均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称性

均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称性 均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称 性 第18卷第4期苏州大学(自然科学) 2o02年10月————基墨!』竖Q!』!』型l匹曼2; 文章编号:1000-2073(2002)04-0062—05 均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称性 陈钢 (苏州大学理学院物理系,江苏苏州215006) 摘要:指出热力学关系具有勒让德变换的对偶对称性.根据对偶关系给出热力学变量的 对偶变换表,并给出完整的对偶变换 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 . 关键词:勒让德变换;对偶对称性;热力学关系 中图分类号:0414文献标识码:A 1勒让德变换和热力学关系 由两个变数描写的均匀体系勒让德变换为 (Yl,y2)=(Xl,X2)+xlyl+x2Y2(1) 且有 蓑一,薏一,,=Y2 勒让德变换对置换(,Yl,y2)甘(一,戈l,戈2)保持不变,置换式中对应的变量为对偶量,勒让 德变换具有对偶对称性.均匀系热力学关系可以从热力学第一定律的基本形式经勒让德变 换导出,这种对偶对称性必然也表现在按照数学展开的热力学形式中. 热力学基本方程勒让德变换: dU=TdS—pdV,dH=TdS+Vdp, dF=一SdT—pdV,dG=一SdT+Vdp(3) U+G=F+H 特性函数的一阶偏导(状态参量为(p,,,.s)): T:aUT : aHS : (5=() p=(=(p=(=()r(4) ? 收稿日期"-2002—04—10 作者简介:陈钢(1958一),男,浙江杭州人,硕士,副教授,主要从事基础物理教学. 第4期陈钢:均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称性 :.1 a(P,)一 特性函数的二阶混合偏导(第一类响应函数为(a,,1,)): ==一 ()=(8T1= 02H = (8V) ,=() = 筹=(舅)r=(a==一(嚣)r:(8V)(5) p8sa1 + 特性函数的二阶偏导(第二类响应函数为(争,了Cv,kV,s)): Cv == (一上 asVp~,一 上 ksV=一=(一一,'一一一(卉)s = 糍=(塑上,:等一aV)=asVcp8S8SaVp~s一一p一'一一ap2_..p =一 券=(蓦)=一as,一1=一c92F=()r:一aV(6) 拿=一豢=(筹)=a,一kV=02G—a.Pv)r=一aV . %/T —— kyv cv/T一s 展开关系具有非常明显的规律性,同类函数具有完全对称的结构形式.为了准确地表现热力 各热力学响应函数用宗量表示.例如,宗量aV,而不是用单学关系展开式的对称性, 纯变量 a表示,这样更符合对称性和数学上的简洁性. 热力学关系的展开式形成逻辑链,由热力学函数(U,G,F,日)开始,经过求导数得到各 类函数口由(一(p,5)一,,)一(拿,cv,kV,s),而 蚤詈=1Jacobi关系),常+asV=1~.[icp//T=三个式子像链条的节点,使同类函数 "归一". 上述展开在数学上已经穷尽了热力学关系的所有基本表达式,其它进一步的关系只不 过是所有这表式的涫化结果. 2对偶变量的变换和对偶表 经笔者数年分析排列,热力学量可以恰当地放进一张表中,称为对偶表(见图1). 利用 对偶表可以方便准确地对热力学关系式进行对偶置换. 2.1对偶表的对偶对称轴 对偶表中有三条实线轴规定为(0l,02,03),两条虚线轴规定为(?l,?2),其中Ol~02, ?l和 ?2对称轴在对偶图上直接画出,03对称轴为过对偶表中心垂直于对偶表的轴(如 图2所示). 苏州大学(自然科学)第l8卷 II-I 争 . \ 图1对偶表 niln :;;::',,, 图2对偶对称轴 2.2对偶变换规则 根据不同对称轴变换的规则:01,02变换,以轴为对称,两边相对的量互换.