高等代数题库

《高等代数》精品课试题库 《高等代数》试题库 1、 选择题 1．在 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。 ．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式 2．设 是 的一个因式，则 （ ）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是 （ ）。 . 若 ； .集合 是数域； .若 没有重因式； ．设 重因式，则 重因式 4．整系数多项式 在 不可约是 在 上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要 ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。 .如果 ，那么 .如果 ，那么 .如果 ，那么 ，有 .如果 ，那么 6． 对于“命题甲：将 级行列式 的主对角线上元素反号, 则行列式变为 ；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立； . 甲不成立, 乙成立； .甲, 乙均成立； ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含 ； ． 在 中, 8．设 ， 为 的代数余子式, 则 =( ) 。 . . . ． 9.行列式 中，元素 的代数余子式是（ ）。 ． ． ． ． 10．以下乘积中（ ）是 阶行列式 中取负号的项。 . ； . ； ． ； . 11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式 中取负号的项。 . ； . ； ． ； . 12. 设 阶矩阵，则正确的为（ ）。 . . ． . 13. 设 为 阶方阵， 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与 等值的是（ ） . . ． . 14. 设 为四阶行列式，且 ，则 （ ） . . ． . 15. 设 为 阶方阵， 为非零常数，则 （ ） . . ． . 16.设 ， 为数域 上的 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。 . ； . ； ． ； . 17. 设 为 阶方阵 的伴随矩阵且 可逆，则结论正确的是（ ） . . ． . 18.如果 ，那么矩阵 的行列式 应该有（ ）。 . ； . ； ． ； . 19.设 , 为 级方阵, , 则“命题甲： ；命题乙： ”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立； . 甲不成立, 乙成立； ．甲, 乙均成立； .甲, 乙均不成立 20.设 为 阶方阵 的伴随矩阵，则 （ ）。 . . ． . 21.若矩阵 ， 满足 ，则（ ）。 . 或 ； . 且 ； ． 且 ； .以上结论都不正确 22.如果矩阵 的秩等于 ，则（ ）。 .至多有一个 阶子式不为零； .所有 阶子式都不为零； ．所有 阶子式全为零，而至少有一个 阶子式不为零； .所有低于 阶子式都不为零 23.设 阶矩阵 可逆 ， 是矩阵 的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。 . ； . ； ． ； . 24. 设 为 阶方阵 的伴随矩阵，则 =（ ） . . ． . 25.任 级矩阵 与( , 下述判断成立的是( )。 . ； . 与 同解； .若 可逆, 则 ； ． 反对称, - 反对称 26.如果矩阵 ,则 （ ） . 至多有一个 阶子式不为零； .所有 阶子式都不为零 ． 所有 阶子式全为零，而至少有一个 阶子式不为零； ．所有低于 阶子式都不为零 27. 设 方阵，满足 ，则 的行列式 应该有 （ ）。 . . ． . 28. 是 阶矩阵， 是非零常数，则 ( )。 . ； . ； ． . 29. 设 、 为 阶方阵，则有（ ）. . ， 可逆，则 可逆 . ， 不可逆，则 不可逆 ． 可逆， 不可逆，则 不可逆 . 可逆， 不可逆，则 不可逆 30. 设 为数域 上的 阶方阵，满足 ，则下列矩阵哪个可逆（ ）。 . . ． 31. 为 阶方阵， ，且 ，则（ ）。 . ； . ； ． ； . 32. ， ， 是同阶方阵，且 ，则必有（ ）。 . ； . ； ． ． 33. 设 为3阶方阵，且 ，则（ ）。 . ； . ； ． ； . 34. 设 为 阶方阵， ，且 ，则（ ）. . . 或 ． . 35. 设矩阵 ，则秩 =（ ）。 ．1 ．2 ．3 ．4 36. 设 是 矩阵，若（ ），则 有非零解。 . ； . ； ． . 37. ， 是 阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。 . 且 ； . ； ． 或 ； . 38. 设 为 阶方阵，且 ，则 中（ ）. .必有 个行向量线性无关 .任意 个行向量线性无关 ．任意 个行向量构成一个极大无关组 .任意一个行向量都能被其他 个行向量线性表示 39. 设 为 矩阵， 为 矩阵， 为 矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。 . . ． . 40.设 是 阶方阵，那么 是（ ） . 对称矩阵； . 反对称矩阵； ．可逆矩阵； .对角矩阵 41.若由 必能推出 （ 均为 阶方阵），则 满足( )。 . . ． . 42.设 为任意阶 可逆矩阵， 为任意常数，且 ，则必有 （ ） . . ． . 43. ， 都是 阶方阵，且 与 有相同的特征值，则（ ） . 相似于 ； . ； ． 合同于 ； . 44. 设 ，则 的充要条件是（ ） . ； （B） ； ． . 45. 设 阶矩阵 满足 ，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ） . . ． . 46. 设 阶方阵 满足 ，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） . ； . ； ． . 47. 设 为 阶方阵，且 ，则 中（ ）. .必有 个列向量线性无关； .任意 个列向量线性无关； ．任意 个行向量构成一个极大无关组； .任意一个行向量都能被其他 个行向量线性表示 48.设 是 矩阵，若（ ），则 元线性方程组 有非零解。 . . 的秩等于 ． . 的秩等于 49. 设矩阵 ， 仅有零解的充分必要条件是( ). . 的行向量组线性相关 . 的行向量组线性无关 ． 的列向量组线性相关 . 的列向量组线性无关 50. 设 , 均为 上矩阵, 则由( ) 不能断言 ； . ； .存在可逆阵 与 使 ． 与 均为 级可逆； . 可经初等变换变成 51. 对于非齐次线性方程组 其中 ，则以下结论不正确的是（ ）。 .若方程组无解，则系数行列式 ； .若方程组有解，则系数行列式 。 ．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解； .系数行列式 是方程组有惟一解的充分必要条件 52. 设线性方程组的增广矩阵是 ，则这个方程组解的情况是（ ）. .有唯一解 .无解 ．有四个解 .有无穷多个解 53. 为 阶方阵, ，且 ，则 （ ）。 . ； . ； ．齐次线性方程组 有非 解； . 54. 当 （ ）时，方程组 ，有无穷多解。 ．1 ．2 ．3 ．4 55. 设线性方程组 ，则（ ） .当 取任意实数时，方程组均有解。 .当 时，方程组无解。 ．当 时，方程组无解。 .当 时，方程组无解。 56. 设原方程组为 ，且 ，则和原方程组同解的方程组为( )。 . ； . （ 为初等矩阵）； ． （ 为可逆矩阵）； .原方程组前 个方程组成的方程组 57. 设线性方程组 及相应的齐次线性方程组 ，则下列命题成立的是（ ）。 . 只有零解时， 有唯一解； . 有非零解时， 有无穷多个解； ． 有唯一解时， 只有零解； . 解时， 也无解 58. 设 元齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩为 ，则 有非零解的充分必要条件是（ ）。 . . ． . 59. 维向量组 线性无关的充分必要条件是（ ） .存在一组不全为零的数 ，使 . 中任意两个向量组都线性无关 ． 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 . 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ） .线性相关； . 线性无关； ．线性相关或线性无关； .不一定 61．设 为任意非零向量，则 （ ）。 .线性相关； .线性无关； ． 线性相关或线性无关； ．不一定 62. 维向量组 线性无关， 为一 维向量，则（ ）. . ， 线性相关； . 一定能被 线性表出； ． 一定不能被 线性表出； .当 时， 一定能被 线性表出 63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组 线性无关， 可由 线性表出，则向量组 也线性无关；（3）设 线性无关，则 也线性无关；（4） 线性相关，则 一定可由 线性表出；以上说法正确的有（ ）个。 .1 个 .2 个 ．3 个 .4个 64．（1） 维向量空间 的任意 个线性无关的向量都可构成 的一个基；（2）设 是向量空间 中的 个向量，且 中的每个向量都可由之线性表示，则 是 的一个基；（3）设 是向量空间 的一个基，如果 与 等价，则 也是 的一个基； （4） 维向量空间 的任意 个向量线性相关；以上说法中正确的有（ ）个。 .1 个 .2 个 ．3 个 .4个 65． 设向量组 线性无关。 线性相关，则（ ）。 . 线性表示； . 线性表示； ． 线性表示； . 线性表示 66.设向量组Ⅰ（ ），Ⅱ（ ）则必须有（ ）。 .Ⅰ无关 Ⅱ无关； . Ⅱ无关 Ⅰ无关； .Ⅰ无关 Ⅱ相关； .Ⅱ相关 Ⅰ相关 67．向量组 : 与 : 等价的充要条件为（ ）. . ； . 且 ； ． ； . 68．向量组 线性无关(( ) 。 . 不含零向量； . 存在向量不能由其余向量线性表出； ．每个向量均不能由其余向量表出； ．与单位向量等价 69.已知 则 . ； . ； ． ； . . 70. 设向量组 线性无关。 线性相关，则（ ）。 . 线性表示； . 线性表示； ． 线性表示； . 线性表示 71．