切比雪夫不等式证明(完整版）

切比雪夫不等式证明(完整版） 切比雪夫不等式证明 切比雪夫不等式证明 ε} =1-dxε^2 切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{x-exf|取代f，再取如下定义而得: 概率论说法 设x为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k 0， 改进 一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子: 这个分布的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差σ=1k，μ=0。 当只求其中一边的值的时候，有antelli不等式: 证明 定义，设为集的指标函数，有 又可从马尔可夫不等式直接证明: 马氏不等式说明对任意随机变数和正数a有\pra。取=2及a=2。 亦可从概率论的原理和定义开始证明。 第二篇: 切比雪夫不等式的证明 设随机变量x有数学期望?及方差?，则对任何正数?，下列不等式成立 2 ?2 p?x?e2 ? 证明: 设x是离散型随机变量，则事件x?e 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示随机变量x取得一切满足不等式xi?e的可能值xi。设pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得 p?x?e xi?e?pi 这里和式是对一切满足不等式xi?e的xi求和。由于xi?e，即?xi?e?22xi?e，所以有2?2?1。 2?xi?e?又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以? 2，则和式的值将增大。 于是得到 p?x?e xi?e?pi?xi?exi?e22pi?1 ?2xi?exi?e?2pi 因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此 p?x?e1 ?2x?e?i i2pi 上式和式是对x的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以， ?2 p?x?e2 ? 第三篇: 经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 mathang 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 (1) 均值不等式 设a1,a2,?an?0是实数 a?a?a12n ? 111n?+a1a2an 其中ai?0,i?1,2,?n.当且仅当a1?a2?an时，等号成立. n (2)柯西不等式 设a1,a2,?an,b1,b2,?bn是实数，则 ?a 21 22?a2?anb12?b22?bn2?a1b1?a2b2?anbn? 2 当且仅当bi?0或存在实数k，使得ai?kbi时，等号成立. (3)排序不等式 设a1?a2?an，b1?b2?bn为两个数组， 1， 2，?，n是b 1，b2,?，bn的任一排列，则 a1b1?a2b2?anbn?a11?a22?ann?a1bn?a2bn?1?anb1 当且仅当a1?a2?an或b1?b2?bn时，等号成立. (4)切比晓夫不等式 对于两个数组: a1?a2?an，b1?b2?bn，有 a1b1?a2b2?anbn?a1?a2?anb1?b2?bn?a1bn?a2bn?1?anb1 nnnn 当且仅当a1?a2?an或b1?b2?bn时，等号成立. 二 相关证明 (1) 用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明: 由 a1b1?a2b2?anbn?a1?a2?anb1?b2?bn? ? nnn ?n?a1b1?a2b2?anbn?a1?a2?anb1?b2?bn? 而 ?a1?a2?anb1?b2?bna1b1?a2b2?anbn?a1b2?a2b3?anb1?a1b3?a2b4?an b2?a1b4?a2b5?anb3 ?a1bn?1?a2bn?anbn?2 ?a1bn?a2b1?anbn?1 根据“顺序和?乱序和”(在n?1个部分同时使用)，可得 n?a1b1?a2b2?anbn?a1?a2?anb1?b2?bn? 即得 a1b1?a2b2?anbn?a1?a2?anb1?b2?bn? ? nnn 同理，根据“乱序和?反序和”，可得 ?a1?a2?anb1?b2?bn?a1bn?a2bn?1?anb1 ? nnn 综合即证 (2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式” ?证明: 构造两个数列: a1?a2?an n XX?XX1XX ,x2?122,?xn?12nn?1 1121n 1,2,?n?1 x1a1x2a1a2xna1a2?an x1? 其中? .因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和: (((((((((((((((((((((((((((( x11?x22xnn 总是两数组的反序和.于是由“乱序和?反序和”，总有 ((((((((( x1n?x21xnn?1?x11?x22xnn 于是 XX1a2 n?1?1?1 即 a1?a2?an ?n 即证 a1?a2?an ??n a1?a2?an (3)用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式” : ? n证明: 不妨设a1?a2?an， 222 a1?a2?an?a1?a2?ana1?a2?an?a1?a2?an . ? nnnn 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. (4)用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式” n?