例如: dU=TdS—pdVdU=TdS—pd — dU=pdV—TdSdG=Vdp— SdT 03变换,以轴为对称,对顶角的量互换,例如: dU=TdS—pdV — dG=SdT—Vdp 111和?2变换,以轴为对称,取表中各量的正值互换,完成后,对盯l改变的符号,对 玎2 第4期陈钢:均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称性 改变的符号.例如: dU=TdS—pdVdU=TdS—pd ?ll?l 对称量互换dF,SdT—pdVdH,TdS—Vdp 取或的反号dF=一SdT—pdVdH:TdS+Vdp 由上述变换可以看出,利用热力学关系的对偶性,可以从任一个式子经变换而得到它的 对偶关系式.对偶表的给出是热力学关系对偶对称性最直接的证据. 3对偶变换的意义 热力学关系之间存在着对称线索.根据对偶变换,热力学关系分为"可变式"和"不变式" 两类,对于"可变式",均匀系每一个正确的热力学关系存在着四种对偶式,它们之间不是相互 独立的."不变式',的例子有U+G:F+?,:1,+:1~Cp/T:. 0t,p'y,PPay乙V/』I~S 同类函数具有对偶性,而不同类函数之间没有对偶关系,各类函数对偶变换表明, 以不 同的层次形式出现在对偶表中,"层次"表现各类函数不同的热力学性质.对偶关系表明对 偶式之间有共同的过程方式和响应方式,过程关系"同构",在方法上可以类比. 利用对偶变换减少推导过程.可以从某一式出发,经对偶变换而方便地得到它的所有对 偶式,前述所有展开关系都可以用对偶变换的方式一一得到验证. 利用对偶变换可以快速给出一些推导较为复杂的关系的对偶关系式.例如,四个麦克斯 韦关系式是对偶变换的典型,从任一式出发,利用最简化的对偶图经对偶变换得出: 3S) r=(), 一 ()=(3T) s, (飘=( 一 (耠=(飘 如TdS:]Y~ff=,由s=cdT+()d,即dS=TdT +()d,可以不经推导,只做变换而得到 (D1)d=一Vdp+(3T)sds, (D2)dp:一-~VdV+(3S)rd, (D3)d=t. ds+()dp, puL】' (?-)一d=一 V ds+(d) C' (?2)ds=争d一3V)pdp, \// . / l {l 苏州大学(自然科学)第l8卷 一 一 CpCV'asVpfls 一 上一 监 kVksV''asV 特别是在计算涨落时,求出温度的二次项平均值(?):(】ic),其中】ic是统计的玻 CV 耳兹曼能量项,与对偶变换无关.对此结果经对偶变换即得 (AT)2:(), CV (?p)=()(一):()s (=((一kv)=(((?S)=(kr)(孝)= 具有对偶性的热力学关系,展现了优美的对称形式.热力学对偶关系还包含着其它 意 义,有待进一步发现. 参考文献: [1]王竹溪.热力学[M].北京:高等教育出版社,1983. [2]郑军,陈钢.布里奇曼热力学关系表的快速做法[J].南昌大学,1998,22(3):250— 252. [3]钟万勰.应用力学对偶体系[M].北京:科学出版社,2o02. [4]阿诺尔德BN.常微分方程续论——常微分方程的几何方法[M].北京:科学出版 社,1989. [5]秦家桦.经典力学[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1993. [6]戈德斯坦H.经典力学[M].北京:科学出版社,1986. Legendretransformationdualsymmetryofthermodynamicrelations CHENGang (D印t.0fPhys.,SchoolofSe1.,SuzhouUniv.,Suzhou215006,China) Abstract:ThedualsymmetryofLegendretransformationisstudied.Onthebasisboththechar tand theruleofdualtransformationhavebeenmadeandappliedtodealwiththermodynamicrelatio ns. Keywords:I.egendretransformation;dualsymmetry;theme,dynamicrelations (责任编辑:周建兰) == 一一?一 对 是