下列集合中，是 的子空间的为（ ），其中 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.3 ． EMBED Equation.3 . 72． 下列集合有（ ）个是 的子空间； ； ； ； ； 73．设 是相互正交的 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。 . ； . ； ． ； . .1 个 .2 个 ．3 个 .4个 74. 是 阶实方阵，则 是正交矩阵的充要条件是（ ）。 . ； . ； ． ； . 75．（1）线性变换 的特征向量之和仍为 的特征向量；（2）属于线性变换 的同一特征值 的特征向量的任一线性组合仍是 的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式； （4） 的非零解向量都是 的属于 的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。 .1 个 .2 个 ．3 个 . 4个 75. 阶方阵 具有 个不同的特征值是 与对角阵相似的（ ）。 .充要条件； .充分而非必要条件； ．必要而非充分条件； .既非充分也非必要条件 76. 对于 阶实对称矩阵 ，以下结论正确的是（ ）。 .一定有 个不同的特征根； . 正交矩阵 ，使 成对角形； ．它的特征根一定是整数； .属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 77. 设 都是三维向量空间 的基，且 ，则矩阵 是由基 到（ ）的过渡矩阵。 . . ． . 78. 设 ， 是相互正交的 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。 . . ． . 2、 填空题 1．最小的数环是 ，最小的数域是 。 2．一非空数集 ,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。 3．设 是实数域上的映射， ，若 ，则 = 。 4．设 ，若 ，则 = 。 5.求用 除 的商式为 ，余式为 。 6．设 ，用 除 所得的余式是函数值 。 7．设 是两个不相等的常数，则多项式 除以 所得的余式为____ 8．把 表成 的多项式是 。 9．把 表成 的多项式是 。 10．设 使得 EMBED Equation.3 ，且 ， EMBED Equation.3 ， ，则 。 11．设 使得 =____。 12．设 使得 =___。 13. 若 ，并且 ，则 。 14. 设 ，则 与 的最大公因式为 。 15. 多项式 、 互素的充要条件是存在多项式 、 使得 。 16. 设 为 ， 的一个最大公因式, 则 与 的关系 。 17. 多项式 的最大公因式 。 18. 设 。 ，若 ，则 ， 。 19．在有理数域上将多项式 分解为不可约因式的乘积 。 20．在实数域上将多项式 分解为不可约因式的乘积 。 21. 当 满足条件 时，多项式 才能有重因式。 22. 设 是多项式 的一个 重因式，那么 是 的导数的一个 。 23. 多项式 没有重因式的充要条件是 互素。 24．设 EMBED Equation.DSMT4 的根，其中 ，则 。 25．设 EMBED Equation.DSMT4 的根，其中 ，则 = 。 26．设 EMBED Equation.DSMT4 的根，其中 ，则 。 27．设 EMBED Equation.DSMT4 的根，其中 ，则 = 。 28. 按自然数从小到大为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 次序，排列 的反序数为 。 29．按自然数从小到大为标准次序，排列 的反序数为 。 30．排列 的反序数为 。 31．排列 的反序数为 。 32．排列 的反序数为 。 33．排列 的反序数为 。 34. 若 元排列 是奇排列，则 _____, _______。 35. 设 级排列 的反数的反序数为 ，则 = 。 36. 设 ,则 。 37. 当 ， 时，5阶行列式 的项 取“负”号。 38. 。 39． 。 40． 。 41． 。 42. _________________。 43． ________________。 44. ， _________________。 45. , 则 ______________________。 46. 设 两两不同, 则 的不同根为 。 47. =______________。 48． , ，则 = 。 49. 设行列式 中，余子式 ，则 ＝__________。 50. 设行列式 中，余子式 ，则 ＝__________。 51. 设 ，则 。 52行列式 的余子式 的值为 。 53.设 ， ,则 ____________。 54．设 ， ,则 ____________。 55．设 ， ,则 ____________。 56. 设 ， ，则 ＝_____________。 57. 设 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ＝_____________。 58．设矩阵 可逆，且 ，则 的伴随矩阵 的逆矩阵为 。 59．设 、 为 阶方阵，则 的充要条件是 。 60．一个 级矩阵 的行（或列）向量组线性无关，则 的秩为 。 61. 设 、 都是可逆矩阵，若 ，则 。 62. 