分形节理模拟原理

* � 山东省自然科学基金资助项目 长的管缝式锚杆, 喷 50mm厚的混凝土封闭围岩。滞 后一次支护 15m 左右开始补打注浆锚杆, 注浆锚杆 按 1�2m � 1�2m 的间排距布置, 杆长 1�8m。锚杆安 装好后, 先将水泥、添加剂、水等按比例调制成灰 浆, 最后用气动注浆泵将浆液通过注浆锚杆压入岩 壁。通过对比测试相同条件下锚注巷道和非锚注巷道 的矿压显现, 锚注段巷道围岩的岩体完整性 ( RQD) 提高了 50%以上, 围岩移近速度大幅度下降, 巷道 掘出 1年后, 维护状况良好, 而对比非锚注巷道早已 多次进行了翻修 5!。 以上就一些与煤矿软岩巷道矿压控制方面有关的 问题进行了总结。需要说明的一点是, 软岩问题并不 是煤炭系统所独有的, 隧道工程、水力、水电、桥 梁、地基等其它一些工程领域也时常出现软岩的控制 问题, 因此, 煤炭系统的科技工作者和工程技术人员 应当善于学习其它领域里的先进知识和先进方法, 以 便更好解决煤矿软岩巷道的矿压控制问题。 主要参考文献 1! � 软岩分类及支护形式选择学术讨论会总结, ∀煤炭科学技术# 1987 ( 3) , P2~ 8� 2! � 鹿守敏, 巷道锚喷支护机理研究与实践, ∀建井技术# 1994 ( 4/ 5) , P14~ 18� 3! � 陆士良, 中国煤矿巷道围岩控制, 中国矿业大学出版社, 徐 州, 1994� 4! � 王彩根, 软岩巷道壁后充填支护机理与技术应用研究, 中国矿 业大学博士论文, 1994� 5! � 刘长武, 膨胀软岩锚注加固机理及在底臌控制中的应用 (研究 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 ) , 中国矿业大学, 1998� (收稿日期 � 1998年 9月 11日) 作者简介! � 刘长武 � 硕士 � 中国矿业大学副 教授 � 在职博士生 陆士良 � 中国矿业大学教授 � 博士生导师 � 著有 ∀中国煤矿巷道围岩控制# 等多部著作 分形节理模拟原理* 王谦源 � 胡京爽 (青岛建筑工程学院∃266033) � � 摘 � 要 � 本文介绍了分形节理的模拟原理, 建立了有限尺度分形节理模拟的数学模型, 讨论了盒计 维数的分形分析方法。证实, 运用分形方法可以用计算机模拟粗糙节理和它们的空间分布, 用缩格法模 拟的分布节理接近于实际分布, 并具有良好的分形性。 关键词 � 节理 � 节理分布 � 计算机模拟 MODELING PRINCIPLES OF FRACTAL JOINTS Wang Qianyuan � Hu Jingshuang ( Q ingdao Institute of Architecture and Eng ineering) Abstract: In t his paper, the modeling principles of fractal joints are presented, the mathematical models to simulate the jo ints in a limited scale are set up, and the defination of the fract al by box dimension is discussed. It is demonstrated that rough joints and t heir spatial distribution can be simulated by a computer, using fractal methods, and the distribution of the jo ints can generated by a descending cascade process, which perfectly re� flects the real situation, behaves a well fractal characteristic. Keywords: Jo ints, Joint distribution, Computer simulation 1 � 引 � 言 如何运用计算机模拟反映客观实际的岩体节理及 49分形节理模拟原理 其分布是岩石力学的重要课题。过去由于缺乏描述节 理形态及其分布的合适数学方法, 处理方法比较简 单, 模拟结果与实际情况差别较大。分形几何问世 后, 经过十几年的努力, 人们不仅证实节理粗糙性、 节理长度分布、间距分布以及空间分布等符合分形, 还认为这种分形性在成因上有其一定的力学依据。这 无疑为节理模拟提供了新的数学工具。但目前关于节 理分形和分形节理模拟的研究只是局部和孤立的, 缺 乏系统性。同时也由于理论准备的不完备, 许多结论 相互矛盾, 可信性不足。本文将以有关模拟原理为基 础, 建立有限尺度分形节理及其分布模拟的数学模 型, 讨论这种分形的盒计维数分析方法, 检验模拟结 果的分形性。 2 � Monte Carlo方法的基本思想 Monte Carlo方法又称为随机抽样方法。由于它 解决了已知概率分布进行随机变量抽样的数学问题, 在分布模拟中占有十分重要的地位。