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首页 高考第一轮复习数学:10

高考第一轮复习数学:10.4 排列与组合的综合问题 2

高考第一轮复习数学:10

李高情
2019-05-13 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考第一轮复习数学:10doc》,可适用于高中教育领域

排列与组合的综合问题●知识梳理排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思维是“先组,后排”解排列组合的应用题,要注意四点:()仔细审题,判断是组合问题还是排列问题要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步()深入分析、严密周详,注意分清是乘还是加,既不少也不多,辩证思维,多角度分析,全面考虑,这不仅有助于提高逻辑推理能力,也尽可能地避免出错()对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决()由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备,有无重复或遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看是否相同在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏或重复●点击双基(年福建,理)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排名,则不同的安排方案种数为AACBACCAADA解析:将名学生均分成两组,方法数为C,再分配给个年级中的个,分配方法数为A,∴合要求的安排方法数为C·A答案:B从名学生中选出名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为ABCD解析:若不含A,则有A种若含有A,则有C·C·A种∴AC·C·A=答案:D本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少本,不同分法的种数为ABCD解析:先把本书中的两本捆起来(C),再分成四份(A),∴分法种数为C·A=答案:B从,,,中任取个数字,从,,,,中任取个数字组成没有重复数字的四位数,其中能被整除的四位数共有个(用数字作答)解析:①四位数中包含和的情况:C·C·(AA·A)=②四位数中包含,不含的情况:C·C·A=③四位数中包含,不含的情况:CCA=综上,四位数总数为=答案:市内某公共汽车站有个候车位(成一排),现有名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有个连续空座位的候车方式共有种(用数字作答)解析:把四位乘客当作个元素作全排列有A种排法,将一个空位和余下的个空位作为一个元素插空有A种排法∴A·A=答案:●典例剖析【例】从名短跑运动员中选人参加×m接力,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛方法解法一:问题分成三类:()甲、乙两人均不参加,有A种()甲、乙两人有且仅有一人参加,有C(AA)种()甲、乙两人均参加,有C(AAA)种故共有种解法二:六人中取四人参加的种数为A,除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有CA种,因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A减去了两次故共有ACAA=种评述:对于带有限制条件的排列、组合综合题,一般用分类讨论或间接法两种方法处理【例】对某种产品的件不同正品和件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止若所有次品恰好在第次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能解:C(CC)A=,第次必测出一次品,余下件在前次被测出,从件中确定最后一件品有C种方法,前次中应有正品、次品,有CC种,前次测试中的顺序有A种,由分步计数原理即得评述:本题涉及一类重要问题,即问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后排列思考讨论用类似的方法,讨论如下问题某种产品有件不同的正品,件不同的次品,现在一件件地进行检测,直到件次品全部测出为止,则最后一件次品恰好在第次检测时被测出,这样的检测方案有多少种提示:问题相当于从件产品中取出件的一个排列,第位为次品,前五位有其余件次品,可分三步:先从件产品中留出件次品排第位,有种方法再从件正品中取件,有C种方法再把件次品和取出的件正品排在前五位有A种方法所以检测方案种数为×C·A=【例】在一块并排垄的田地中,选择垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于垄,则不同的种植方法共有多少种解:依题意,A、B两种作物的间隔至少垄,至多垄()间隔垄时,有×A种()间隔垄时,有×A种()间隔垄时,有A种所以共有AAA=种种植方法【例】有两排座位,前排个座位,后排个座位,现安排人就座,规定前排中间的个座位不能坐,并且这人不左右相邻,那么不同排法的种数是ABCD解法一:分类讨论法()前排一个,后排一个,C·C=()后排坐两个(不相邻),(…)=()前排坐两个,·(…)=个∴总共有=个解法二:考虑中间三个位置不坐,号座位与号座位不算相邻∴总共有A=个答案:B评述:本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用这是一道难度较大的小综合题●闯关训练夯实基础从黄瓜、白菜、油菜、扁豆种蔬菜品种中选出种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植不同的种植方法共有A种B种C种D种解析:∵黄瓜必选,故再选种蔬菜的方法数是C种,在不同土质的三块土地上种植的方法是A∴种法共有C·A=种答案:B四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法种数为AAABCACCADCCC解析:个球放入个盒子,则有一个盒子要放两个球,故CA答案:B书架上原有本书,再放上本,但要求原有书的相对顺序不变,则不同的放法有种解析:分三步,每步各有,,种放法,共有××=种答案:(年浙江,文)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳个单位,经过次跳动质点落在点(,)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有种(用数字作答)解析:记向左跳一次为,向右跳一次为,则只要次和为,质点一