设 ，则 。 63. 设 ，则 。 64. 设矩阵 ，且 ,则 。 65. 设 为 阶矩阵，且 ,则 ______________。 66. ,则 ________________。 67. ,则 ________________。 68. 已知 其中 ，则 _________________。 69. 若 为 级实对称阵，并且 ，则 = 。 70. 设 为 阶方阵，且 ，则 ， ， 的伴随矩阵 的行列式 。 71. 设 ， 是 的伴随矩阵，则 = 。 72. 设 ， 是 的伴随矩阵，则 = 。 73. ____________。 74. 设 为 阶矩阵，且 ,则 ____________。 75. 为 阶矩阵， ，则 =（ ）。 76. 设 ,则 ____________。 77. 是同阶矩阵， 若 ,必有 ，则 应是​​​ _____。 78. 设 ，则 的充要条件是 。 79.一个齐次线性方程组中共有 个线性方程、 个未知量，其系数矩阵的秩为 ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。 80.含有 个未知量 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。 81.线性方程组有解的充分必要条件是 。 82. 方程组 有解的充要条件是 。 83. 方程组 有解的充要条件是 。 84. 是 矩阵，对任何 矩阵，方程 都有解的充要条件是_______。 85．已知向量组 ， ， ， ，则向量 。 86.若 ，则向量组 必线性 。 87.已知向量组 ， ， ， ，则该向量组的秩是 。 88. 若 可由 唯一表示, 则 线性 。 89. 单个向量 线性无关的充要条件是_____________。 90. 设 为 维向量组, 且 ，则 。 91. 个 维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 92.已知向量组 线性无关，则 _______。 93. 向量组 的极大无关组的定义是___________。 94. 设 两两不同, 则 线性 。 95.二次型 的矩阵是____________. 96. 是正定阵，则 满足条件__________________。 97 . 当 满足条件 ，使二次型 是正定的。 98. 设 阶实对称矩阵 的特征值中有 个为正值，有 为负值，则 的正惯性指数和负惯性指数是 。 99. 相似于单位矩阵，则 = _______________。 100. 相似于单位阵， 。 101. 矩阵 的特征值是____________。 102. 矩阵 的特征值是____________。 103. 设 为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 。 104. 满足 ，则 有特征值______________________。 105. 设 阶矩阵 的元素全为 ，则 的 个特征值是 。 106. 设矩阵 是 阶零矩阵，则 的 个特征值是 。 107. 如果A的特征值为 ，则 的特征值为 。 108. 设 是 的任意向量，映射 是否是 到自身的线性映射 。 109. 设 是 的任意向量，映射 是否是 到自身的线性映射 。 110. 若线性变换 关于基 的矩阵为 ，那么线性变换 关于基 的矩阵为 。 111. 对于 阶矩阵 与 ，如果存在一个可逆矩阵U,使得 ，则称 与 是相似的。 112.实数域R上的n阶矩阵Q满足 ，则称Q为正交矩阵。 113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。 114. 复数域 作为实数域 上的向量空间，则 _____，它的一个基为____。 115. 复数域 作为复数域 上的向量空间，则 ____，它的一个基为_____。 116. 复数域 作为复数域 上的向量空间，则 ___________。 117. 设 是数域 上的3维向量空间， 是 的一个线性变换， 是 的一个基， 关于该基的矩阵是 ， ，则 关于 的坐标是____________。 118. 设 是向量空间 的一个基，由该基到 的过渡矩阵为___________________。 119. 设 是向量空间 的一个基，由该基到 的过渡矩阵为__________。 120. 设 与 都是 上的两个有限维向量空间，则 。 121. 数域F上任一 维向量空间都却与 。（不同构，同构） 122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。 123. 令 是数域 上一切满足条件 的 阶矩阵 所成的向量空间，则 = 。 124. 设 为变换， 为欧氏空间，若 都有 ，则 为 变换。 125. 在 。 126. 在欧氏空间 里 的长度为__ _ __。 127. 在欧氏空间 里 的长度为_________。 128. 设 是欧氏空间，则 是正交变换 。 129. 设 ，则在 = 。 三、计算题 1.把 按 的方幂展开. 2．利用综合除法，求用 去除 所得的商及余式。 ， 。 3．利用综合除法，求用 去除 所得的商及余式。 ， 。 4.已知 ,求 被 除所得的商式和余式。 5.设 ，求 的最大公因式 。 6．求多项式 与 的最大公因式． 7. 求多项式 ， 的最大公因式 ，以及满足等式 的 和 。 8.