ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.
ELIE CARTAN
Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité
généralisée (première partie) (Suite)
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 41 (1924), p. 1-25.
© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1924, tous droits réservés.
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A N N A L E S
SCIENTIFIQUES
DE
L'ECOLE NORMALE SUPERIEURE
SUR
LES .VARIÉTÉS A CONNEXION AFFINE
LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALtSÉE
( P R lî M 1 È 1< lî P A R T 1 lî )
( SI-ITE )
PAR E. CARTAN.
CHAPITRE V.
L'UNIVERS DE LA. GRAVITATION IVEWTOMENNE
ET L'UNIVERS DE LA GRAVITATION EINSTEINIENNE.
La forme invariante des lois de la gravitation newtonienne.
70. Nous avons vu au Chapitre 1 qaMI otait possible, et d^une i n f i n i t é
de manières, de ramener la gravitation newtonienne à la Gcotîiétrie en
attribuant à rUniverâ une connexion aff ine convenab le . Dans cette
conception l 'Univers est une variété à quatre d imensions dont la con-
nexion affine satisfait a priori aux conditions exprimées par les for-
mule
(i) ^==dt, &)?== o,
î désignant le temps universel. On peut ajouter à ces conditions celles
qui expriment que l'espace est métrique, ce qui se traduit par les
Ann. Éc. Norm., (3), XLI. — JANVIER 1924. (
'2 , , " K. CÀRTÂN.
re la t ions
' ( 2 ) ^••+œ}=o (^/=i,2,3).
Nous dirons qu'une variété satisfaisant uniquement aux condi-
tions (i) est à connexion galiléenne, et quelle est à connexion newto-
nienne si elle satisfait en outre aux conditions (2).
Comme nous l'avons vu (n08 lô-l?), les phénomènes mécaniques
sont compatibles avec une infinité de connexions affines distinctes :
on peut ajouter aux oo^, co^. des quanti tés r^, CT^. sous la seule condi-
tion que les trois formes quadratiques en co°, où1 , or, co3,
(3) c»)0^-!-^1^^ ûû2^+ C^TO-I,
soient ident iquement nulles.
71. Cela posé, considérons d'abord un Univers à connexion gali-
léenne, avec espace non nécessairement métrique. Parmi toutes les
connexions affines mécaniquement équivalentes^ il y en a une et une
seule comportant une torsion nulle.
En effet, les composantes de la torsion, dans la connexion affine la
plus générale compatible avec l'expérience, sont
^
/
=:^•^[^OT^J+[&)^^^[^2^]+[^3^ {t=^ 2, 3),
en désignant par d1 les composantes de la torsion dans une connexion
affine particulière. Les six équat ions en ^
C»:)0^ + ^ •^{ + GO2^ "h ûO3^ == 0,
[G)0^] 4- [OJ1^ ] -+" [CO2^] + [O)3^] ==— ^
admet tent une solution et une seule, à savoir
^=——^^- (î= 0,1,2, 3; /==I,2,3).
Si nous considérons maintenant un Univers à connexion newto-
nienne, les conclusions sont nécessairement modifiées, puisque les
expressions ^ satisfont aux relations supplémentaires
r^{ + ^ == o (1= î , 2, S).
VARIÉTÉS A C O N N K X Ï O N AFFINE. THÉOîUK DE LA UEIATIViTÉ GÈCsÉiULÏSÉE. 3
Parmi toutes les connexions affines mécaniquement équivalentes^ il y
en a une et une seule annulant la forme scalaire
[GJ^^I+C^^J-f-C^^3].
On a en effet à résoudre les équations
ûi)° ?nj, 4- û31 rs\ + û)2^ 4- 2^] -4- [o)3^] == o,
c^est-à-dire, en vertu de (I),
( I V ) [a)^]=o(1).
Cela étant, si l'on considère le vecteur d 'Univers
dm = 60 û*0 4- Qi û>1 •+- 62 c,)2 -f- 63 G.)3,
sa composante d'espace dépend du système de référence choisi ; mais
quel que soit ce système de référence, le produit scalaire
[G)^i]4-[c.,)^2^+[^^]
( 1 ) Grrace ù ces trois équations, on peut interpréter les relations ( I ) en disant qa^
chaque instant t^ Féquipollence de deux 'vecteurs d^ Univers a une signification absolue;
on pourrai t dire aussi que l'équipollence de deux 'vecteurs d'espace a ime signification
absolue valable pour toute la durée. On démontrera facilement que ces deux énoncés
sont équivalents dans un Univers de torsion nulle.
