第八章 电磁感应 电磁场

习题精解 8-1  一根无限长直导线有交变电流 ，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD，如图8.3所示，长为 的AB和CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a和b，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解  建立如图8.3所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元 ，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 通过矩形面积CDEF的总磁通量为 由法拉第电磁感应定律有 8-2  有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈，半径为 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为 ，球小线圈中感应的电动势。 解  无限长直螺线管内部的磁场为 通过N匝圆形小线圈的磁通量为 由法拉第电磁感应定律有 8-3  一面积为S的小线圈在一单位长度线圈匝数为n，通过电流为i的长螺线管内，并与螺线管共轴，若 ，求小线圈中感生电动势的表达式。 解  通过小线圈的磁通量为 由法拉第电磁感应定律有 8-4  如图8.4所示，矩形线圈ABCD放在 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为 ，长为 的AB边可左右滑动。若令AB边以速率 向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解  利用动生电动势公式 感应电流的方向从 . 8-5  如图8.5所示，两段导体AB和CD的长度均为 ，它们在B处相接成角 ；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为 。若使导体在均匀磁场中以速率 运动，方向与AB段平行，试问AC间的电势差是多少? 哪一端的电势高？ 解  导体AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。BC段产生的动生电动势为                      AC间的电势差是 C端的电势高。 8-6  长为 的一金属棒ab，水平放置在均匀磁场 中，如图8.6所示，金属棒可绕O点在水平面内以角速度 旋转，O点离a端的距离为 。试求a,b两端的电势差，并指出哪端电势高（设k>2） 解  建立如图8.6所示的坐标系，在Ob棒上任一位置x处取一微元 ，该微元产生的动生电动势为 Ob棒产生的动生电动势为 同理，Oa棒产生的动生电动势为 金属棒a,b两端的电电势差 因k>2，所以a端电势高。 8-7  如图8.7所示，真空中一载有稳恒电流I的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为 ，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径 的延长线与长直导线相交，导线与圆心O之间距离为，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度垂直纸面向外运动时，求： （1）回路中感应电动势的大小； （2）半圆弧导线 中感应电动势的大小。 解  （1） 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势 。 （2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小 选取x轴如图8.7所示，在x处取线元dx,dx中产生感应电动势大小为 其中 导线 及圆弧 产生感应电动势的大小均为 8-8 在半径 的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且 ，圆柱体外无磁场，试求离开中心O的距离分别为 和各点的感生电场的场强。 解  变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有 而 当 时，              所以 时， ； 时，。 当 时              所以 时，      ; 时 8-9  如图8.8所示，磁感应强度为 的均匀磁场充满在半径为 的圆柱体内，有一长为 的金属棒 放在该磁场中，如果B以速率 变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两端的电动势等于 证明  方法一  连接Oa,Ob,设想Oab构成闭合回路，由于Oa,Ob沿半径方向，与通过该处的感生电场处垂直，所以Oa,Ob两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab的总电动势就是棒ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律 方法二  变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 棒ab两端的电动势为 8-10  如图8.9所示，两根横截面半径为a的平行长直导线，中心相距d，它们载有大小相等、方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线长为 的一段的自感为 。 解  两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 穿过两根导线间长为的一段的磁通量为 所以，一对长为的一段导线的自感为 8-11 一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为 ，管的横截面积为 ，环的总匝数为 ，管内充满磁导率为 的磁介质。求此环形螺线管的自感系数 。 解  当环形螺线管中通有电流I时，管中的磁感应强度为 通过环形螺线管的磁链为    则环形螺线管的自感系数为 8-12由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径 ,外筒半径为 ，两筒间的介质 。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为 的一段同轴电缆所储磁能为多少？ 解  有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为 时，        时，    时，      在长为 ，内径为 ，外径为 的同轴薄圆筒的体积 中磁场能量为 所以，长度为 的一段同轴电缆所储能为 8-13  在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为 ，磁感应强度为 ，此空间区域介质的介电常数 ，磁导率 。求P点处电场和磁场的总能量体密度 。 解 电场能量密度为 磁场能量密度为 总能量密度为 8-14 一小圆线圈面积为 ，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为 ，把它放在另一半径 ， 匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流每秒减少 ，试求小线圈中的感应电动势。 解  当大圆形线圈通有 时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为 两个线圈之间的互感为 如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，则小线圈中的感应电动势为 8-15 一螺线管长为 。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率 ，当它的导线中通有2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。 解  螺线管中的磁感应强度为 螺线管中的磁场能量密度为 8-16 一根长直导线载有电流I，且I均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为的一段导线内部的磁场能量。 解  有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为 在长度为的一段导线内部的磁场能量 8-17一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为 的介质，假定导线的半径为 ，圆筒的内外半径分别为 和 ，电流 由圆筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：（1）在空间各个范围内的磁能密度表达式;(2)当 时，在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。 解  （1）有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为 时        ； 时 时 ； 时  相应地，空间各个范围内的磁能密度为 时 ； 时 ； 时 ； 时 。 （2） 每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为 8-18证明电容 的平行板电容器，极板间的位移电流强度 ，U是电容器两极板间的电势差。 证明  由于平行板中 ，所以穿过极板位移电位移通量 平行板电容器中的位移电流强度 8-19 设圆形平行板电容器的交变电场为 ，电荷在电容器极板上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：（1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距离电容器极板中心连线为 处，经过时间 时的磁感应强度的大小。 解  （1）电容器两极板间的位移电流密度为 （2）以电容器极板中心连线为圆心，以 为半径做一圆周。由全电流安培环路定律有 所以