求多项式 ， 的最大公因式 ，以及满足等式 的 和 。 9.令 是有理数域，求出 的多项式 ， 的最大公因式 ，并求出 使得 。 10. 令 是有理数域，求 的多项式 的最大公因式。 11. 设 ， ，求出 ，使得 。 12.已知 ，求 。 13.在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积。 14. 应该满足什么条件，有理系数多项式 才能有重因式。 15.求多项式 的有理根。 16.求多项式 的有理根。 17．求多项式 的有理根。 18.求多项式 的有理根。 19.求多项式 的有理根。 20.求多项式 的有理根。 21.求一个二次多项式 ，使得： 。 22.问 取何值时，多项式 ， 有实根。 23.用初等对称多项式表示 元对称多项式 。 24.用初等对称多项式表示 元对称多项式 。 25.请把 元对称多项式 表成是初等对称多项式的多项式。 26.求行列式 的值。 27.求行列式 的值。 28.求行列式 的值。 29.求行列式 的值。 30.求行列式 的值。 31.求行列式 的值。 32.求行列式 的值。 33.求行列式 的值。 34.把行列式 依第三行展开然后加以计算。 35.求行列式 的值。 36.求行列式 的值。 37.求行列式 的值。 38.求行列式 的值。 39.计算 阶行列式 40.计算 阶行列式 41. 计算 阶行列式 42. 计算 阶行列式 43. 计算 阶行列式 44. 计算 阶行列式 45. 计算 阶行列式 46.计算 阶行列式 47.计算 阶行列式 ( ) 48.计算 阶行列式 (其中 ) 49.计算 阶行列式 50.计算 阶行列式 51.计算 阶行列式 52.计算 阶行列式 53.计算 阶行列式 54.计算 阶行列式 55.解方程 。 56.解方程 。 57.解方程 。 58.解方程 。 59.设 为 矩阵， ，把 按列分块为 。其中 是 的第 列。求（1） ；（2） 。 60. ）____________________ 已知 , ，试求：① ；② 。 61.已知 ，求 62.设 = ， ，求 。 63.设 = ，已知 ,求 。 64.求矩阵 的秩。 65.求矩阵 = 的秩。 66.求矩阵 = 的秩。 67.求矩阵 = 的秩。 68.求矩阵 = 的秩。 69.求矩阵 的逆矩阵。 70.求矩阵 的逆矩阵。 71.求矩阵 的逆矩阵。 72.求矩阵 的逆矩阵。 73.设 ，给出 可逆的充分必要条件，并在 可逆时求其逆． 74.设矩阵 ，问矩阵 是否可逆？若可逆，求出 。 75.设矩阵 ，问矩阵 是否可逆？若可逆，求出 。 76.设矩阵 ，判断 是否可逆？若可逆，求 。 77.设 ，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求 。 78.已知矩阵 = , 用矩阵的初等变换求 的逆矩阵。 79.已知矩阵 = ，用矩阵的初等变换求 的逆矩阵。 80.设 为三阶矩阵， 为 的伴随矩阵，已知 = ，求(1) 的值； (2) 的值。 81.设 为 阶方阵， ，判断 与 是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。 82.设矩阵 = ，求矩阵 , 使得 EMBED Equation.DSMT4 。 83.用求逆矩阵的方法解矩阵方程 。 84. 解矩阵方程 。 85.解矩阵方程 。 86.解矩阵方程 87.解矩阵方程 88.求解矩阵方程 ）____________________ 89.判断齐次线性方程组 是否有非零解？ 90.用求逆矩阵的方法解线性方程组 91.用求逆矩阵的方法解线性方程组 92.用克莱姆法则解线性方程组 （其中 93 ）____________________ 444.用克莱姆法则解线性方程组 （其中 ） 94.用克莱姆规则解方程组 95.讨论 取何值时，方程组有解，并求解。 96.讨论 取什么值时，方程组有解，并求解。 97.选择 ，使方程组 无解。 98.确定 的值，使齐次线性方程组 有非零解。 ）____________________ 5252552298. 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 99.齐次线性方程组 有非零解，则 为何值？ 100.问 ， 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 101. 问 取何值时，非线性方程组 有无限多个解？ 102.齐次线性方程组 有非零解，则 应满足什么条件？ 103.确定 的值，使线性方程组 无解？有惟一解？有无穷多解？ 104 ）____________________ 515. 取怎样的数值时，线性方程组 有解，并求出一般解。 105.问当 取何值时，线性方程组 有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。 106.问 取何值时，线性方程组 有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。 107.设线性方程组为 讨论 为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。 108.设非齐次线性方程组为 试问: 取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有解时请求出解。 