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椭圆离心率求法.doc

椭圆离心率求法

李善迁
2017-09-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《椭圆离心率求法doc》,可适用于高中教育领域

椭圆离心率求法离心率的五种求法离心率的五种求法椭圆的离心率双曲线的离心率抛物线的离心率(,e,e,e,ace一、直接求出、求解c已知圆锥曲线的标准方程或、易求时可利用率心率公式来解决。e,acaxy,,x例:已知双曲线()的一条准线与抛物线的准线重合则该双曲线的离心a,,y,a率为()ABCDac,x,y,,x解:抛物线的准线是即双曲线的右准线则x,,,c,c,,cccD解得故选c,a,e,,aF,F,变式练习:若椭圆经过原点且焦点为、则其离心率为()ABCDF,F,解:由、知又椭圆过原点c,,c,a,c,ac,a,ce,,C所以离心率故选c,a变式练习:如果双曲线的实半轴长为焦距为那么双曲线的离心率为()ABCDc解:由题设则因此选Ce,,a,c,c,axyP变式练习:点()在椭圆()的左准线上过点且方向为的Pa,b,,a,,,aby,,光线经直线反射后通过椭圆的左焦点则这个椭圆的离心率为()ABCD解:由题意知入射光线为关于y,,的反射光线(对称关系)为x,y,y,,,x,ac,,e,,a,则解得则故选Ac,c,a,c,,,ace二、构造、的齐次式解出acace根据题设条件借助、、之间的关系构造、的关系(特别是齐二次式)进而得到关于的be一元方程从而解得离心率。第页共页离心率的五种求法xya,,b,FFFFMFF例:已知、是双曲线()的两焦点以线段为边作正三角形,,abMF若边的中点在双曲线上则双曲线的离心率是()ABCD,cMF,解:如图设的中点为则的横坐标为由焦半径公式PPPF,,ex,apcc,,cc,,,,c,,,,a即得解得,,,,,,,,,a,,aa,,,,ce,,D(舍去)故选,axyL,,变式练习:设双曲线()的半焦距为直线过a,,b两点已知原点到c,a,babc直线的距离为则双曲线的离心率为()ABCDabL解:由已知直线的方程为由点到直线的距离公式得bxay,ab,,cabac,a,cab,c又,,两边平方得整理得c,abe,e,cabbe,,,,得或又故选Ae,e,e,,a,be,aaaMFMF,FF变式练习:双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为、则双曲线的离心率为()ABCDM,bF,c,Fc,解:如图所示不妨设则MF,MF,cb又FF,cMFMF,FFcosFMF,,FMF在中由余弦定理得,MF,MFcbcb,cb,c,,即,,bccb第页共页离心率的五种求法,a,,e,故选Bb,c,aa,ce,c,a三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解P例:设椭圆的两个焦点分别为F、F过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若,FPF为等腰直角三角形则椭圆的离心率是。cccce,,,,,,,解:aaPFPFcc四、根据圆锥曲线的统一定义求解xy,,例:设椭圆()的右焦点为F右准线为l若过Fa,,b,ab且垂直于轴的弦的长等于点F到l的距离则椭圆的离心率是xABD解:如图所示FAD,lFl是过且垂直于轴的弦于为到准线的距离根据椭xADABAF圆的第二定义e,,,ADAD变式练习:在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该椭圆的离心率为()ABCDAF解:e,,,AD五、构建关于的不等式求的取值范围ee,,,,,,xcot,,ytan,,,,例:设则二次曲线的离心率的取值范围为(),,,,,,,,,,,,,,ABCD,,,,,,,,,,,,,xcot,,ytan,,另:由得,,a,tan,b,cot,,,,,,,ctancote,,,cot,,c,ab,tan,cot,tana,,,,,,e,,故选D,cot,,e,,,,,第页共页离心率的五种求法ED例:如图已知梯形中点分有向线段AC所成的比为双曲线过、、AB,CDABCD,CEAB三点且以、为焦点(当时求双曲线离心率的取值范围。