nullnullnullnullnullnullnullnullnull导数的定义null 本例求导
方法
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简记为：一差、二化、三极限．求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值．nullnullnull导数的几何意义【例2】
(1)已知曲线y＝1/3x3在P点处的切线方程为12x－3y－16＝0，求点P的坐标；
(2)求过点P(3,8)且与抛物线y＝x2相切的直线方程． nullnull(2)因为点P不在抛物线上，故设抛物线上点A(xA，yA)处的切线方程为y－yA＝f '(xA)(x－xA)，
即y－xA2＝2xA(x－xA)，所以y＝2xA·x－ xA2.
因为点P(3,8)在该直线上，
所以xA2 －6xA＋8＝0，解得xA＝2或xA＝4.
所以过点P(3,8)且与抛物线y＝x2相切的直线方程为4x－y－4＝0或8x－y－16＝0.null 函数在点(x0，y0)处的导数是函数图象在点(x0，y0)处切线的斜率．已知切点求切线方程与已知切线方程求切点坐标是两个不同的问题，前者直接应用导数的几何意义，后者以导数的几何意义为基础，设出切点，写出切线方程，由于两切线是同一条直线，对应的系数相等，从而求出切点．这是本题第(1)问的解题
思想
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；第(2)问是相近的问题，当切线过曲线外一点时，处理方法还是寻找切点．null【变式练习2】
(1)若曲线y＝x2＋1上点P处的切线与曲线y＝－2x2－1也相切，求点P的坐标．
(2)求过点P(0,2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程． nullnull(2)设曲线上点A(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝f ' (x0)(x－x0)，
即y－(2x0－x03)＝(2－3 x02)(x－x0)，
即y＝(2－3 x02)x＋2 x03 .
因为点P(0,2)在该直线上，所以x03 ＝1，则x0＝1，所以切点的坐标为A(1,1)．
所以过点P(0,2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.null导数的物理意义【例3】
质点作直线运动，起点为(0,0)，路程s是时间t的二次函数，且其图象过点(1,6)，(2,16)．
(1)求质点在t＝2秒时的瞬时速度；
(2)求质点运动的加速度． nullnull 函数的导数的物理意义：位移函数对时间的导数等于速度，速度函数对时间的导数等于加速度．一般设位移是时间的函数s＝s(t)，则s′＝s'(t)＝v(t)是速度函数，而v＝v(t)的导数v′＝v'(t)＝a(t)是加速度函数． null【变式练习3】nullnullnull导数的基本应用【例4】nullnull 求曲线的切线的关键是找出切点，要注意区分切线所经过的点是不是切点．本题切线经过的点(－1，－1)不是切点，因此先要假设切点，再求出切线方程，然后由点(－1，－1)在曲线的切线上，求出a的值． null【变式练习4】nullnullnull1.曲线y＝2x－lnx在点(1,2)处的切线方程是_______________x－y＋1＝0null2.抛物线y＝4x2上到直线y＝2x－4的距离最短的点P的坐标是___________.null3.已知f(x)＝x2＋2xf '(1)，则f '(0)＝______.【解析】因为f '(x)＝2x＋2f '(1)，
令x＝1得f '(1)＝－2，所以f '(0)＝2f '(1)＝－4.－4null4.已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．【解析】因为f(x)与g(x)的图象都过点P(2,0)，
所以a＝－8,4b＋c＝0，所以f(x)＝2x3－8x.
又g′(x)＝2bx，f ′(x)＝6x2－8，
而f(x)与g(x)在点P处有公共的切线，
所以g′(2)＝f ′(2)，即2b·2＝6×22－8，得b＝4.
所以c＝－16，所以g(x)＝4x2－16.
综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.nullnullnullnullnull(3)f '(x0)是在x＝x0处的一个局部性质，它是一个确定的极限值．
(4)求函数在x＝x0处导数的方法：
①求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； null 2．导数的物理意义
如果y＝f(x)表示位移s对时间t的函数，则其在t＝t0处的导数的意义是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v＝s'(t0)．null 3．导函数
函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点的导数都存在，则函数y＝f(x)在(a，b)内可导，其导数也是(a，b)上的函数，称为y＝f(x)的导函数，记为f ′(x)．函数y＝f(x)的导函数f '(x)在x＝x0处的函数值f '(x0)就是f(x)在x0处的导数，即f '(x0)＝f '(x)|x＝x0(注意并非所有的函数都有它的导函数)．null 4．函数f(x)在点x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f(x)在点x0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导．
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