6 • E. CARTAN.
de cette composante d'espace par le vecteur e^û^ reste toujours le
même, puisqu'un changement du système de référence altère les trois
projections de cette composante d^espace de termes en 00° et que les
[co0^] sont nuls d'après (IV). La relation (II) a donc bien un carac-
tère invariant.
Enfin le premier membre de la relation (III) peut s'obtenîr en par-
tant de la composante d'espace du système de bivecteurs
^ [dm dm] = [eo e^] [co0 ^ ] + [eo 63] [co° c^-] + [eo 63] [>)° co3] -\-[Q, 63] [^ ^ }
-+- [^©i] [^c,.)1] + [6.1 62] [G)1 GJ2],
et en la multipliant extérieurement par le vecteur d'espace e/û^, ce
qui donne le trivecteur (parallélépipède) d'espace
[616263] O^ûi -l-^û^a^-t-c..)^)2^];
la mesure de ce trivecteur ne dépend pas du choix du système de
référence, car un changement de repère ne ferait qu'ajouter des termes
contenant o)° et qui seraient nuls d'après (IV).
Nous avons donc bien démontré le caractère invariant des relations
(I), (II), (III) pour une variété à connexion newtonienne et torsion
nulle.
74. Les relations (I), (II), (III) caractérisent F Univers de la gravita-
tion newtonienne, — Supposons en effe t un Univers sans torsion à
connexion newtonienne; les relations (I) montrent que l'espace est
constamment euclidien. Un vecteur d'espace transporté par équipol-
lence le long d'un chemin quelconque aura des coordonnées ÇS $2, ^
variant de manière à satisfaire aux rela t ions
^-4-^c.)/;+^&.)i-^^3î,Jf;=:o;
or ces relations sont complètement intégrables en vertu d e ( l ) : on
pourra donc, une fois choisis les axes d'espace e,, e^ 63 en un point
particulier de l'Univers, les choisir en tout autre point de manière
qu'ils soient toujours équipollents entre eux, quelque chemin qu'on
VARIÉTÉS A CONNEXION AFFINE. THÉORIE DE ' LA RELATIVITÉ G E N E R A L I S E E .
parcoure ('). Autrement dit on pourra supposer
G)'^ === &}^ == ûû^ ==== 0.
Les formules
(^y= [dt^] + [c.)1^ ] + [o)2^] + [û)3^]
montrent alors que, si l'on suppose ï constant, co^ est une différentielle
exacte. On peut donc poser
c,)1 == dx — a dt, œ2 =: dy — h dé, o3 -=i dz — c dt.
On peut supposer les coefficients a, 6, c nuls en choisissant conve-
nablement le vecteur de temps Qy, ce qui donne simplement
o)0 == ^ , (j)1 =: dx^ ûL)2 == ^y, û>)3 = (^s.
La torsion étant nulle, on a
W=[dt^},
d'où
(^ •==:—Xdt, 0)'^ =—Y^, ' œ^ =:—Z^;
par suite
0;=-[^X^], ^|=-[^Y^], ^^-[^Z^].
. Les formules (II) , qui s'écrivent
[ ( dx dK -i- dy dY -h ^ ^ Z ) ^ ] == o,
mont ren t que Kdûc 4- Yû?y 4- Zrfs est, pour t constante une différentiel le
exacte <^V; on a donc
^=
àl, Y^^, Z= r fv.
^.-y3 à y ^ ^ as
Enfin la relation ( I I I ) donne
1
. . à^y yv à^v - , , •
^^
+d7+^^="~47^/pt
A^o^ retrouvons donc toutes les lois de la gravitation newtonienne (2).
( 1 ) C'est ce qu'exprime le second énoncé de la note précédente ( p . 5).
(3) II y a naturellement à ajouter les conditions que le potentiel V s^annule à l 'infini.
Une remarque analogue sera à faire en ce qui concerne la gravitafcidiireinsteinienne.
