基于遗传算法的光综合孔径圆周阵优化

基于遗传算法的光综合孔径圆周阵优化 光学 学报 第 27 卷 第 9 期Vol . 27 ,No . 9 2007 年 9 月 Sep t e mbe r , 2007A C TA O P T ICA S IN ICA () 文章编号 : 025322239 2007092161126 3 基于遗传算法的光综合孔径圆周阵优化 何云 涛江月松 刘广达 ()北京航空航天大学电子信息工程学院 , 北京 100083 摘要 : 从光综合孔径圆周阵列成像的基本原理出发 ,建立了圆周阵列的优化模型 ; 采用改进的实数编码方法对子 孔径阵列位置进行编码 ,运用遗传算法进行子孔径阵列的优化 ;以阵列的 u2v 覆盖点间距最大化及最小冗余度来设 计目标函数 ,实现了 8,16 个子孔径二维圆周阵的优化排列 ; 分析了二维圆周光综合孔径阵列成像系统的点扩展 函数 、光学传递函数和衍射成像的基本原理 ;对优化结果与模拟退火算法的结果进行对比 ,使用仿真成像程序分析 其点扩展函数 ,并与均匀排布的圆周阵列进行对比 。结果表明 ,采用改进的实数编码的遗传算法可以很好地解决 综合孔径阵列优化的问题 ,相对于模拟退火算法 ,该方法的计算时间更短 ,结果更优 。 关键词 : 成像系统 ; 综合孔径 ; 阵列优化 ; 遗传算法 ; u2v 覆盖 ; 实数编码 中图分类号 : T H765 . 1文献标识码 : A Op t i c a l S y n t h e s i s A p e r t u r e Ci r c l e2A r r a y Op t i m i z a t i o n B a s e d o n Ge n e t i c A l g o r i t h m He Yu nt a o J ia n g Yues on g L i u Gua n gda ( )Sc hool of Elect r o n i c I n f o r m a t i o n E n gi nee r i n g , Bei j i n g U n i ve r s i t y of Ae r o n a u t i cs a n d As t r o n a u t i cs , Bei j i n g 100083 A bs t r a c t : An op ti mize d model of ci r cle a r r a y was s e t up f r om t he basic op tical s ynt hesis ap e r t u r e ci r cle2a r r a y i ma gi n g p ri ncip le . The s ub2ap e r t u r es a r r a y was op t i mize d by a dop ti n g ge ne tic al gori t h m wi t h a n i mp r ove d r e al codi ng me t hod codi ng t he loca tion of s ub2ap e r t u r es a r r a y . The obje c ti ve f unc tion w as desi gne d by ma xi mizi ng t he dis t a nces be t w e e n u2v cove r a ge dots a nd mi ni mizi ng r e du nda nt a r r a y . The p oi nt sp r e a d f unc tion , op t ical t r a nsf e r f u nc tion a nd ( ) diff r ac ti ve i ma gi ng of t w o2di me nsional 2D ci r cle a r r a y s ynt he t ic ap e r t u r e i ma gi n g s ys t e m w e r e a nal yze d . The op ti mize d r es ul t of 8,16 s ub2ap e r t ur es on a t w o2di me nsi onal ci r cle a r r a y was obt ai ne d a nd comp a r e d wi t h t he r es ul t by si m ula t e d a n ne ali n g al gori t h m . Usi n g t he e m ulat or p r ogr a m , t he p oi nt sp r e a d f unc tion was a nal yze d a nd cont r as t e d t o t ha t of a unif or m ci r cl e a r r a y . Res ul ts s how t ha t t he i mp r ove d r e al codi n g ge ne tic al gori t h m ca n r es ol ve t he s y nt hesis ap e r t u r e a r r a y op ti miza tion w ell , cos t l ess t i me a nd ge t a n e ve n be t t e r op ti mizati on comp a r e d wi t h si mula t e d a n neali ng al gori t hm . Ke y w o r ds : i ma gi n g s ys t e m ; s y nt hesis ap e r t u r e ; a r r a y op ti mizati on ; ge ne t ic al gori t h m ; u2v cove r a ge ; r e al codi ng 了在实时成像时获得良好的像质 ,除可在后期重构 1 引言 ( ) ( ) 目标像时进行洁化 CL EA N和最大熵 M EM处理光学综合孔径成像系统是用若干个小的子孔径 [ 2 ] 外 ,一个重要的方法就是采用优化算法来实现子 优化排列成一个阵列以综合成一个大的孔径 ,从而 [ 1 ] 孔径阵列的优化排列 ,以获得充分而均匀的 u - v 覆实现高分辨力成像。使用小的子孔径阵列代替传 [ 3,5 ] 盖和最小的空间频率冗余度 。在各种二维阵列 统的大孔径极大地增加了提高分辨力的可能性 。为 中 ,圆周阵列可以实现零冗余度的实时成像优化排 () () 3 武器装备预研基金 9140A21041006 H K0126和武器装备探索项目 2007 年资助课题 。 () 作者简介 : 何云涛 1982 - ,男 ,湖北安陆人 ,博士研究生 ,主要从事综合孔径阵列成像及其相关研究 。 E2mail : tao yunhe @ee. buaa . edu. cn () 导师简介 : 江月松 1959 - ,男 ,江苏淮阴人 ,教授 ,博士生导师 ,主要从事成像信息科学与技术 ,激光空间信息技术 ,红外 光电信息获取与处理技术等方面的研究 。E2mail : yue so ngjia ng @vip . si na . co m 收稿日期 : 2006210225 ; 收到修改稿日期 : 2007201223 [ 6 ] 列。目前较常用的阵列优化计算方法是模拟退火 差或处于非均匀介质中时 ,冗余度是有害的 ,因为这 [ 5 ,6 ] 算法,而使用遗 传算 法来 进 行综 合孔 径阵 列 优 时存在相同的频率却有不同的相位 ,叠加后降低了 ( 化还比 较 少 见 , 本 文 中 将 运 用 遗 传 算 法 Ge netic 条纹的反衬度 ,从而降低了振幅的测量精度 。为了 ) al go rit h ms , GA来进行圆周阵列的优化 。 尽可能降低冗余度甚至实现无冗余 ,计算时还需要 施加惩罚措施 。基于 Co r nwell 等对二维微波综合 作为强有力的且应用广泛的随机搜索和优化方 [ 4,6 ] 孔径阵列优化的方法,将目标函数设计为法 ,遗传算法可能是当今影响最广泛的进化计算方 N i - 1 法之一 ,被广泛应用于自适应控制 、组合优化 、模式 ( )( )= l g d,1 E r, r,, rij 1 2 N ??[ 7 ] i = 1 j = 1 识别 、机器学习 、人工生命等领域。遗传算法使用 2 2) ) v ,( u( j u-j + v- i i 群体搜索技术 ,它通过对当前群体施加选择 、交叉 、 22( )d 变异等一系列遗传操作 ,从而产生出新一代的群体 , = 2 ij( ) ( ) u- u+ v-v εi j i j > 22ε并逐步使群体进化到包含或接近最优解的状态 。编 ? ( ) ) C , u- u( v i j + v-j i 码是应用遗传算法时要解决的首要问题 ,也是设计 ) ( 式中为 第 iri个 子 孔 径 的 坐 标 位 置 , ui , vi 、 [ 7 ,8 ] 遗传算法时的一个关键步骤。在光综合孔径圆 ε ( ) uj , v j 分别为第 i , j 个点的空间频率 u , v , 为根据 周阵列的优化问题中 ,由于子孔径的位置是在圆周 所最小的采样间隔所决定的一个常量 , C 为一个远 π 上的 0,2角度范围内变化 ,使用实数编码的方式 ε小于的正数 , 一般设置为计算软件数据类型所能 可以直接以解空间来表示遗传算法的搜索空间 ,从 达到的最小值 , 其目的是对子孔径排列覆盖点冗余 而提高了计算效率 。本文将所得结果应用点扩展函 施加惩罚 。