,,e,ABABy解:以的垂直平分线为轴直线为轴建立如图所示的直角坐标系xDABxoy则轴因为双曲线经过点、且以、为焦点由双曲线CD,yCc,,DC,hEx,yy的对称性知、关于轴对称(依题意记A,c,C,,,,其中为双曲线的半焦距是梯形的高(c,ABhc,,,c,,,xych,,由定比分点坐标公式得,,设双曲线的方程为则离,xy,,ab,cchE,,心率由点、在双曲线上所以将点的坐标代入双曲线方程得e,CCaab,,ch,,,,,E将点的坐标代入双曲线方程得,,,,,,,,ab,,,,cehhe,,,,再将e,、得abb,,eh,,,,,,,,,,,,,b,,,,e,,,,,,将式代入式整理得由题设,,得:,,e,e,解得所以双曲线的离心率的取值范围为,,,,,,e第页共页离心率的五种求法配套练习xyy,x设双曲线,,()的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合a,,b,ab则此双曲线的方程为()xyxyxyxy,,A,,B,,CD,,(已知椭圆的长轴长是短轴长的倍则椭圆的离心率等于()A(B(C(D(xy(已知双曲线,,的一条渐近线方程为则双曲线的离心率为()y,xabABCD(在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该椭圆的离心率为ABCD(在给定双曲线中过焦点垂直于实轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该双曲线的离心率为()ABCDxyABFF,,(如图和分别是双曲线(a,,b,)的两个焦点和是以为圆心以OFOab,FAB为半径的圆与该双曲线左支的两个交点且是等边三角形则双曲线的离心率为()ABCDxyPcFF,设、分别是椭圆()的左、右焦点是其右准线上纵坐标为(为ca,b,ab半焦距)的点且则椭圆的离心率是()FF,FP,,ABCD第页共页离心率的五种求法xyAFAF,(设F、F分别是双曲线,,的左、右焦点若双曲线上存在点使且ab则双曲线离心率为()AF,AFABCDxyFF(已知双曲线,,()的右焦点为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的a,,b,ab右支有且只有一个交点则此双曲线离心率的取值范围是(),,,A,B,C,,D,,xyM(椭圆,()的焦点为F、F两条准线与轴的交点分别为、若xa,b,Nab则该椭圆离心率的取值范围是()MN,FF,,,,,,,,,,A(B(C(D(,,,,,,,,,,,,第页共页离心率的五种求法ca,,答案:由可得abc,,,,,故选D,acc已知椭圆的长轴长是短轴长的倍椭圆的离心率选D。e,,ab,abc,,,,,可得e双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选Aaaxyba,不妨设椭圆方程为(a,b,)则有,,,且c据此求出e,abacxyba,,不妨设双曲线方程为(a,b,)则有据此解得e,选C,,,且cabacxrABFF,,(a,,b,)解析:如图和分别是双曲线的两个焦点和是以为圆心以OabFABOF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点且是等边三角形连接AFAFF=|AF|=c|AF|=c双曲线的离心率为选D。()ac,,caaa,c,,e,,,c由已知P()所以化简得c,(,c)(c)cac(xy,,设FF分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A使FAF=º且|AF|=|AF|ab||||cAFAF,,||||aAFAF,,,设|AF|=|AF|=双曲线中离心率e,选B。xyo,,,,(,)ab双曲线的右焦点为F若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只abbb有一个交点则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率离心率aacab,e=e选Caaxya,,,()abFF||MN,x椭圆的焦点为两条准线与轴的交点分别为若MNabca||FFc,,cMNFF,则该椭圆离心率e选Dc第页共页离心率的五种求法c椭圆离心率的求法e,axyFF的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