零点,f(x),,不存在零点,f(x)xx22,1
x,x,xxe,ee,e,的定义域为全体实数~且f(,x),,,f(x)~故此函数x,x,xxe,ee,e
x,xe,e
为奇函数~且令f(x),,0~得x,0~函数f(x)存在零点,f(x)x,xe,e
,lgsinx不具有奇偶性(
x114((文)(2011?山东济宁一模)已知a是函数f(x),2,logx的零2点,若00 D(f(x)的符号不确定 00[答案] B
[解析]
x1分别作出y,2与y,logx的图象如图~ 2
x1当00,,
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为
( )
n,n,1,*A(a,(n?N) n2
*B(a,n(n,1)(n?N) n
*C(a,n,1(n?N) n
n*D(a,2,2(n?N) n
[答案] C
x[解析] 当x?0时~f(x),2,1,当00,
当s>20时~v′<0.
所以当s,20时~v取得最大值(
因此李明向张林要求赔付价格s为20元/吨时~获得最大净收入(
2*16.已知二次函数f(x),ax,bx,c.
(1)若f(,1),0,试判断函数f(x)的零点个数;
1(2)若对x、x?R,且x
证明
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方程f(x),[f(x)12121212
,f(x)]必有一个实数根属于(x,x); 212
(3)是否存在a、b、c?R,使f(x)同时满足以下条件:?当x,,
11时,函数f(x)有最小值0;?对任意实数x,都有0?f(x),x?(x,2
21).若存在,求出a、b、c的值;若不存在,请说明理由( [解析] (1)因为f(,1),0~
所以a,b,c,0~故b,a,c.
222因为Δ,b,4ac,(a,c),4ac,(a,c).
当a,c时~Δ,0~函数f(x)有一个零点,
当a?c时~Δ>0~函数f(x)有两个零点(
1(2)令g(x),f(x),[f(x),f(x)]~ 122
,,f,x,f,x112则g(x),f(x),[f(x),f(x)],~ 111222
,,f,x,f,x121g(x),f(x),[f(x),f(x)],~ 221222
12因为g(x)?g(x),,[f(x),f(x)]<0(f(x)?f(x))~所以g(x),0在1212124
(x~x)内必有一个实根( 12
1即方程f(x),[f(x),f(x)]必有一个实数根属于(x~x)( 12122
24ac,bb(3)假设a、b、c存在~由?得,,,1~,0~即b,2a~2a4a22b,4ac~所以4a,4ac~故a,c.
12由?知对任意实数x~都有0?f(x),x?(x,1).令x,1~得0?f(1)2,1?0~所以f(1),1,0~即a,b,c,1.
a,b,c,1~,,11b,2a~~b,. 由解得a,c,,42 ,,a,c~
11111122当a,c,~b,时~f(x),x,x,,(x,1)~其顶点为(,424244
121,0)满足条件?~又f(x),x,(x,1)~所以对任意x?R~都有0?f(x)4
12,x?(x,1)~满足条件?.所以存在a、b、c?R~使f(x)同时满足2
条件??.
1((2012?昆明一中检测)已知函数f(x),|lg(x,1)|,若a?b,且f(a)
,f(b),则a,b的取值范围是( )
A([4,,?) B((4,,?)
C([2,,?) D((2,,?)
[答案] B
[解析] 解法1:不妨设a2~?f(a),,lg(a,1)~f(b),lg(b,1)~?,lg(a,1),lg(b,1)~
?(a,1)(b,1),1~
?a,b,(a,1),(b,1),2>2,a,1,,b,1,,2,4.
解法2:结合f(x)的图象得,lg(b,1),lg(a,1)~得lg(a,1),lg(b
11,1),0~所以(a,1)(b,1),1~化简得~a,b,ab~即,,1~所ab
11ba,)(a,b),2,,?2,2,4~当a,b时取“,”~而以a,b,(abab
由已知a?b~故选B.
22((2011?温州十校模拟)已知函数f(x),2mx,2(4,m)x,1,g(x),mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( )
A((0,2) B((0,8)
C((2,8) D((,?,0)
[答案] B
[解析] 当m?0时~显然不合题意,当m>0时~f(0),1>0~?