对于 N 个全同的子孔径组成的阵列 , 每 [ 5 ] 数的分析方法,与均匀排列阵对比 ,以分析遗传算 个子孔径具有相同的权重 , 由于复互相干在 u - v 平 法优化的适用性 ;同时还与参考文献 [ 5 ]中模拟退火 ( ) 面的对称性 , 则无冗余覆盖点最多有 N N - 1+ 1 ( ) 算法 SA A所得的优化结果进行对比 ,分析了其目 个覆盖点 , 且对称的填充整个 u - v 平面 。此外 , 在 标函数差别 。这里的优化结果对光学综合孔径以及 ( ) 应用 1式来实现最低冗余度排列 , 并使点均匀填充 其它波段的综合孔径成像阵列的设计具有重要的参 整个 u - v 平面时 , 还必须加上约束条件 :相邻两个 考价值 。 子孔径之间的最小距离必须大于两子孔径的几何尺 寸 , 这样才能满足实际工程的需要 。 2 综合孔径阵列优化模型 综合孔径的成像基本原理是基于干涉成像 ,根 3 遗传算法在综合孔径阵列优化中的 ( ,归一化互强度 复相干因 据范西泰特2泽尼克定理 应用 ) 子等于光源强度分布的归一化傅里叶变换 ,干涉条 遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优 纹的振幅即为复相干因子的幅度 ,复相干因子的相 ( ) ( P tt 表 示 遗 传 代化算法 。由 个 体 组 成 的 种 群 位值为目标的傅里叶相位 。如果在不同的时间使出 ) 数, 每一个体均代表问题的一个潜在的解 , 每一个 瞳面上的任意两个小口径之间的连线在方向和长度 体都要被评价优劣并得到其适应值 。某些个体要经 上各异 ,或者在同一时间布置很多的小孔径形成长 历称为遗传操作的随机变换 , 由此产生新的个体 , 新 度和方向各异的基线 ,再从众多的干涉条纹中提取 () ( ) 产生的个体 [ 称作后代 off sp ri ngC t] 继续被评价 ( ) 出相位和振幅 , 即得到随空间频率 u , v而变化的 优劣 。从父代种群和子代种群中选择比较优秀的个 复相干函数 ,对复相干函数做一个傅里叶逆变换 ,就 体就形成了新的种群 。在若干代以后 ,算法收敛到 [ 9 ,10 ] 得到了物平面的亮度分布。 一个最优个体 ,该个体很有可能代表着问题的最优 由于像的空间频率与出瞳面内的子孔径矢量间或次优解 。 距之间建 立 了 对 应 关 系 , 因 此 若 有 许 多 矢 量 间 距 对于求函数的最大值的优化问题 ,一般可以表(ΔΔ) x ,y相同的子孔径对 ,它们将产生具有相同空 示成如下形式 :( ) 间频率 u , v的条纹 , 称此情况下孔径阵列系统是 ( )ma x f x ( )3 存在冗余度的 。对于无像差的系统 ,冗余度能增大 n( ) s. t . g X? D 测量的信噪比 ,但不提供新的信息 。当系统存在像 9 期 何云涛等 : 基于遗传算法的光综合孔径圆周阵优化 1613 T ( ( ) ) , 并将新产生的所有个体和, M, x ] 为决 式中 f x为目标函数 , X = [ x1 , x2 , 函数 f i i = 1 , 2 , N n ( ) ( ) 原种群 P t合并 , 组成新的种群 P t; 设变异概率 策变量 , 而 D 为可行解的集合 。由于在综合孔径圆 ( ) 为从 P t中 依 据 适 应 度 函 数 大 小 选 择周阵列中 , 子孔径的位置是由实数组成的 , 为了提高 p, mut M 〃p中较小的个体进行变异 :运算精度和运算效率 , 在运算中采用了实数编码的 mut ( ) ( ) X = R〃X + E- R〃X ,9 i i i N i i 编码方法 。在本文的求解中可以直接将子孔径的坐 π × N 的 对 角 矩 阵 , 对 角 线 上 元 素 为标用角度表示 , 大小限制在 0 , 2的范围内 , 且任 其中 Ri 为 N 意两个子孔径的间距不可以小于孔径的尺寸 , 这使 0 , 1 均匀分布的随机数 , EN 为 N ×N 的单位矩阵 , X 为随机产生的一个可行个体 ; 如 X 不满足限制 得编码和解码过程都被省略了 , 简化了计算过程 。使 i i 条件 , 则重新进行前述变异操作 , 直至满足下限制条 用遗传算法求解的过程如下 : ) ( ) 1种群的初始化 :设置进化代数计数器 t件为止 ; 用 X 替代 X 得到新的种群 P t, 并计算 = 0 ; i i 设置最大进化代数 T ; 使用随机的方式产生 M 个个变异后个体的适应度函数 。 ( ) ) ( ) 6在 P t中依据适应度函数大小选择 M 个较 体 , X1 , X2 , X M , 作为初始群体 P 0。 ) ( ) ( ) 2计算适应度函数 : 本文直接运用 1式作为大的个体作为新的种群 P t + 1, 并判断是否达到 ( ) ) P t中每个个体 X 的适应遗传代数 ; 若否 , 则返回步骤 2。 适应度函数 , 计算群体i ) ( 度函数 f = E X ; 适应度函数全部计算完成后 ,i i 计算概率 :4 阵列优化结果极其成像分析 M 圆周阵列模型及其优化 ( )( )1 , 2 , , M 4 i = p= f f .i i i 4 . 