若任意给定分布 函数F ( x) ,按式: �n= inf t F( t) % r n � � n= 1, 2, &, N ( 1) 进行抽样, 只要 r 1, r 2, &, rN 为随机数序列, 可 证明, 获得的随机变量序列 �1, �2, &, �N 相互独 立, 且具有相同分布 1!。对于连续型分布函数 F ( x ) , 只要其反函数存在, 上式变为: �F = F- 1 ( r ) (2) 即: 在 ( 0, 1) 上任取一随机数, 通过上式可完成一 次抽样。 3 � 分形维数及其有效尺度区 节理分形依据研究对象和目的不同而有多种不同 定义, 通常用得较多的是数盒子方法, 即覆盖分形子 集的尺度为 x 的非空盒子数 N 满足: N ( x )= Cx - D ( 3) 式中 D称为盒计维数: D= logC- logN logx ( 4) C为常数。 与纯数学意义上的分形不同, 自然分形为统计自 相似, 且仅在一定尺度范围 ∋ ∋ ∋ 有效尺度内成立。显 然, 有效尺度区越宽, logN ( logx 线性越好, 分形 性就越好。 设相邻盒子尺度之比 x 1/ x 2= �, 对应的非空盒 子数之比 N 1/ N 2= 1/ , 由 ( 1) 式知 = �D ( 5) 由于 1< D< 2, 取 �= 2, D= 2 时, = 4, D= 1时, 则 = 2。其中前者发生于盒子尺度过大区, 后者则 可能发生于尺度过小区。因此, 定义盒计维数时, 应 在 2< < 4的尺度空间上考虑。 考虑到 logN - logx 变化的连续性, 有效尺度两 端附近必呈非线性, 特别在有效尺度区较窄时, 由于 两端非线性区靠近必使分形性变坏, 将给维数定义造 成困难。所以, 定义分形必须取较宽的尺度区, 并尽 可能避开非线性端。 4 � 节理长度模拟 4�1 � 分形长度分布 K. Kojima证实, 在很大的尺度范围 ( cm~ km) 内, 尺度大于 x 的断裂形迹数量 N 符合式 ( 3) 所示 的分布规律 2!: N lf ( x )= C lfx - D l ( 6) 从而可定义长度分布维数 D l。 设在 ( a, b) 区间上, 节理数量 N T , 最长节理 数 N l m , 节理平均长 L m , 令 != b / a, 由于所有节 理总长 L =)badL ( x ) =)badN lf ( x ) x = D lC lfD l - 1( a1- Dl - b1- Dl ) 又 N T = C lf ( a- Dl- b - Dl ) , 所以 L m= L NT = D l D l- 1 ∃ a1- D l- b1- Dl a - D- b- D 可得 a= (D l- 1) L m D l ∃ 1- a- Dl 1- a1- Dl ! (7) 又由 ( 6) 得: C lf = N lm∃b- Dl ( 8) x = C lf N lf !1Dl ( 9) 当 b> > a 或N T > > N lm时, 可得: a ∗ N T N l m !1Dl ( 10) 因此, 已知 D l、N T、N l m、L m , 可求得 !、a、 b、 C lf , 在 ( N lm , N T ) 之间随机选取节理数量 N lf , 由式 (9) 可完成一次节理长度抽样。 4�2 � 负指数长度分布 负指数分布过去被认为是节理长度分布的主要形 式之一 3!, 应用较多。它来源于泊松分布, 表达式 为: N lp ( x ) = C lpe - x x o (11) 若 x 在 ( 0, + ) 上取值, x o 为平均长度, C lf为节 理数量。对于 ( a, b) 上的长度分布, 设 NT > > N lm , 上式可表达为: N lp = N Te - x x o ( x- a) ( 12) 并可求得 x o= b- a ln N T N l m (13) 50 中国矿业 1999年第 8卷第 2期 与上节推导类似, 可得 L m = ( a+ x o) + e - b- a x o ( b- x o) 当 b> > a 或N T > > N lm时有 L m ∗ a+ x o ( 14) ( 13) 代入 ( 14) 可得: a= L m 1+ a- 1 ln N N l m ( 15) 再由 ( 12) 式得: x= x o ln N T N lp + a ( 16) 所以, 已知 !、N T、N lm、L m , 可求得 a、 b , 在 (N lm , N T ) 上随机选取节理数量 N lp , 由式 (16) 可完成一次节理节度抽样。 5 � 节理粗糙性模拟 根据节理为分形的思想, 可用微小布朗运动 ( fBm) 模拟粗糙性节理。微小布朗运动是指两个时 刻随机变量的方差符合下述规律的过程: v ar( X ( t 2)- X ( t 1) )= | t 2- t 1| 2H∃∀2 ( 17) 可证明 fBm 的盒计维数 Dj 与 H 有关系: Dj = 2- H ( 18) 式中, ∀2 为高斯随机变量的初始设置方差。 fBm 模拟方法有多种, 比较好的是移位线性内插 法 4!。