4,m
若对称轴?0即04~只要Δ,4(4,m),8m,4(m,8)(m2m
,2)<0即可~即40,a?1),那么函数f(x)的零点个数是( )
A(0个 B(1个
C(2个 D(至少1个
[答案] D
x[解析] 在同一坐标系中作出函数y,a与y,x,a的图象~a>1时~如图(1)~00~所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数(若存在零点~则
,f,1,,1,a,b?0~,,解得a,1?b?8,2a.因此能使函数在区 ,f,2,,8,2a,b?0~,
间[1,2]上有零点的有:a,1,2?b?10~故b,2~b,4~b,8.a,2,3?b?12~故b,4~b,8~b,12.a,3,4?b?14~故b,4~b,8~b,12.a,4,5?b?16~故b,8~b,12.根据古典概型可得有零点的概
11率为. 16
7((2012?河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f(x),
1,,x?,,?,0],1,x若方程f(x),m,0有且仅有两个实数,
3 ,x,3x,1,x?,0,,?,,
根,则实数m的取值范围是( )
A(,10时~f(x),x,3x,1~1,x
2?f ′(x),3x,3,3(x,1)(x,1)~?00~f(x)单调递增~?f(x)在x,1处取得极小值f(1),,1~?当m,1时~直线y,m与函数f(x)的图象有两个交点~当,18时~在x,a时~矩形面积取最大值u,a(16,a)~在[a,12]上为减函数~故选C.
9((2012?湖南文)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f ′(x)是f(x)的导函数(当x?[0,π]时,00.则函数y,f(x),sinx在[,2π,2π]上的22
零点个数为( )
A(2 B(4 C(5 D(8
[答案] B
[解析] 本题考查函数奇偶性~利用导数研究函数单调性~图象交点个数等(
ππ由x?(0~π)~x?时~(x,)f ′(x)>0知~ 22
π当x?(0~)时~f ′(x)<0~f(x)单调递减( 2
π当x?(~π)时~f ′(x)>0~f(x)单调递增( 2
当x?(,π~0)时~f(x)?(0,1)~且f(x)是最小正周期为2π的偶函数~则画出函数y,f(x)示意图如下:
而y,f(x),sinx的零点个数~即f(x),sinx的根~即y,sinx与y,f(x)图象交点个数(由图象知有4个交点(
10(已知y,x(x,1)(x,1)的图象如图所示,今考虑f(x),x(x,1)(x,1),0.01,则方程f(x),0.
?有三个实根
?当x<,1时,恰有一实根
?当,11时,恰有一实根
正确的有________(
[答案] ??
[解析] ?f(,2),,5.99<0~f(,1),0.01>0~
即f(,2)?f(,1)<0~
?在(,2~,1)内有一个实根~结合图象知~方程在(,?~,1)上恰有一个实根(所以?正确(
又?f(0),0.01>0~结合图象知f(x),0在(,1,0)上没有实数根~所以?不正确(
又?f(0.5),0.5×(,0.5)×1.5,0.01,,0.365<0~f(1)>0.所以f(x),0在(0.5,1)上必有一实根~在(0~0.5)上也有一个实根(?f(x),0在(0,1)上有两个实根(所以?不正确(
由f(1)>0结合图象知~f(x),0在(1~,?)上没有实根~??不正确~由此可知?正确(
11(学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张课桌(已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7,问30名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子),能最快完成全部任务,
[分析] 弄清题意~建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系~转化为求函数的最值问题(
[解析] 设x名工人制课桌~(30,x)名工人制椅子~一个工人在
一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子~所以制作100张课桌所
100需时间为P(x),~ 7x
制作200把椅子所需时间为
20020Q(x),,~ 10,30,x,30,x
完成全部任务所需的时间为
P(x)与Q(x)的最大值F(x)(
为求得F(x)的最小值~需满足
10020P(x),Q(x)~即,~解得x,12.5~ 7x30,x
*考虑到x表示人数~所以x?N.
?P(12)>P(13)~Q(12)F(13)(
所以用13名工人制作课桌~17名工人制作椅子完成任务最快(