循环数列的通项公式

循环数列的通项公式循环数列的通项公式江苏省丹阳高级中学杨松扣大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集:, 1，2，3，…，n,。因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。 n 我们先从数列，1，，1，…谈起，大家利用得较多的是，(,1),1,1 ,三角形式还可以写成和sin(,n,)的形式。 cosn,2 这样数列 1，2，1，2，1，2，… 可以构造成: 313131...

循环数列的通项公式江苏省丹阳高级中学杨松扣大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集:, 1，2，3，…，n,。因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。 n 我们先从数列，1，，1，…谈起，大家利用得较多的是，(,1),1,1 ,三角形式还可以写成和sin(,n,)的形式。 cosn,2 这样数列 1，2，1，2，1，2，… 可以构造成: 313131313131 ,，，，,，，，,，，，…… ，222222222222 它的通项公式可以写成: 31na(1),，,， (n?N)， n22 或者写成: 31,a,，sin(,n,) (n?N)， n222 或者写成: 31a,，cosn, (n?N)， n22 一般地，数列 a，b，a，b，a，b，…… 它的通项公式可以写成: 11a,(a，b)，(b,a)cosn, (n?N)。 n22 {b}{c}如何求数列:1，2，3，1，2，3，1，2，3，…… 和数列:1，nn2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式呢, 注意到 1，2，3可以分解成，，的形式，如果我们能2，02,12，1 给出，0，1，，0，1，……的通项公式便可以了，这可以理解成周期,1,1 y,tanx为3的数列，我们，把它与周期为π的函数进行改造，使它们能 ,,2,4,发生联系。事实上，当 x分别为，0，，，，，……时，,tanx,3333 33的值分别为,3，0，，,3，0，，……这样，0，1，，0，,1,1 1tan(n,2),1，……的通项公式可以写成:， 3 1b,2，tan(n,2), ? (n?N)。 n3 下面再讨论数列:1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式。{c}n 我们先做以下变换: 扩大 2倍: 2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，…… 减去它们的平均数5: ，， 1， 3，，， 1， 3，……,3,3,1,1 分解成两个数列: ， 1，， 1，， 1，， 1，…… (1) ,1,1,1,1 (2) ，， 2， 2，，， 2， 2，…… ,2,2,2,2 n(1)的通项公式为易得，(2)的通项只要求出，，，，，(,1)，1，1,1,1，1，，，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数()。，1,1,1,2 以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项: 11c,2sin(n,,,) (n?N)， 1n24 ? ，，2，2，，，2，2，……的通项为:,2,2,2,2 11c,,22sin(n,,,) (n?N)， 2n24 ? ，，1，3，，，1，3，……的通项为:,3,3,1,1 11nc,(,1),22sin(n,,,) (n?N)， 3n24 {c}则原数列的通项为: n 111n (n?N)。c,[5，(,1),22sin(n,,,)]n224 此外还可以再把，，1，1，，，1，1，……分成两个数列:,1,1,1,1 ，0，1，0，，0，1，0，…… 和 0，，0，1，0，，0，,1,1,1,1 (n，1),n,coscos1 ，…… 它们的通项公式分别为和，经过化简便可得22到同上一样的答案。下面再讨论可转化成循环数列的一类数列的通项公式。 :1，1，2，2，3，3，4，4，……; {a}n :1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……;{b}n :1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……;{c}n 1a,(n，1)来说，当 n为奇数时，;当 n为偶数时，对于数列{a}nn2 na,，则有: n2 nn1(1)1(1)11,,，,a(n1)n ,，,，,n2222 1n,[2n，1,(,1)] (n?N), 4 也可以采用以下变形: 扩大一倍得2{a}: 2，2，4，4，6，6，……， n {2a,n} 减去 n 得:1，0，1，0，1，0，……， n 1n2a,n,[1,(,1)]易得 (n?N)。 n4 {b}讨论:1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……，n {3b} 乘以 3 得:3，3，3，6，6，6，9，9，9，12，12，12，……，n {3b,(n，1)} 减去 (n+1)得:1，0，，1，0，，……，,1,1n 由前面讨论得它的通项公式: 1n，1b',,tan, (n?N) n33 1n，13b,(n，1),,tan,即有: (n?N) n33 11n，1b,(n，1),tan,整理可得: (n?N) n3333 最后讨论: {c}n 1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式。乘以(,4)得: ，，，，，，，，，，，，……，,8,8,8,8,4,4,4,4,12,12,12,12 加上(n+4)得:1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……，它的通项公式为: 111nc',[5，(,1),22sin(n,,,)] n224 又化简整理得: c',,4c，(n，4)nn 111n (n?N)。c,[2n，3,(,1)，22sin(n,,,]n824

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