1 ? j = 1 本文以 8,16 个直径为 d = 2 mm 的子孔径分) 3选择运算 :先选择 p中最大的一个个体 , 然 i D = 160 mm 的圆周上为例进行优化计布在直径为 后从剩余的个体中运用旋转赌轮的方法选择一个个 ( ) 算 。基于前述遗传算法 ,运用 1式作为目标函数 ,体 , 将其与 p最大的个体进行交配 ; 再对剩余的没 i 设置遗传代数 T = 200 , M = 50 , p= 0 . 1 。表 1 中 mut 有进行交配的个体重复前述操作 , 如果 M 为奇数 , 给出了子孔径数目从 8 ,16 个时的优化结果 ,每根 则将最后一个与全局最大的个体进行交配 。 天线在圆周上的位置以角度表示 。) )4交叉运算 : 若运用步骤 3中的方法得到的 同时 ,为了更加直观地分析圆周阵列经过遗传 两个配对个体 X , X , 则计算i j ( ) 算法 GA优化后的效果 ,图 1 中给出了由 16 个子 α ) ( )( = f / f + f ,5 i i j 孔径在二维圆周上的均匀分布和优化排列时的 u2v α( α) ( ) = 〃X + 1 - 〃X ,6X j i j 覆盖对比情况 。从图中可得知 :经过优化后的 u2v 点 α( ) ( )X +〃X - X ,7 X = i i j i 明显增多 , 这正是优化计算后降低了冗余度的结果 ; 当 X 或 X 不满足约束条件时 , 以 X 不满足为例 ,i j i 还可看到 , 经优化后的 u2v 覆盖效果较均匀排列时有 运用下式进行迭代运算直至满足约束 :了很大的改善 。 α( ) ( )X 8 = X i +〃X i - X i . i ) 5变异运算 :计算所有产生新的个体的适应度 () ( ) ( ) 图 1 N = 16 圆周阵列均匀分布 a和优化排列 b情况下的 u , v覆盖图 ( ) () ( ) ( ) Fig. 1 The u , vco verage of unifo r m circle a r ray aand bop timized by genetic algo rit hm GAfo r N = 16 表 1 8,16 个子孔径二维圆周阵优化排列后的位置 Table 1 Op timized po sitio ns of 8,16 sub2ap ert ures wit h t wo2dimensio nal circle a r ray N 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 6329 0 . 6207 0 . 8659 0 . 4300 0 . 7054 0 . 6126 0 . 5395 0 . 3051 0 . 3637 1 . 6710 1 . 4780 1 . 3725 1 . 1051 1 . 1338 1 . 0635 0 . 9621 0 . 7087 0 . 9168 2 . 2747 2 . 0966 1 . 8900 1 . 5330 1 . 5635 1 . 4465 1 . 2730 1 . 2182 1 . 1578 2 . 9638 2 . 7153 2 . 7252 2 . 2742 2 . 2690 2 . 0633 1 . 6961 1 . 5456 1 . 6465 4 . 0815 3 . 5729 3 . 4055 2 . 7547 2 . 6204 2 . 4334 2 . 3488 2 . 0733 2 . 1016 4 . 6438 4 . 1904 3 . 7633 3 . 2920 3 . 3333 3 . 0275 2 . 7425 2 . 4433 2 . 3575 Po sitio ns of 5 . 5468 4 . 8095 4 . 5254 3 . 9102 3 . 6514 3 . 4820 3 . 1545 2 . 8341 2 . 7215 sub2ap ert ure 5 . 6685 5 . 2769 4 . 5280 4 . 2765 3 . 8604 3 . 4821 3 . 2151 3 . 2392 ( )rad 5 . 0598 4 . 9003 4 . 4753 3 . 9817 3 . 7532 3 . 6721 5 . 6691 5 . 5481 5 . 2198 4 . 9011 4 . 5486 4 . 0808 3 . 8945 5 . 3913 5 . 0434 4 . 5303 4 . 4454 5 . 9320 5 . 8994 5 . 2764 4 . 9746 4 . 7383 5 . 7655 5 . 2779 5 . 0810 5 . 7837 5 . 5915 6 . 0291 4 . 