109.设非齐次线性方程组为 试问: 取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。 110.求线性齐次方程组 的基础解系。 111.求线性齐次方程组 的基础解系。 112.求线性齐次方程组 的基础解系。 113.求线性齐次方程组 的基础解系。 114.求线性齐次方程组 的基础解系。 115.求线性齐次方程组 的基础解系。 116.求齐次线性方程组 的基础解系。 117.求齐次线性方程组 的通解。 118.求齐次线性方程组 的通解。 119.求非齐次线性方程组 的通解。 120.求非齐次线性方程组 的通解。 121.问下列向量组是否线性相关？ （1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1） 122.判别向量组 =(0,0,2,3), =(1,2,3,4)， =(1,2,1,1)， =(1,0,1,0)是否线性相关，并求 , , , 的一个极大线性无关组。 123.求向量组 ， ， 的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。 124.求向量组 ， ， ， ， 的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式。 125.已知向量组（Ⅰ） ,(Ⅱ) ,(Ⅲ) ，若各向量组的秩分别为 (Ⅰ) = (Ⅱ) = 3 , (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）： 的秩为4。 126.设矩阵 ，求矩阵 的列向量组的一个最大无关组。 127.已知向量 , , 线性相关，求的 值。 128.设矩阵 ,其中 线性无关， ，向量 EMBED Equation.3 求方程 的解。 129.判断实二次形10 是不是正定的。 130. 取什么值时, 实二次形 是正定的。 131. 取何值时，实二次型 是正定的？ 132. 取何值时，二次型 正定。 133. 取何值时，二次型 正定。 134. 取何值时，二次型 正定。 135.求一个正交变换 把二次型 化为只含有平方项的标准形。 136.求一个正交变换 把二次型 化为只含有平方项的标准形。 137.将二次型 化为 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形，并指出所用的线性变换。 138.用正交线性替换化实二次型 为典范形，并求相应的正交阵。 139.已知向量组 =(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)， =(1,2,1,1)， =(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间 ( , , , )的维数和一个基。 140.求 的特征值。 141.求 的特征值。 142.求 的特征值。 143.求矩阵 的特征根和相应的特征向量。 144.设 ，求一个正交矩阵 为对角形矩阵。 145.设 ，求一个正交矩阵 为对角形矩阵。 146.设 ，用初等变换求一可逆矩阵 是对角形式。 147.设 ，用初等变换求一可逆矩阵 是对角形式。 148.设 ,求可逆矩阵 , 使 是对角形矩阵。 149.设 ，求一个正交矩阵 ，使 是对角矩阵。 150.设矩阵 与 相似，求 。 151. , ，求 关于基 的坐标。 ）____________________ 66152.已知 是线性空间 的一组基，求向量 在基 下的坐标。 153.设 中的两个基分别为 , ， （1）求由基 的过渡矩阵。 （2）已知向量 在基 下的坐标为 ，求 在基 下的坐标。 154.已知 是 的一个基，求 在该基下的坐标。 155.已知 是 的一个基，求 在该基下的坐标。 156.考虑 中以下两组向量 ； ，证明 和 都是 的基。并求出由基 到 的过渡矩阵。 157.设 上三维向量空间的相性变换 关于基 的矩阵是 ,求 关于基 的矩阵。 158. 中的两向量组 ， （1）证明它们都是 的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵， （3）如果 在基 下的坐标为（3，1，2），求 在基 下的坐标。 159．设在标准欧几里得空间 中有向量组 ， , ，求 的一个基与维数。 四、判断题 1.判断 中的子集 是否为子空间。 2. 判断 中的子集 是否为子空间。 3.判断 中的子集 是否为子空间。 4.判断 的向量 是否线性相关。 5. 判断 的向量 是否线性相关。 6.判断 的向量 的线性相关性。 7.若整系数多项式 在有理数域可约，则 一定有有理根。（ ） 8.若 、 均为不可约多项式，且 ，则存在非零常数 ，使得 。（ ） 9.对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ） 10.若矩阵 的所有 级的子式全为零，则 的秩为 。（ ） 11.若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ ） 12.若向量组 （ ）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（ ） 13.