+a1a2an ? a1?a2?an n 证明: n111?+a1a2an ? a1?a2?an n 1?11 ?+a1a2an?a1?a2?an nn? 111? XXa?12n?a1a2an 1?. n? 不妨设a1?a2?an，则 11 1，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. anan?1a1 ( 5) 用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式 证明: 不妨设a1?a2?an，b1?b2?bn 由切比晓夫不等式，有 a1b1?a2b2?anbn?a1?a2?anb1?b2?bn? ?. nnn 由均值不等式，有 a1?a2?an? nb1?b2?bn? n所以 a1b1?a2b2?anbn ? n 两边平方，即得?a1b1?a2b2?anbna1?a2?an b 22?b2?bn.即证. (6)补充“调和—几何平均不等式”的证明 111 a?a2?ananXX21 证明 ?1中的ai换成. ?1 na inn ?两边取倒数，即得 ?+a1a2an 第四篇: 切比雪夫不等式及其应用 天津理工大学201X届本科毕业论文 切比雪夫不等式及其应用 摘要 切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。尤其在分布未知时，估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式。另外，大数定律是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。如今，在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。作为一个理论工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。 本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论，引出其概率形式，用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。其次，从三大方面阐述了其在概率论中的应用，并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的应用，并且用切比雪夫不等式 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 了irr的概率风险分析。 关键词:切比雪夫不等式大数定律irr the hebster’s inequalit and its appliations abstrat in probabilit theor, the hebshev’s inequalit is one of the important inequalities. in partiular the distribution is unknon, the hebshev’s inequalit is usuall used hen estimating the boundar from above or belo of probabilit. in addition, the la of large numbers is the basis of the limit theor of probabilit. the hebshev’s inequalit is an important a to prove it. no, a series of inequalities that are developed on the basis of the hebshev’s inequalit are a poerful tool for the entral limit theorem. as a theoretial tool, its status is ver high. first, this artile introdues some basi theor of the hebshev’ s inequalit, it raises the hebshev’s inequalit’s form of probabilit and makes a prove for the hebshev’s inequalit ith the method of modern probabilit. furthermore, it gives the neessar and suffiient ondition of the establishment of the equal sign. 天津理工大学201X届本科毕业论文 seondl, e introdues its five appliation in probabilit theor and gives theprove of the hebshev and bernoulli la of large numbers. after the full understanding of the hebshev’s inequalit, finall, e explore its appliation in the life and give the probabilisti risk assessment of the irr ith the hebshev’s inequalit. ke ords: hebshev’s inequalitla of large numbersirr 第五篇: 应用切比雪夫 应用切比雪夫不等式解题 切比雪夫不等式是解决不等式问题的强力武器之一.