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数列求和的基本方法和技巧.doc

数列求和的基本方法和技巧

学不会去拒绝
2017-09-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数列求和的基本方法和技巧doc》,可适用于高中教育领域

数列求和的基本方法和技巧就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法()()naann,n、等差数列求和公式:Snad,,n(,)naq,,n,(,)aaqaq、等比数列求和公式:,S,nn,(,)q,,,qq,nnS,k,n(n)S,k,n(n)(n)、、,,nn,,kknS,k,n(n)、,n,k,nlogx,例已知求的前n项和xxx,,,x,,,log,logloglogx,,x,,,x,解:由lognS,xxx,,,x由等比数列求和公式得(利用常用公式)n(,)nnx(,x),,,,n,x,S*nf(n),例设S,…nnN,求的最大值n(n)Sn解:由等差数列求和公式得S,n(n)S,(n)(n)(利用常用公式)nnSnnf(n),,(n)Snnn,,,(n,)nnnn,()fn,当即n,时max二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列{ab}的前nnn项和其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列nnn,S,xxx,,,(n,)x例求和:………………………nn,n,(n,)x解:由题可知{}的通项是等差数列{n,}的通项与等比数列{}的通项之积xnxS,xxxx,,,(n,)x设………………………(设制错位)nn,n(,x)S,xxxx,,,x,(n,)x,得(错位相减)nn,,xn(,x)S,x,,(n,)x再利用等比数列的求和公式得:n,xnn(n,)x,(n)x(x)S,n(,x)n例求数列前n项的和,,,,,,,,,,,nn解:由题可知{}的通项是等差数列{n}的通项与等比数列{}的通项之积nnn设…………………………………,,,,Snnn………………………………(设制错位),,,,Snnn(),得(错位相减),,,,,,Snnnn,,,n,nnS,,nn,练习:n求:S=xx(n)xnn解:S=xx(n)xn两边同乘以x得nxS=xxx(n)xnnnx得(x)S=(xxx)(n)xnS=n=nn()当x=时nnx(x)n(n)x当x时S=nxx三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列(反序)再把它与原(aa)数列相加就可以得到n个nnnCCC,,,(n)C,(n)例求证:nnnnnS,CCC,,,(n)C证明:设…………………………nnnnn把式右边倒转过来得nn,S,(n)C(n,)C,,,CC(反序)nnnnnmn,mC,C又由可得nnn,nS,(n)C(n,)C,,,CC………………nnnnnn,nnS,(n)(CC,,,CC),(n),得(反序相加)nnnnnnS,(n),n,,,,,例求的值sinsinsin,,,sinsin,,,,,解:设…………S,sinsinsin,,,sinsin将式右边反序得,,,,,…………(反序)S,sinsin,,,sinsinsin,sinx,cos(,x),sinxcosx,又因为得(反序相加),,,,,,S,(sincos)(sincos),,,(sincos),S,练习:已知lg(xy)=a求S其中lgxlg(xy)lg(xy),,,lgynn,n,nS=解:将和式S中各项反序排列得nn,n,ns,lgylg(xy)lg(xy),,,lgx将此和式与原和式两边对应相加得nnnS=lg(xy)lg(xy)lg(xy)(n)项=n(n)lg(xy)lg(xy)=aS=n(n)a四、分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求数列的前n项和:…,,,,,,,n,n,aaa解:设S,()()(),,,(n,)nn,aaa将其每一项拆开再重新组合得(分组)S,(,,,)(,,,n,)nn,aaa(n)n(n)n,当a,时Sn,(分组求和),n,,nn()a,an,n(n)n,a当时,Sa,,na,,a例求数列{n(n)(n)}的前n项和a,k(k)(k),kkk解:设knnS,k(k)(k)(kkk),,,n,k,k将其每一项拆开再重新组合得nnnkkkS,(分组)n,,,,,,kkk(,,,n)(,,,n)(,,,n),()()()()nnnnnnn,(分组求和)n(n)(n),,,,,,,,(n),,,,练习:求数列n的前n项和。S,,,,(n)解:nn,(,,,n)(,,,)n,n(n),n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:,sin,,,tan(n),tanna,f(n),f(n)()()n,,cosncos(n)n()a,,(,)a,,,()()nnn,nn,n()()n(n)nna,,,()nn(n,)(n)n(n)(n)(n)n(n),na,,,,,,,S,,则()nnnnn,nnn(n)n(n)n,(n)(n),,,,,,,,,,例求数列的前n项和nna,,n,n解:设(裂项)nnnS,,,,则(裂项求和)nnn(,)(,),,,(n,n),n,,na,,,,b,例在数列{a}中又求数列{b}的前n项的和nnnna,annnnnnna解:,,,,,nnnn(裂项)b,,(,)nnnnn,数列{b}的前n项和nS,(,)(,)(,),,,(,)(裂项求和)nnnn,(,),nn,cos,,,,例求证:,,,,,,,coscoscoscoscoscossinS,,,,解:设,,,,,,coscoscoscoscoscos,sin,,,tan(n),tann(裂项),,cosncos(n)S,,,,(裂项求和),,,,,,coscoscoscoscoscos,,,,,,,,,{(tan,tan)(tan,tan)(tan,tan)tan,tan},sin,cos,,,,,,(tan,tan),cot,,,sinsinsin原等式成立练习:求之和。,解:,(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,),,,(,),六、合并法求和针对一些特殊的数列将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质因此在求数列的和时可将这些项放在一起先求和然后再求Sn例求coscoscoscoscos的值解:设S,coscoscoscoscosn,,,cosn,,cos(,n)(找特殊性质项)S,(coscos)(coscos)(coscos)n(coscos)cos(合并求和),a,,a,,a,,a,a,a例数列{a}:求Snnnnaaa,,,a解:设S,a,,a,,a,,a,a,a由可得nnna,,,a,,,a,,,a,,a,,a,,a,,,a,,,a,,,……a,,a,,a,,a,,,a,,,a,,kkkkkkaaaaaa,(找特殊性质项)kkkkkkaaa,,,aS,(合并求和)(aaa,,,a)(aa,,,a),,,(aa,,,a),kkk,,,(aa,,,a)aaaaaaaa,aaaa,kkkk,aa,,求logaloga,,,loga例在各项均为正数的等比数列中若的值S,logaloga,,,loga解:设nmn,pq,aa,aa由等比数列的性质(找特殊性质项)mnpqlogMlogN,logM,N和对数的运算性质得aaaS,(logaloga)(logaloga),,,(logaloga)(合并求和)n(loga,a)(loga,a),,,(loga,a),loglog,,,log,,七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析找出数列的通项及其特征然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和是一个重要的方法例求之和,,,,,,,,,n个k,,,,,,,,(,)解:由于(找通项及特征),,,,,,,,k个k个,,,,,,,,,n个n,(,)(,)(,),,,(,)(分组求和)n(,,,),(,,,),,,,,,,,n个n()n,,,,,n,(,,n),a,,求(n)(a,a)例已知数列{a}:的值n,nnn(n)(n)n,na,a,n,()()()解:(找通项及特征)nnnnnn()()()(),,(设制分组)(n)(n)(n)(n),(裂项),(,)(,)nnnn,,,na,a,,,()()()()(分组、裂项求和),,,nnnnnnnnn,,,,(),,,练习:求…的前n项和。n解:a=()nnS=n()()()…()n=(……)nn(n)=以上一个种方法虽然各有其特点但总的原则是要善于改变原数列的形式结构使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决只要很好地把握这一规律就能使数列求和化难为易迎刃而解。

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