泛函分析试题A评分标准

泛函分析试题A评分标准泛函分析试题A评分标准莆期末考试试卷参考答案及评分标准 2010—2011学年第 1学期 (A)卷课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》 (((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) 1、如果对于任意给定的正数，存在正数，使对X中一切满足,,0, %的，成立dTxTx(,),, dxx(,),,x00 Txcx,2、...

泛函分析试题 A评分标准莆期末考试试卷参考答案及评分标准 2010—2011学年第 1学期 (A)卷课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》 (((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) 1、如果对于任意给定的正数，存在正数，使对X中一切满足,,0, %的，成立dTxTx(,),, dxx(,),,x00 Txcx,2、对于任意常数，总存在一个，使得 xX,c000 3、若该范数可由内积导出构成内积空间，且按照该范数成为一个Banach 空间， 4、 spanMX, fX,'fxfxn()()0(),,,,5、存在对于任意xX,，都有， n 二、计算题(20分) 11ll叙述空间的定义，并求上连续线性泛函全体所成的空间。 ,,,1答:(1) lxRi(,,),,(1,2),,,,LL,,,,,,,,,,ii12i1,,, (2)对于任意，，定义运算 x,(,,,),,,LLy,(,,),,,LL12n12n ， xy，,，，，(,),,,,,,Laxaaa,(,),,,L1122nn12n 1l按上述加法与数乘运算成为线性空间试卷第 1 页共 4 页 , x,,(3) ,i1i,1 1按上述定义的范数构为Banach空间 ………….6分 l n xxe,,(,,0,0,),,,,,LLen,,(0,01,0),1,2LLL令， ,12nnnniin,1i '1xx,lim则能被表示为，对任意给定， ,,,xl(,),,,LLfl,，，n121nn,,n nn fxfxfxfe()(lim)lim()lim(),,,,,,,令则. fen(),1,2,,,L,,nniiiinn,,,,,,nnn11,,ii ,,,,fefef()又因为e,1对于有。 ,iiiii1 ,由此可得即 ………….7分 (,),,,LL,lsup,,fi12ni 1,fx()l反之，对，作上泛函如下: ,,,bl(,),,,LL12n n11fxxl(),(,),,,,,,,,,LLfl，显然是上线性泛函，又因为 ,12iin,1i ,,, fxx()sup.sup,,,,,,,,,,,, ,,,iiiiiii1ii111iii,,, 1'1',因此，并且有综上 …………7分 fb,,sup.,fl,(),().ll,i,i 三、证明题(共65分) C[0,1][0,1]xyC,[0,1],1、(14分)设表示闭区间上连续函数全体，对任何，令 1(,)xd证明成为度量空间。 dxyxtytdt(,)|()()|,,,,0 ,,xyC,[0,1],dxy(,)0,,xtytt()(),[0,1],,,证:由定义，对于显然且如果显然 dxy(,)0,,dxy(,)0,,|()()|0,xtyt,,反之如果因为所以由于xtytae()(),..[0,1],,于xtyt(),(),,0,为连续函数，若，,t[0,1],使得xtyt()(),,则存在使得在(,)[0,1]tt,，,,,00000 试卷第 2 页共 4 页 xtyt()(),,xtytae()(),..,xtytt()(),[0,1].,,区间上，均有这与相矛盾，所以………….10分 ,,xyzC,,[0,1],此外，对于 111 dxzxtztdtxtytdtytztdtdxydyz(,)|()()||()()||()()|(,)(,),,,,，,,，,,,000 (,)xd即三点不等式成立。因此成为度量空间。 …………………………….4分 nnnRR||||||x,,||||max||x,,2、(12分)证明按范数组成的赋范线性空间与按范数X,iiii,1 Y组成的赋范线性空间共轭。 ’'XYT证:定义到的映射，任意其中 fXTffefe,,,((),,()),Ln1 n xe,, 对任意， ein,,(0,,0,1,0,0),1,2,,LLL,iiii,1 nn Tfx=， fxfefe()()()max,,,,,,iiii,,11ii fTf,于是。 …………………….5分 nn'xe,,fx(),,,,yY,,,,,,,L反之，对任意定义:对任意， fX,，，,,iiii1ni,1i,1 ’XTfy,TY则。因此是从到上的映射。 y,(0,,0)Lf,0Tff,,0若，则显然，则 n xe,(sign),x,1若令，则。 y,,(,,)(0,,0),,,LL,ii1ni,1 n’X,,,yTf.ffx,()Tff,.TY因此=从而于是是从到的同构映射，在同,ii,1 ’XY构的意义下=。 ……………………7分试卷第 3 页共 4 页 ,3、(15分)设是可分Banach 空间，是中的有界集，证明中每个点列含有 MXMX 一个弱*收敛子列。证: 设存在设是的可数稠密子集.考察有界数fM,,KfKn,,,0,,1,2,.LxX,,,,nnn ,,fxfx()().,fx().列由Weierstrass定理，存在收敛子列同理也有收敛fx().,,,,,,,,n11,11nn1,2nn1,n1, ,,fx()子列.一般地，若已有子列收敛，考察.由于数列的有界性fx()fx().,,,,,,2,2nknk,knk,1，n1n1,, ,可找到收敛子列 ………….8分 fx()KK,,knk1,1，，n1, ,,f我们用对角线法则,取泛函列,在稠密子集x上点点收敛.事实上,ff,,,,,,,,,kk,nkkn,n1,k1, ,,,,由定义,对任意,是收敛的，而是的子列，因此也是收敛fx()ffx()fi,,,,,,,,ini,kk,in,kki,n1n1kik1,,,,ffx的，在上点点收敛,即弱*收敛。 ………….7分 ,,,,,,kk,kk,n MM4、(12分)设H是内积空间，为H的子集，证明在H中的正交补是H中的闭线性子空间。 ,证:对于 ,,,,,,aRxyMzM,,,, xyzxzyz，,，,,,,0,axzaxz,,0,,,则 ,MH因此为的线性子空间。 …………………….5分 ,,MMlim.xx,x,另外，对于任意中的聚点，即存在由中互异的点组成的点列使得 x,,nn,,n ,xM,由内积的连续性，可知即, xzxzxz,lim,lim,0,,,,nn,,,,nn ,MH因此为的闭线性子空间。. ……………………7分 TTXX5、(12分) 若为Banach 空间上的无界闭算子，证明的定义域至多只能在中稠密。 TX证:反证法。若为定义在整个空间上的闭算子， …………………….5分 TXXXX由于为闭集，而为Banach空间，由闭图像定理可知，为到的有界闭算子， T这与为无界闭算子矛盾，原命题成立。 …………………….7分试卷第 4 页共 4 页

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