2 圆周阵光综合孔径系统的点扩展函数 、光学传递函数以及衍射成像 θ半径为 a 的 N 个小孔径分布在半径为 r 的圆周上 ,为第 i 个子孔径的角度 。根据光学成像基本理论 , 由 i ( ) δ该 N 个全同子孔径组成的综合孔径阵列的光瞳函数可以表示为子孔径光瞳函数 振幅与相位与函数阵列 [ 5 , 9,12 ] 的二维卷积, 即N r πδ( θ θ) ( ) ( ) ( )P x , y= ci rc e xp [ - j2W x , y] 3 x - r co s, y -r si n, i i i i 10 ? a i = 1 ( ) ( ( ) ) δ式 中 ci rc r/ a为圆域函数 , W x , y为综合孔径阵的波前像差 , 对于无像差系统 W x , y= 0 。应用函数卷 积的线性特性得到 N 2 2 ( θ) ( θ) x - rco s+ y - rsi ni i i i ( ) ( )P x , y= ci rc, 11 ? ai = 1 ( ) U 振幅扩散函数 h , V 定义为光瞳函数的二维傅里叶变换 , 由卷积性质可得 N 2 2 1/ 2 π( ) 2aJ 1 [ a U + V ]( θ θ) ( )( ) ×e xp [ - j U r i co si+ V r cio s]i 12 , h U , V = 22 1/ 2 ? ( ) U + V i = 1 式中 ππ2x 2y i i ( )13 U = ,V = ,λλ ff ( ) λ13式中 f 为成像系统的焦距 , x i 和 y i 是像平面中的坐标 ,是波长。 由于光频很高 , 实际上像面上探测到的 2 ( ) ( ) 是光强 , 为振幅扩展函数模的平方 : I U , V = h U , V , 即点 扩展 函 数 。由 一 阶贝 塞尔 函数 的 性质 知 2 ( ) π h 0 , 0= Na, 并归一化得 : N - 1 N 2 2 1/ 2 2 θ θ θθ ( ) - +2J [ a U + V ] i l i l1 1 2 22 ) φ ( + V si n co s + co s ( )+ ( ) 2 ri U , 14 S U , V = 22 1/ 2 2 ?? ) ( 2 2 a U + V N N l = 1 i = l +1 ( ) 14式中 UVφ = a rc si n = a rcco s ( ). 15 2 2 1/ 22 2 1/ 2 ) ( ) U + V U + V ( ) () 系统的光学传递函数 O T F是点扩展函数的傅里叶变换 ,对 14式取二维傅里叶变换 + ?+ ? (λ)f = x/ f x ( )( ) ( ) π( ) 16 Tf , f = S U , V e xp [ - j2f U + f V ] dU dVO TF x y x y . (λ)f = y/ f ?? 9 期 何云涛等 : 基于遗传算法的光综合孔径圆周阵优化 1615 θ光强和光学传递函数与子孔径数 N 、子孔径半径 a 、半径 a 、大圆半径 r 、子孔径的位置i 密切相关 。 θ( ) 大圆半径 r 、子孔径的位置密切相关 。设一个非相 4 . 3 优化与非优化阵列的点扩展函数 P S F 比较i ( ) 为了进一步分析遗传算法得到的优化结果 ,下 干辐射的扩展源分布为 O U , V , 通过二维圆周光 ( ) 综合孔径阵衍射后所成的像为 H U , V , 则根据成 面运用 计 算 机 进 行 仿 真 , 分 析 其 点 扩 展 函 数 。取 λ像理论 , 所成的像为目标源与光学系统点扩展函数 a = 1 mm , R = 80 mm ,= 808 nm , f = 300 mm 应用 ( ) 表 1 中的结果 ,比较在圆周上均匀分布和优化分布 S U , V 的卷积 , 因此有 ( ) H U , V = ( ) 的 N = 16 个综合孔径阵列的成像特性 。将图 2 a+ ?+ ? ( ) 和图 2 b相比较 ,显然 ,经优化设计后 ,阵列的点扩 ) ( ) ( )( dU dV , 17 , V S U -U , V - V O U展函数次峰强度明显减小 ,由于通过光综合孔径系 ?? - ?- ? 统所成的像是点扩展函数与实际的目标源的卷积 , ( ) 17式再一次说明所成的像的质量主要取决于系 故经过优化后的成像质量有所提高 。( ) 统的点扩展函数 S U , V , 并与子孔径数 N 、子孔径 () ( ) 图 2 N = 16 时均匀排列 a和用遗传算法优化排列 b后圆周阵列的点扩展函数 () ( )Fig. 2 Point sp read f unctio n of circle a r ray op timized by unifo r m ar ray aa nd genetic algo rit hm b 4 . 