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（ ） 14.若矩阵 、 满足 ，且 ，则 。（ ） 15. 称为对称矩阵是指 ．若 与 都是对称矩阵，则 也是对称矩阵。（ ） 16.设 级方阵 、 、 满足 ， 为单位矩阵，则 。（ ） 17.若 是方程 的一个基础解系，则 是 的属于 的全部特征向量，其中 是全不为零的常数。（ ） 18. 、 有相同的特征值，则 与 相似。（ ） 19.若 无有理根，则 在 上不可约。（ ） 20.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（ ） 21.对于整系数多项式 ，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数 ，那么 不可约。（ ） 三、简要回答 1．设 , , , 若 , 则 成立吗？为什么？ 2.设 , 则当 满足何条件时, ？ ？为什么？ 3．若 与 均相关, 则 相关吗？为什么？ 4．若 、 均为 级阵, 且 ≌ , 则 与 的行向量组等价吗？为什么？ 五、证明题 1.证明：两个数环的交还是一个数环。 2．证明： 是一个数环。 3．证明： 是一个数域。 4.证明： , 是映射，又令 ，证明：如果 是单射，那么 也是单射。 5.若 , 则 , 。 6.令 都是数域 上的多项式,其中 且 , ，证明: 。 7. 和 是数域F上的两个多项式。证明：如果 整除 ，即： ，并且 ，那么 。 8.设 ， 。证明：如果 ，且 和 不全为零，则 。 9.设 是 中次数大于零的多项式，若 只要 就有 或 ，则 不可约。 10.设 ，证明：如果 ，那么对 ，都有 。 11.设 是多项式 的一个 重因式，那么 是 的导数的一个 重因式。 12.设 ，且 ，对于任意的 ，则有 。 13.设 ，试证：（1） ； （2） 14.试证： 。 15.设 ， ．（1）计算 及 ； （2）证明： 可逆的充分必要条件是 ； （3）证明：当 时， 不可逆。 16.若 阶矩阵 满足 ，证明 可逆，并求 。 17.若 阶矩阵 满足 ，证明 可逆，并求 18.设 阶方阵 的伴随方阵为 ,证明：若 。 19.设 是 阶可逆矩阵,证明: (1) ； (2) 乘积 可逆。 20.证明:一个可逆矩阵可通过行初等变换化为单位矩阵。 21.证明：1）若向量组 线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。 2）若向量组 中部分向量线性相关，则向量组 必线性相关。 22. 已知 为 阶方阵， 为 的伴随阵， ，则 的秩为1或0。 23. 设 为 阶阵，求证， 。 24.设 是一个 阶方阵，其中 分别是 阶， 阶可逆阵， ， （1）证明 ，（2）设 ，求 。 25.设 阶可逆方阵 的伴随方阵为 ,证明： . 26.已知 阶方阵 可逆，证明： 的伴随方阵 也可逆,且 。 27.设 ， 均为 阶方阵，证明： 28.令 是 EMBED Equation.3 阶矩阵 的伴随矩阵，试证：（1） ； （2） 。 29．设 ， ， ， 都是 阶矩阵，其中 并且 ，证明： 。 30.已知方阵 满足 ，试证： 可逆，并求出 。 31.设 是一个秩为 的 矩阵，证明：存在一个秩为 的 矩阵 ，使 。 32.证明：设 是 正定矩阵，证明 也是正定的。 33.证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。 34.设 是一个正交矩阵，证明：(1) 的行列等于 或 ；（2） 的特征根的模等于 ； （3） 的伴随矩阵 *也是正交矩阵。 35.设 是一个正交矩阵，且 ，证明：① 有一个特征根等于 。② 的特征多项式有形状 ,这里 。 36.设矩阵 满足 ， 为 阶单位阵， ，证明 是对称阵，且 。 37.设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，证明： 可以由 线性表出，且表示法唯一。 38.证明向量 （ ）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。 39.设向量 可由向量组 线性表示，证明表法唯一的充要条件是 线性无关。 40.设在向量组 中， 并且每一 都不能表成它的前 个向量 的线性组合，证明 线性无关。 41.不含零向量的正交向量组是线性无关的。 42.证明向量 （ ）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。 43.设向量组 线性无关,而 线性相关,那么 一定可以由 相性表示。 44.设 EMBED Equation.3 线性无关，证明 也线性无关。 45.设向量组 线性无关，且 证明 线性无关的一个充要条件是 46.设 , , , ,证明向量组 线性相关 47.已知 ， ，试证向量组 能用 ， 线性表示。 48.设 是非齐次线性方程组 的 个解， , ,…, 为实数，且 ，证明 也是它的解。 49. 设 是非齐次线性方程组 的一个解， 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明： , 线性无关。 50. 设 是非齐次线性方程组 的一个解， 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明： , 线性无关。 