第三章导数练习题及答案指数对数的导数

第三章导数练习题及答案指数对数的导数 求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数: 221(;2(; y,log(2x，3x，1)y,lnx，12 sin(ax，b)3x3(; 4( y,ey,acos(2x，1).分析:对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 之外，还需要考 虑应用复合函数的求导法则来进行(求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的 真数位置转化为有理函数的形式后再求导数( 2解:1(解法一:可看成复合而成( y,lnu,u,v,v,x，1 1,112,,,,y,y,u,v,,v,(2x)xuvx2u 1,1122 (1)2,,x，,x 221x， xx .,,2221x，x，1,x，1 ,122,,解法二: ,,y,lnx，1,(x，1)2x，1 1,11222,,,(x，1),(x，1)22x，1 111x2.,,,x,2222x，1x，1x，1 122y,lnx，1,ln(x，1)解法三:， 2 ,xx111222,,y,x，,,,x，,,,,ln(1)(1). 222x，x，x，221211 22(解法一:设，则 y,logu,u,2x，3x，12 1,,,y,y,u,,loge,(4x，3) xux2u ,ex，,elog(43)log22,x，,(43). 22x，x，x，x，231231 ,loge222,,,,log(231)(231)y,x，x，,,x，x，解法二: 222x，3x，1 ex，elog(43)log22,,x，,(43). 22x，x，x，x，231231 u3(解法一:设，则 y,e,u,sinv,v,ax，b u,,,,y,y,u,u,e,cosv,axuvx sin(ax，b) ,acos(ax，b),e ,,sin(ax，b)sin(ax，b),解法二: ,,,,yeesin(axb),,,， sin(ax，b),,e,cos(ax，b),(ax，b) sin(ax，b),acos(ax，b),e 3x,,4( [cos(21)]y,ax， 3x3x,,,(a)cos(2x，1)，a,[cos(2x，1)] 3x3x,,,a,lna,(3x)cos(2x，1)，a[,sin(2x，1)](2x，1) 3x3x,3alna,cos(2x，1),2a,sin(2x，1) 3x,a[3lna,cos(2x，1),2sin(2x，1)]. 说明:深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关 键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知 识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境( 解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把 解题思路放开( 变形函数解析式求导 例 求下列函数的导数: 321,xx，x，2y,lny,(1); (2); 2x,x，11，x 2sinxy,x,x,6(3); (4)( y,(tanx) 分析:先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量( 32x，x，x2y,,x，，2.解:(1) 22x,x，x,x，11 22x,x，1,x(2x,1),x，1,y,1，,1，( 2222(x,x，1)(x,x，1) 1y,[ln(1,x),ln(1，x)](2)， 2 ,，x，,x1111111,,,y,,,,, .,,2,x，x,x，xx,2112(1)(1)1,, sinxln(tanx)(3) y,e sinxln(tanx),, e[sinln(tan)]y,xx ，，1sinx xxxx,(tan)cosln(tan)，sin,,,xxtan(tan)，， ,，，sinx,,sinx,, ,(tan)cosln(tan)，cosxxx,,cos,,,,，， 2，，cosx,sinx(,sinx)sinx ,cosx(tanx)ln(tanx)，,,cosx，， 1，，sinx ,xxx，cos(tan)ln(tan).,,xcos，， 2,,x，x，6, x,,2,3,,,,(4) y,,2,x,x,6, x,[,2,3]., ,2x，1, x,(2,3),,,y, ,2x,1, x,(,,,,2):(3,，,)., ,当时不存在( x,,2,3y P(x)说明:求(其中为多项式)的导数时，若的次数不小于y,P(x)、Q(x)P(x)Q(x)Q(x) 的次数，则由多项式除法可知，存在，使(从而S(x)、R(x)P(x),Q(x)S(x)，R(x)P(x)R(x),S(x)，，这里均为多项式，且的次数小于的次数(再S(x)、R(x)R(x)Q(x)R(x)Q(x) 求导可减少计算量( 对函数变形要注意定义域(如，则定义域变为，所y,lg(x,1),ln(x，1)x,(1,，,) 112x1,x，,y,ln以虽然的导数与的导数y,ln(x,1)，ln(x，1)2x,1x，1x,11，x1，x1,x1，x,(1，x),(1,x)2x,,,,结果相同，但我们还是应避免这种解法( ,,221,x1，x1,x(1，x)x,1,, 函数求导法则的综合运用 例 求下列函数的导数: 22x21(;2(; y,(x,2x，3),ey,x1，x x3x,23y,3(;4( .y,2x，3,x1 分析:式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系(对于这种结构形式的函数， 可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决(但必须注 意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误( 122y,x,x，1解:1(取y的绝对值，得，两边取寻数，得 lny,lnx，lnx，1.2根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得 2112x2x，1,， ,y,，,22yx2(x，1)x(x，1) 222x，x，x，2121212,y,y,,xx，,,? 1.222xx，xx，(1)(1)x，1 2(注意到，两端取对数，得 y,0 22x2 lny,ln(x,2x，3)，lne,ln(x,2x，3)，2x. 22,1(x,2x，3)2x,22(x,x，2),? ,y,，2,，2,222yx,2x，3x,2x，3x,2x，3 222(x,x，2)2(x,x，2)22x,y,,y,,(x,2x，3),e? 22x,2x，3x,2x，3 22x ,2(x,x，2),e. 3(两端取对数，得 lny,ln3x,2,ln2x，3， 两端对x求导，得 ,,1(3x,2)(2x，3)32,,y,,,,y3x,22x，33x,22x，3 13 ,.(3x,2)(2x，3) 4(两端取对数，得 1lny,(lnx,ln1,x)， 3 两边对x求导，得 111,111, ,y,(,),.y3x1,x3x(1,x) x1113,? y,,,y,.x,xx,x,x3(1)3(1)1 说明:对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用(从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果(解决这类问题常见的错误是不注意是关于xlny的复合函数( 指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决(