第二章 行列式

nullnull第二章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组null方程组的解为由方程组的四个系数确定.null 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：定义null主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式nullnullnull则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.二、三阶行列式二、三阶行列式定义记（7）式称为矩阵（6）所确定的三阶行列式.null三阶行列式的计算三、小结三、小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.null思考题null思考题解答解null第二章 行列式第二节 n 阶行列式n阶行列式的定义n阶行列式的定义定义一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式null例如对null二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理1 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即nullnull例2 计算行列式解nullnull例3 计算上三角行列式解 =nullnull例 4null同理可得下三角行列式null三、小结三、小结 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. null第二章 行列式第三节 行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等即，记说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.null性质3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即同样用 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法可证：性质2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零.null则D等于下列两个行列式之和：例如nullnull性质4 （行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n 阶行列式： （1） 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.null（2）　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．例如从等号右端 看，利用性 质3、性质4 的（1）及性 质2即得等号 左端。null（3） 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式写成分块形式，则null推论1　某一行（列）元素全为零的行列式等于零．null推论3　若有两行（列）元素对应成比例，则行列 式等于零，即nullnullnull性质5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证null同理null关于代数余子式的重要性质nullnullnull性质6 设 U 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵：矩阵乘积的行列 式等于行列式的 乘积！二、应用举例解 将第二列加到第一列，由性质4、性质2可得二、应用举例nullnullnull三、小结三、小结 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．行列式的6个性质null思考题1null思考题1解答解1、2、3、4行 分别提取公因 子 a、b、c、d（1）交换 1、2 两列； （2）交换 3、4 两列； （3）交换 2、3 两列。nullnull思考题2求第一行各元素的代数余子式之和null思考题解答解 由知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nullnull第二章 行列式第四节 行列式的计算nullnullnullnull解法1 null第1行的 (-1) 倍分别加到 其余各行！null解法1 将第 得nullnull例2（续） 计算 阶行列式解法2nullnull例2（续） 计算 阶行列式解法2nullnull+)nullnullnullnullnull递推可得另解：null 证用数学归纳法null 解:例5计算行列式nullnull另解：1.按第一行展开；2.初等变换。思考题1思考题1思考题1 解答思考题1 解答null思考题2null思考题2解答nullnull范德蒙德行列式大下标减去 小下标元素null第二章 行列式第五节 行列式的应用一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式定义一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式注意下标null定理1证明则null同理可得null证明null证明null按逆矩阵的定义得证毕。null推论证明奇异矩阵与非奇异矩阵的定义null解null代数余子式的符号不能丢nullnullnull非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念设线性方程组则称此方程组为非 齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.二、克拉默法则二、克拉默法则定理 3 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即nullnull证明null由代数余子式的性质可知,于是null三、重要定理齐次线性方程组的相关定理三、重要定理nullnull例 4 解线性方程组解由于方程组的系数行列式null同理可得故方程组的解为:null解null所以 或 时齐次方程组有非零解.null例6:设矩正阵且 互不相等,求的解.四、小结四、小结null3. 用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.null思考题1null思考题1解答解设所求的二次多项式为由题意得null故所求多项式为又得它是一个关于未知数 的线性方程组,null思考题2当线性方程组的系数行列式为零时,能否用 克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组 的解为何?null思考题2解答不能！此时非齐次方程组的解为无解 或有无穷多解.齐次方程组的解为有无穷多解.null第二章 行列式 行列式补 充 例 子 null21/24256null例2 选择题 1． 是 阶方阵，则下列运算中，正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2设 , 为n阶方阵，若 经过若干次初等变换变成矩阵 则成立的（ ） （A） （B）若 ，则必有 （C） （D）若 ，则必有 DB 3 设3阶方阵 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） DDnull 4. 如果5阶行列式D5中每一行上的5个元素之和等于零，则D5＝______________。 0———————————————————————————