本文对该不等式 及其应用进行简单的介绍. 一、切比雪夫不等式及其推论 1?ai?bi n 1 ?若a1?a2?an,b1?b2?bn.则有?aibiai?bi(切比雪夫不等式) n ?若a1?a2?an,b1?b2?bn.则有?aibi? 常见的方法是运用排序不等式，但最简单的证法是通过恒等变形. 证明1: ?式左边为顺序和，记为s，则 s?a1b1?a2b2?anbn,s?a1b2?a2b3?anb1, s?a1b3?a2b4?anb2,,s?a1bn?a2b1?anbn? 1.将上面n个式子相加，并按列求和即得结论. ?证明同上(左边反序和不等号反向即可). 证明2: 推论1设xi?r?，实数p,q均不为零.则 ?当p,q同号时，?x i?1 nnp?qi1npnqxixi ni?1i?11npnqxixi. ni?1i?1 ?当p,q异号时，?xi?1p?qi 该推论直接应用切比雪夫不等式即证. 推论2设xi?r?， ns则x?1,r?s?0.x?x?i?i. ?iri?1i?1i?1nnn1nnn1nr?sns1r?snss证明: 事实上，?xixi?xinxixi ni?1ni?1i?1i?1i?1i?1r 推论3设a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn?r且a1?a2?an,b1?b2?bn 或a1?a2?an,b1?b2?bn，mi?r? 则?mmabmamb iiiiiiii i?1i?1i?1i?1nnnn 1nn 证明: 事实上，?mimiaibimiaimibi?mimj?0. 2i?1j?1i?1i?1i?1i?1 推论3是切比雪夫不等式的加权形式.显然，当m1?m2?mn时，就是切 比雪夫不等式. nnnn 注意: 切比雪夫与推论3等号成立的条件均为a1?a2?an,b1?b2?bn中至 少一组成立. 二、切比雪夫不等式的应用 1、构造两组数证明不等式.此类问题最关键、也是最难的步骤就是 构造，选择两组数时往往需要很强的技巧. 例 1、已知0?a?b??d?e,例 2、设xi?r?， n n ?i?1 ad?d?b?be?ea?.求证: . a?1?5 ?x i?1 n i ?1 求证: i?1 例 3、设xi?r?，k? 1. n 1n1nxik?1 求证: ?(201X，女子数学奥林匹克) xik?1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i n 2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往当变量 排序后，分式的值也可以排序.一般的，当分母的值与分式的值都能 排序时，可考虑用这种方法. ak3 ?(第四届中国东南) 例 4、设a,b,?0,ab? 1.求证: 对整数k,? b?2 例 5、设a,b,?0,a?b?? 1.求证: ? 1b?a? 1a ? 27 (201X，塞尔维亚) 31 例 6、 a,b,?0， ?a?b?1? 1.求证: a?b??ab?b?a(201X，罗马尼亚) 12 3、极值问题中的化简作用.在多元极值问题中，恰当地运用切比雪 夫不等式可以将代数式简化，有助于问题的解决. 例 7、给定实数?.求最小的常数m，使得対任意的整数n?2及实数 nnm 1n 只要满足?kak??ak，总有?ak?m?ak，其中，0?a1?a2?an，mn? nk?1k?1k?1k?1 为不超过实数n的最大整数.(201X，中国数学奥林匹克). 例 8、给定正整数r,s,t，满足1?r?s?t，对满足条件 xjxj?1 ?1? s?t 的所j?t ?j?x 有正实数x1,x2,?,xn，求m? n j x j?1 j?1n 的最小值. j 练习题 x33 1、 设x,,z?r?,xz? 1.求证: (第39届imo预选题) 4 (提示: 利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推论) 2、 设设为u，v，正实数，满足条件u?vu 1，试求u+v+的最小值( (201X 第三届女子 五) (提示: 由切比雪夫不等式得 3、 设a,b,?0, u?. ?3 a?a,a?b?求证: ab23?1 1222ba23222(提示: ab?abab由切比雪夫得 a3ab 1222ba122211112 ab?ab?) 3ab9ab9 4、 设k是给定的非负整数.求证: 对所有满足x??z?1的正实数x,,z，不等式 xk?21 xk?1?k?zk7成立，并给出等号成立的条件. (201X塞尔维亚数学奥林匹克) (提示: 当k?0时易证.当k?1时，不妨设x??z，则不难得到 xk?2k?2zk?2?k?1k?k?1k k?1kkkx??z?z?xz?x?k ， xk?1?k?zk?k?1?zk?xk?zk?1?xk?k由切比雪夫及其推论可证) 5、 设x1,x2,?,xn是n个非负实数，且求x1?4x2?nxn的最大值. (提示: 设si? ?x i?1 n i ?n,?ixi?2n?2 i?1 n ?x j?i n j .则x1?4x2?nxn?s1?3s2?sn由切比雪夫得 .所以，最大值为n2?2 n?1 n?2n?2 ,x2?x3?xn?1?0,xn?当x1?n?时，取得等号) n?1n?13s2?sn? (补)在锐角三角形中，证明: ?sinasin2a