在 ( 0, 1) 上讨论时, 其基本思想可总结如 下: ( 1)取 X( 0) = 0, X( 1)为均值为 0, 方差为 ∀2的高 斯随机变量(记为 Gauss ( ) ) 的一个样本: X( 1) = ∀∃ Gauss( ) ; ( 2) 以分辨率因子 r 确定第 n 步插值的区间宽 度: #tn= 12 r n- 1 (19) 和内插点数 2/ r 2- 2; ( 3) 确定这些内插点上满足 ( 1) 式条件的均值 为 0的高斯方差: #2= 1 2 ∀2 1- ( #t T ) 2- 2H!#t 2H ( 20) 式中 T 为上一步插值的区间宽度, 即 #tn- 1* * 。 ( 4) 根据上一步相邻两点的插值结果, 用线性插 值法计算出内插点上的数值, 再加上高斯随机偏移值 #n∃Gauss ( ) 即完成一次插值。通过若干步循环, 直 至达到要求的分辨率。 * * � 原文有误, 已更正 6 � 空间分布模拟 节理的空间分布性通常用节理中点分布反映, 过 去大多采用随机分布确定节理中点。随着分形研究的 深入, H . Yamamoto 发现, 将节理分组分析, 节理 中点分布符合聚集分形一半径为 X的圆或尺度为 X 的方格中含有的聚集点数符合式 ( 3) 的幂律形式, 并提出了模拟这种分布的缩格法 5!: ( 1) 将一个正方格等分为 4个小方格, 按 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的 聚集维数 Dc, 从中随机选取 2Dc个, 其余扔掉; ( 2) 将选出的小方格再等分为三级小方格, 从中选取 2Dc∃ 2Dc个保留; ( 3) 第 k 步缩格后, 可选出 2kDc个 k+ 1 级小方格, 再在这些方格中随机选取一点, 就确定了 k步缩格的聚集点。从模拟过程可知, 这些 , 聚集 点− 完全满足盒计维数要求, 且两种维数相同。 在节理中点上设置节理长度即完成某一方向的节 理分布模拟。多组节理用分别模拟再叠加的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 解 决。节理模拟中还可考虑沿某一方向的随机变化, 比 如取正态分布变化等。 7 � 模拟结果及其分形性 7�1 � 粗糙性节理 � � � � � 图 1 � 聚集型分布节理样本之一 ( a) 及其盒计维数分形分析 ( b) 51分形节理模拟原理 � � � � � 图 2 � 随机分布节理样本之一 ( a) 及其盒计维数分形分析 ( b) 调整参数 r、∀、H 及分辨率控制数N, 可模拟产 生任意粗糙度节理。但对模拟出的 Barton 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 节理 分析表明, logN - logx 虽然线性很好, 盒计维数却 不合理地小于 1, 很难找到有效尺度区, 所以不具有 分析性。原因可能在于计算机硬件的限制, 无法获得 足够的分辨率。也可能提出了与 Outer 质疑 6!相仿的 问题: 凭直观判断的 Barton节理是否为分形? 7�2 � 分布节理 分布节理模拟结果的盒计维数分析表明, 用缩格 图 3 � 聚集型粗糙节理样本之一 法模拟的聚集型分布节理, 不管节理长度分布为分形 还是负指数分布, 亦不管是直线节理还是粗糙节理, 以及在一定范围内的节理组数和平均长度变化, 均具 有良好的分形性, 有效尺度数 (�= 2) 基本等于缩格 次数。而相同情况下随机分布节理的分形性较差, 几 乎与节理密度、平均长度、分组数无关, 可取的有效 尺度数基本均为 3, 很难定义分形。图 1、图 2为其 它条件完全相同下, 取分形长度分布的聚集型与随机 型分布节理模拟结果及分形分析比较。可见聚集分布 节理更接近于实际。图 3是粗糙性分布节理模拟的一 个样本, 45.、105.、165.三组节理大约相当于 Barton 节理的No. 2、No. 4、No. 6。 关于分布节理分形性的影响因素的详细讨论, 将 另文发表。 参考文献本刊略 (收稿日期 � 1998年 11月 19日) 作者简介! � 王谦源 � 硕士 � 青岛建筑工程学 院高等教育研究室副主任 � 副教授 化学注浆稳定岩层技术 18年来, 化学 (渗透) 注浆被北美地铁隧道工程应用来控制潜在的可流动的砂土、地下水流和地层沉降。如美国一 些城市的地铁隧道都是在松散、含水砂层、冰碛物等地层中成功地应用了化学注浆技术来稳定地层。注浆方法、钻孔设 备和钻管位置测量能力等技术上的进步, 提高了地层稳定的效率, 降低了成本。注浆设备已计算机化、集装箱化, 并装 备上电力注浆泵的电动机和电子流量控制和计量仪表, 能够谨慎高效地把浆液注入地层。另外, 更强有力、多用途的钻 孔设备提高了准确性、灵活性和控制能力, 靠这些新设备来安装注浆管, 并降低管路安装的费用。在华盛顿城区运输地 铁 E 线施工中, 水平定向钻孔能力的提高, 能够在工作前方 61m 进行化学注浆而形成稳定砂层保护伞, 使隧道开挖顺利 通过。随着水平注浆管套管安装, 新的陀螺现场测量仪表用来证明管路位置正确, 保证浆液均匀注入。这种高新地层稳 定准备措施, 与随后用新奥法成功地开挖隧道是不可分割的, 说明化学注浆技术会继续取得进步。 52 中国矿业 1999年第 8卷第 2期