定落在(,),所以只需个“”,个“”即可,从次中挑出一次取“”,结果数为C=,故质点运动方法共有种答案:在一张节目表上原有个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,求共有多少种安排方法解法一:添加的三个节目有三类办法排进去:①三个节目连排,有CA种方法②三个节目互不相邻,有A种方法③有且仅有两个节目连排,有CCCA种方法根据分类计数原理共有CAACCCA=种解法二:从结果考虑,排好的节目表中有个位置,先排入三个添加节目有A种方法,余下的六个位置上按个节目的原有顺序排入只有一种方法故所求排法为A=种解法三:AA=评述:插空法是处理排列、组合问题常用的方法培养能力人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作,有两位老年男人不在推选之列,共有种不同选法,问这个团中男女各几人解:设这个团中有男人x人,则有女人x人,根据题意得Cx·Cx=解得x=∴这个团中有男人,女人(理)如下图,矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分,现用五种不同色彩给四部分涂色,每部分涂种颜色,要求共边的两部分颜色互异,共有多少种不同的涂色方法ABCD解法一:依题意,给四部分涂色,至少要用两种颜色,故可分成三类涂色:第一类,用种颜色涂色,有A种方法第二类,用种颜色涂色,选种颜色的方法有C种在涂的过程中,选对顶的两部分(A、C或B、D)涂同色,另两部分涂异色有C种选法种颜色涂上去有A种涂法共C·C·A种涂法第三类,用两种颜色涂色选颜色有C种选法A、C与B、D各涂一色有A种涂法共C·A种涂法所以共有涂色方法AC·C·AC·A=种解法二:区域A有种涂色法区域B有种涂色法区域C的涂色法有类:若C与A涂同色,区域D有种涂色法若C与A涂不同色,此时区域C有种涂色法,区域D也有种涂色法所以共有×××××=种涂色法(文)只不同的试验产品,其中有只次品,只正品,现每次取一只测试,直到只次品全测完为止求第只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种分析:这个问题实际上可以看成是有约束条件的“选”排列主要约束条件是第个位置上的限定考查对这类问题的“选”模型的转化解:优先考虑第五次(位置)测试这五次测试必有一次是测试正品,有C种只次品必有一只排在第五次测试,有A种那么其余只次品和一只正品将在第至第次测试中实现,有A种于是根据分步计数原理有CAA种评述:CA是本题的错解,原因是这样排正好有可能正品出现在第五次测试探究创新有点难度哟!名运动员分到所学校去做教练,每校至少人,有多少种不同的分配方法分析:人员分配有两类:,,,或,,,解法一:先取人,后取位子,,,:人中先取人有C种取法,与剩余人分到所学校去有A种不同分法,∴共CA种分法,,,:人中取人、人、人、人的取法有C·C·C种,然后分到所学校去,有AAA种不同的分法,共C·C·C·AAA种分法所以符合条件的分配方法有CAC·C·C·AAA=种解法二:先取位子,后取人,,,:取一个位子放个人,有C种取法,人中分别取人、人、人、人的取法有C·C·C·C种,∴共有C·C·C·C·C种,,,:先取个位子放(其余个位子放)有C种取法,人中分别取人,人,人,人的取法有C·C·C·C种,共有C·C·C·C·C种所以符合条件的分配方法有C·C·C·CC·C·C·C=种●思悟小结解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个基本原理作最后处理对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏对于选择题的答案要谨慎选择,注意等价答案的不同形式处理这类选择题可从分析答案形式入手,采用排除法错误的答案,都是犯有重复或遗漏的错误●教师下载中心教学点睛对排列、组合的应用题应遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类二是按事件发生的过程进行分步对于有附加条件的排列组合应用题,通常从三个途径考虑:()以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素()以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置()先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列或组合数关于排列、组合问题的求解,应掌握以下基本方法与技巧()特殊元素优先安排()合理分类与准确分步()排列、组合混合问题先选后排()相邻问题捆绑处理()不相邻问题插空处理()定序问题排除法处理()分排问题直排处理()“小集团”排列问题先整体后局部()构造模型()正难则反,等价转化拓展题例【例】()一条长椅上有个座位,个人坐,若相邻人之间至少有个空椅子,共有几种不同的坐法()一条长椅上有个座位,个人坐,要求个空位中,恰有个空位相邻,共有多少种不同的坐法解:()先将人(用×表示)与张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了张椅子,还有张空椅子,一是分开插入,如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从个空当中选个插入,有C种插法二是张同时插入,有C种插法,再考虑人可交换有A种方法所以,共有A(CC)=(种)下面再看另一种构造方法:先将人与张空椅子排成一排,从个位置中选出个位置排人,另个位置排空椅子,有AC种排法,再将张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有种插法,所以所求的坐法数为A·C=()可先让人坐在个位置上,有A种排法,再让个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入个人形成的个“空当”之间,有A种插法,所以所求的坐法数为A·A=【例】已知<m<n,m,n∈N*,求证:(m)n>(n)m证法一:由二项式定理(m)n=CnmCnm…Cnnmn,(n)m=CmnCmn…Cmmmn,又因为Ciinm=!Aiimin,Ciimn=!Ainiim,而Ainmi>Aiimn,所以Cnm>Cnm,Cmn>Cmn,…,Cmmnm>Cmmmn又因为Cmn=Cnm,Cmn=Cnm,所以(m)n>(n)m证法二:(m)n>(n)mnln(m)>mln(n)mm)ln(>nn)ln(令f(x)=xx)ln(,x∈,∞,只要证f(x)在,∞上单调递减,只要证f′(x)<f′(x)=)ln()ln(xxxxx''=)()ln()(xxxxx当x≥时,xlg(x))(x<,x(x)>,得f′(x)<,即x∈,∞时,f′(x)<以上各步都可逆推,得(m)n>(n)m

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