点直线的倾椭圆方程C:,a,b,A,BlClabAF,FB斜角为,求椭圆的离心率,(焦半径公式PF,aexPF,a,ex的应用左加右减d,kx,x,k为直线的斜率弦长公式)xyFAP椭圆方程的右焦点为,其右准线与轴的交点为,在椭圆上存在点满足C:,a,b,xabbAPF线段的垂直平分线过点,则椭圆的离心率的范围,(焦准距的应用)ca,c若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列则该椭圆的离心率是,(关于的二元二次manacpc,方程解法)FBBFDBF,FD已知是椭圆的一个焦点是短轴上的一个端点线段的延长线交于,且,则CCC的离心率为,(相似三角形性质:对应边成比例的应用)xyFABABy过椭圆C:,a,b,的左焦点,右顶点为,点在椭圆上且轴直线交BF,xabPAP,PB轴于点若则椭圆的离心率为,(相似三角形性质的应用)xyPFFC:,a,b,过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点若xab,FPF,:则椭圆的离心率为,(椭圆焦三角形面积)S,btan(,,FPF)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍则椭圆的离心率,(椭圆基本性质的应用)a,bcxy,椭圆的离心率为(椭圆基本性质的应用)a,bcxyF,FC:,a,b,椭圆的焦点为两条准线与x轴的交点为M,N若MN,FFab则该椭圆的离心率的取值范围是,(椭圆基本性质的应用)a,bcxyPF,FPFC:,a,b,设分别是椭圆的左、右焦点若在其右准线上存在点使线段的abbF中垂线过点则椭圆的离心率的取值范围是,(焦准距垂直平分线性质:垂直平分线上的点到线c第页共页离心率的五种求法段两端距离相等三角形性质:两边之和大于第三边应用)在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该椭圆的离心率为,ba(通径焦准距)acxy已知椭圆的左右焦点分别为F,F若椭圆上存在点P使C:,a,b,ababcac则该椭圆的离心率的取值范围是,(正弦定理第,,,,RsinPFFsinPFFsinAsinBsinC一定义)PFPF,aF在平面直角坐标系中A,A,B,B为椭圆的四个顶点为其右焦点直线AB与直线BF相交于TM点线段与椭圆的交点恰为线段的中点则该椭圆的离心率为,OTOT(直线方程交点坐标)在中AB,BC,cosB,,若以为焦点的椭圆经过点则该椭圆的离心率为,(余A,BC,ABC弦定理第一定义)a,bc,bccosAb已知正方形则以为焦点且过两点的椭圆的离心率为,(通径)A,BC,DABCDa,,a,,MM已知椭圆的焦距为以点为圆心为半径作圆。若过点作圆的两条切线相互垂aP,Oc,,c,,直则该椭圆的离心率为,(基本性质)MF,F已知分别是椭圆的左、右焦点满足的点总在椭圆的内部则椭圆离心率的取MF,MF,值范围是,(圆周角:圆直径所对的圆周角等于)F过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点若则椭圆的离心率为(焦A,BFA,FB:kx,x半径公式弦长公式)已知椭圆的短轴长为焦点到长轴的一个端点的距离等于则椭圆的离心率为,椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上则此椭圆的离心率为,AB,BF,F已知椭圆的短轴的上下端点分别为左右焦点分别为长轴右端点为若则椭圆的离心率为(向量坐标加减)FAFBFB,xyFC:,a,b,若以椭圆的右焦点为圆心a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两ab第页共页离心率的五种求法a点则该椭圆的离心率的取值范围是,(焦准距)cxyB已知点为椭圆的左准线与轴的交点若线段的中点在椭圆A,bC:,a,b,xCab上则该椭圆的离心率为,xy若斜率为的直线与椭圆C:,a,b,有两个不同的交点且这两个交点在轴上的xlabb射影恰好是椭圆的两个焦点则该椭圆的离心率为,(通径)aFAB,BF,已知两点分别是椭圆的左顶点和上顶点而是椭圆的右焦点若则椭圆的A,BCC离心率为,(两直线垂直有k,k,,)第页共页

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