质数·合数·质因数分解
质数?合数?质因数分解
1.(1)用2、3、4、5中的三个数码能组成哪些三位质数,
(2)求用1、2、4、5、8中的三个数码能组成的最大三位质数。
2.两个质数的和是39,求这两个质数的积。
3.A、B、C为三个质数,A+B=16,B+C=24,且A
分析
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24,23×3.
323 2的约数:1,2,2,2共4个.
3的约数:l,3共2个.
根据乘法原理,24的约数个数为:
(3,1)×(1,1),4×2,8.
这8个约数为:l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为:
1,2,4,8,3,6,12,24
,(1,2,4,8),3×(1,2,4,8)
,(1,2,4,8)×(1,3)
23 ,(1,2,2,2)×(1,3)
,15×4,60.
3 解 24,2×3.
(3,1)×(1,1),8.
23 (1,2,2,2)×(1,3),15×4,60.
答:24有8个约数,这些约数的和是60. 问题17.2 有8个不同约数的自然数中,最小的一个是多少, 分析 8,2×4,2×2×2.因此,约数个数是8的自然数,有三种类型:P71、P1
×P32、P1×P2×P3,其中P1、P2、P3是不同的质数.
解 8,2×4,2×2×2.
73 ?2,128,3×2,24, 2×3×5,30.
?有8个约数的最小自然数为24.
问题17.3 分别判断103、437是质数还是合数.
分析 对于一个不很大的自然数N(N,1,N为非完全平方数).可用下面方法去判断它是质数还是合数:
2 先找出一个大于N的最小的完全平方数K,再写出K以内的所有质数;若这些质数都不能整除N,则N是质数;若这些质数中有一个质数能整除N,则N为合数.(请同学们想想这其中的道理)
2 103,11.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103,故103是质数. 解
2 437,21.而21以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19.
?437?19,23, ?437是合数.
问题17.4 将下面八个数分成两组,使这两组数各自的乘积相等.
14,33,35,30,75,39,143,169.
分析 把八个数分成两组后,应使每组数的乘积所含的质因数一样.
解 把已知的八个数分解质因数:
14,2×7,33,3×11.
35,5×7,30,2×3×5.
2 75,3×5,39,3×13,
2 143,11×13,169,13.
2 ?14×75,35×30,2×3×5×7,
2 39×143,33×169,3×11×13,
?分成的两组为:
,169,33,35,30,与,39,143,75,14,
或,169,33,75,14,与,39,143,35,30,. 问题17.5 一个数是5个2、3个3、2个5、1个7
的连乘积,这个数的两位数的约数中,最大的是几,
532分析 设这个数为N,则 N,2×3×5×7.两位数中的最大数为99,其它数依次
为98,97,….那么可以从两位数中最大的数开始找.
532 解 N,2×3×5×7.
2 99,3×11,不是N的约数.
2 98,2×7,不是N的约数.
97是质数,不是N的约数.
5 96,2×3,是N的约数.
所以,所求最大的两位数的约数是96.
问题17.6 有这样的质数,它分别加上10和14仍
为质数,你会求这个质数吗,
分析 从最小的质数开始找,可以很快地找到3是符合条件的质数,还有没有符
合条件的别的质数呢,没有.
解 因为3,10,13,3,14,17,所以3是符合条件的质数.
因为2,10,12,2,14,16,所以2是不符合条件的质数.
我们将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n,1、3n,2(n?1的整数)这三类.因为(3n,1),14,3×(n,5)不是质数,(3n,2),10,3×(n,4)不是质数,而3n仅当n,1时才是质数.
所以,3是唯一符合条件的质数.
问题17.7 在乘积
1000×999×998×…×3×2×1 ?
中,末尾连续有多少个零,
分析 不必真的算出这个乘积,而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2×5,10,所以末尾的零只能由乘积?中的质因数2与5相乘得到.因此,只需计算一下,把乘积?分解成质因数的连乘积以后,有多少个质因数2,有多少个质因数5,其中哪一个的个数少,乘积?的末尾就有多少个连续的零. 解 先计算?中的质因数5的个数.
在1,2,…,1000中有200个5的倍数,它们是:5,10,…,1000.在这
2200个数中,有40个能被25,5整除,它们是25,50,…,1000.在这40个数
3中,有8个能被125,5整除,它们是125,250,…,1000.在这8个数中,有
41个能被625,5整除,它是625.所以,?中的质因数5的个数等于200,40,8,1,249.
而?中的质因数2的个数,显然多于质因数5的个数.所以,乘积1000×999×998×…×3×2×1中,末尾连续有249个零.
问题17.8 把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边,得到一个四位数,它能被这两个质数之和的一半整除.试求出所有这样的质数对.
分析 先利用已知条件,求出这两个质数之和.
所以198x能被x,y整除.又因为x是质数,所以198能被x,y整除,即x,y是198的约数.因为x与y均为两位数质数,所以一定是两位奇数,从而x
列举出198的两位或三位偶数约数: ,y一定是两位或三位偶数.
198,66,18.
因为198与18都不能写成两个两位数质数之和,所以不符合题目要求.而66,13,53,19,47,23,43,29,37,故符合题目要求的质数对为:
(13,53)、(19,47)、(23,43)、(29,37).
问题17.9 在101与300之间,只有3个约数的自然数有几个, 分析 只有3个约数的自然数必是质数的平方,反之亦然.
解 在101至300之间的平方数:
2222222 11、12、13、14、15、16、17.
222 其中11、13、17是质数的平方,它们分别只有3个约数.
所以,只有3个约数的自然数有3个,即121、169、289. 问题17.10 新河村农民用几只船分三次运送405袋化肥.已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋.问每次应有多少只船,每只船载多少袋化肥,(每只船至多载50袋)
分析 因为每只船载的化肥袋数相等,且分三次把405袋化肥运完,所以每次运送105袋.又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积,即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数.所以只要把105分解质因数.就可以求出船数和每只船载的化肥袋数.
解 105,3×5×7.
因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋,所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况:
(1)用3只船,每只船载35袋化肥.
2)用5只船,每只船载21袋化肥. (
(3)用7只船,每只船载15袋化肥.
(4)用15只船,每只船载7袋化肥.
(因为每只船至多载50袋,故每次不能用1只船载105袋.)
练习17
1.72有多少个约数,这些约数的和等于多少,
2.求不大于200的只有15个约数的所有自然数.
3.分别判断107、493是质数还是合数.
4.有学生3496人,分成人数相等的小组参加劳动,每组人数限定在20以上,40以下,求每组人数及可分的组数,
5.一个人买了2元1角6分钱的铅笔,如果一支铅笔的价格少1分,那么他可以用这些钱多买3支铅笔.问他原来可以买几支铅笔,
6.一个自然数可以分解为3个质因数的积,果这3个质因数的平方和为39630,求这个自然数.