51.设 是向量空间的两个子空间，那么它们的交 也是 的一个子空间。 52.设 是向量空间的两个子空间，那么它们的交 也是 的一个子空间。 53.（维数定理）设 都是数域 上的向量空间 的有限维子空间，那么 也是有限维的，并且 。 54. 个变量的二次型 的一切主子式都大于零，则 是正定的。 55.设 是三维欧氏空间 的一个标准正交基，试证： 也是 的一个标准正交基。 56．设 是线性变换 的两个不同特征值，(1，(2是分别属于 的特征向量， 都是非零常数，证明：向量 不是 的特征向量。 57．设 的特征值为 ，如果 可逆，证明： 的特征值为 。 58.令 是数域 上向量空间 的一个线性变换，如果 分别是 的属于互不相同的本征值 的本征向量，证明 线性无关。 59. 令 是数域 上向量空间 的一个线性变换，如果 分别是 的属于互不相同的特征值 的特征向量，那么 线性无关。 60.设 是 维欧氏空间 的一个线性变换，如果 是正交变换又是对称变换，证明 是单位变换。 61.设 是 维欧氏空间 的一个线性变换，如果 是对称变换，且 是单位变换。证明 是正交变换。 62.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换, 两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 63.设 是 维欧氏空间 的一个线性变换，证明，如果 满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i） 是正交变换，（ii） 是对称变换，（iii） 是单位变换。 64.证明，一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。 65.令 是数域 上向量空间 的一个线性变换，如果 EMBED Equation.3 的特征多项式的根都在 内； 对于 的特征多项式的每一根 ，本征子空间 的维数等于 的重数，证明： 可以对角化。 PAGE 1 _1289643529.unknown _1289652905.unknown _1289713980.unknown _1289716131.unknown _1289723981.unknown _1289724497.unknown _1289724895.unknown _1289725399.unknown _1289725432.unknown _1289725472.unknown _1289899007.unknown _1289900171.unknown _1289900304.unknown _1289900076.unknown _1289725457.unknown _1289725412.unknown _1289725102.unknown _1289725323.unknown _1289725346.unknown _1289725383.unknown _1289725333.unknown _1289725132.unknown _1289725160.unknown _1289725313.unknown _1289725140.unknown _1289725115.unknown _1289725028.unknown _1289725058.unknown _1289725078.unknown _1289724929.unknown _1289724991.unknown _1289724920.unknown _1289724691.unknown _1289724758.unknown _1289724766.unknown _1289724836.unknown _1289724729.unknown _1289724743.unknown _1289724713.unknown _1289724525.unknown _1289724576.unknown _1289724513.unknown _1289724050.unknown _1289724419.unknown _1289724469.unknown _1289724485.unknown _1289724362.unknown _1289724013.unknown _1289724037.unknown _1289724004.unknown _1289723609.unknown _1289723780.unknown _1289723866.unknown _1289723935.unknown _1289723807.unknown _1289723723.unknown _1289723750.unknown _1289723700.unknown _1289716711.unknown _1289723564.unknown _1289723597.unknown _1289716776.unknown _1289716848.unknown _1289716943.unknown _1289716975.unknown _1289716917.unknown _1289716813.unknown _1289716755.unknown _1289716483.unknown _1289716593.unknown _