4 遗传算法与模拟退火算法优化结果比较 为了说明使用遗传算法也可以很好地解决综合孔径阵列的优化问题 ,将所得到的子孔径阵列优化结果 ( ) () 与参考文献 [ 5 ]中作者运用模拟退火算法 SA A所得的结果进行对比 ,依据 1式计算子孔径数目 N 分别为 8,16 个子孔径在其优化排列时对应的目标函数 ,如表 2 中所示 。 表 2 8,16 个子孔径的模拟退火算法优化与遗传算法优化后的目标函数对比 ( ) ( )Ta ble 2 Co nt ra st of o bjective f unctio n bet ween simulated a nnealing algo rit hm SA Aa nd genetic algo rit hm GA op timizatio n fo r 8,16 sub2ap ert ure s N 8 9 10 11 12 13 14 15 16 SA A 3398 5584 8691 12904 18593 25914 35195 46803 61054 GA 3413 5604 8713 12966 18617 25938 35234 46833 61088 从表 2 中可以发现 : 在相同的子孔径数目下运 5 结论 用遗传算法优化时所得到的目标函数值更大 ,根据 分析了综合孔径阵列优化模型 ,利用实数编码 前述优化模型 ,遗传算法优化后对应的排布结果更 的遗传算法对二维圆周光综合孔径阵列的子孔径位 优 。此外 ,由于模拟退火算法对整个搜索空间的状置进行优化排列 ,依据最小冗余度和均匀分布的原 况了解不多 ,不便于使搜索过程进入最有希望的搜 则设计了优化的目标函数 。对 8,16 个子孔径阵进 索区域 ,这使得模拟退火算法在应用中效率低下 ;而 行优化排列 ,并与模拟退火算法的结果进行对比 ,表 遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息 ,具有并 明了遗传算法的综合孔径阵列优化的实用性 。通过 行性的特点 ,故搜索效率高 ,在优化计算中也相对更 对该二维圆周光综合孔径阵列的点扩展函数与非优 省时间 。 化阵列的对比分析 ,得到遗传算法优化后成像质量 可以显著提高 。本文运用的遗传算法是一种通用的 i n st a nt a neo u s Fo urier pla ne co verage of co r relatio n a r rays [ J ] . 优化算法 ,它可以推广应用到其它类型区域平面上 ( ) I E E E T rans act i ons on A ntennas an d P ro p a g at i on , 1988 , 36 8: (如 Y 型 、T 型 、十字型平面区域甚至有更为复杂边 1165,1167 7 Xi ng Wenxun , Xie J i nxi ng . Mo de rn O p t i m i z at i on A l gori t h ms ) 界的平面区域的综合孔径阵列的优化排列 ,但由于 ( [ M ] . Beiji ng : Tsi nghua U ni ver sit y Pre ss , 1999 . 140 , 192 i n 具体区域的边界形状不同 ,需要对约束条件进行重 )Chi ne se 刑文训 ,谢金星. 现代优化计算方法 [ M ] . 北京 : 清华大学出版 新设定 。本文的结果对实际工程实现有重要的参考 社 ,1999 . 140,192 价值 。8 Wang Fuli n , Wa ng J iqua n , Wu Cha ngyo u et al . . The i mp ro ved re sea rch o n act ual nu mber genetic al go rit h m [ J ] . J . ( ) ()Bi om at he m at i cs , 2006 , 21 1: 153,158 i n Chi ne se 参 考 文 献 王福林 ,王吉权 ,吴昌友 等. 实数遗传算法的改进研究 [ J ] . 生物 1 A . B . Mei nel . Apert ure synt hesi s usi ng i ndep endent t ele scop e ( ) 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 学报 , 2006 , 21 1: 153,158 ( ) [J ] . A p p l . Op t . , 1970 , 9 11: 2501,2504 9 Fa n Weij un , Xia Zhenglia ng , Zho u Bif a ng . Mat he matical mo del 2 A . Richa r d Tho mp so n , J a me s M. Mo ra n , Geo r ge W. 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