8 E . C Â R T A N .
La quant i té de mouvement d'un point de m-asse m est
dx dy dz
^ ,n^, ,n^
et les équations de son mouvement, en supposant ce point soustrait à
l'action de toute force donnée, sont
d f dx dy dz\
^^o+e,^+e^+e3^)=o.
c'est-à-dire
dîx
-. ^ Y — ! dî Y àv — dî z iàv _«
^
2
^~
oï
'^
2
"~'^7-07 "d^^Jï^0'
75. L'utilisation d'axes mobiles en Mécanique newtonienne. — Pour
éclairer davantage ce qui précède, cherchons à déduire des lois inva-
riantes (I), (II), (JII) de la gravitation newtonienne la forme que
prend la Dynamique du point placé dans un champ de gravitation,
lorsque les systèmes de référence de Galilée ut i l isés à un ins tant ^ aux
différents points de l'espace sont équipol len ts entre eux : cela a un
sens, car si on laisse t constant, les composantes de la courbure de
l 'Univers sont iden t iquement nulles (r).
L'hypothèse faite revient à supposer que, lorsque dt == o, on a
OJQ==&^=:OÎ
par suite ^ , oj2, co3 sont , dans les mêmes condit ions, des dif férent ie l les
exactes. On peut donc poser
Gjo =z dt, G)1 = dx -+• a dt, o2 == dy •+ b dt, u3 == dz •+. c dt,
G.); == — •X. dt, ^ = — Y d£, , G.)3, == — Z dt,
G)J--:—û)j=:p^ C^=——^=:,y^ 0)^=:—^^,.^^
Les formules
(^y==[^^]-h[a)^^] ( ,=^ ^ 3 )
( l ) Cf. la noLe de la^page 5.
VARIÉTÉS A CONNEXION AFFLNE. THÉORIE DE LA RELATIVITÉ G É N É R A L I S É E . q
donnent alors
da ••==. — r à y -4- )^?]=0,
c'est-à-dire, puisque Î2? == c2^,
|:^]r.O.
Quant à la relation (III), elle n'a plus de caractère i n v a r i a n t , niais
elle reprend ce caractère si on l'écrit ( ')
[ûOa^^oi] -i-- [c.)3ûJiU^]-+- [wt^^Q^] -i- [G)oG)i^â3] -l- [c^aïaUn] + [cxV^^ia]
=:— 'i.VpE^1^2^3^0],
car le premier membre est, comme nousT avons im^ un invariant intégral
attaché à la variété,
78. Il subsiste finalement clé la gravitation ncwloniennc la seule loi
invariante
(6) [ç^C^oi] + [(.V i^H I^ 4- [GJiO^H^j + [r,hc,)i ^ 3] + |/,)(/,^ Û^ ] -^ [^r,)^2^;|
47T/ „ ,
=— ^i-Pô ["0^1^^
e/2 design ont par po fo densité au repos de la matière.
Mais en réalité nous devons réserver la valeur numérique du coefïi-
/ _ ./•
c i e n t — —-du second membre parce que, en regardant par hypothèse
l 'Univers newtonien comme un Univers einsteinien limite^ rien ne
nous assure que les termes tels que [co^co^û^l du premier membre
tendent vers zéro : le facteur Û^ 3 devient bien nul, mais le facteur
o^ == c^di devient i n f i n i . Nous admettrons que la formule (6) est vraie
en y remplaçant le fadeur — 4^ ^ P^ un fadeur numérique À, provi-
soirement inconnu.
Nous avons vu au Chapitre Ï (n° 22) que la densité au repos de la
(1) Le second membre a été changé de signe parce que coi, ces, 0^3, ûy i , Qoa, ûo;» sont
égaux et opposés à to1, co2, co3, û^, ûg, og.
VAIUÉTÉS A CONNEXION AFFINE. THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE. ï3
matière était définie par l 'équation
po[^, )OG) ÎC0 2G) 3 ]=:[o)O I IO ] - ^ [^W]—— ^[^ïl2]——-1-^^
c" c" c"
ou encore
— po^o^i^^s] ^=- [^oÏÏ0] 4- [c^II1] 4- 1/-«)2ÏÏ2] -i- [^3ÏÏ3],
en désignant par
eo 11° -4- e, ïîl + e, ÏP 4- e;, :îï3
le vecteur qui représente la « quant i té de mouvement-masse )> élémen-
taire. La relation (6) corrigée peut donc s'écrire
( (Y) [^Ç,)3H,i] 4- [Ws^i^Oî] 4- [^i(x>^"2o3] -+• [(OoOl^] -4- [^0^2^3l] -+" [w^^ll]
= — A [G3on°4- c>)jï14- cûjr^ ^ n5].
Dans la théorie d 'Einstein, non seulement l'élément d'action a une
signif ica t ion géométrique, mais il en est encore de même des compo-
santes IP de Ici « quantité de mouvement-masse » èlémentcdre ; cela se
t radu i t par les
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