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弹性地基梁理论.ppt

弹性地基梁理论

稻香729
2012-11-16 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《弹性地基梁理论ppt》,可适用于高等教育领域

弹性地基梁理论概述概述定义:弹性地基梁是指搁置在具有一定弹性地基上各点与地基紧密相贴的梁。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等等。通过这种梁将作用在它上面的荷载分布到较大面积的地基上既使承载能力较低的地基能承受较大的荷载又能使梁的变形减小提高刚度降低内力。地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的也可以是竖放的地基介质可以是岩石、粘土等固体材料也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁其计算有专门的一套计算理论。荷载种类和组合荷载种类和组合弹性地基梁与普通梁的区别:弹性地基梁的计算模型弹性地基梁的计算模型计算模型分类:由于地基梁搁置在地基上梁上作用有荷载地基梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷因而梁底与地基表面存在相互作用反力的大小与地基沉降y有密切关系很显然沉降越大反力也越大因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系或者说如何选取弹性地基的计算模型问题。局部弹性地基模型半无限体弹性地基模型局部弹性地基模型年前后温克尔(EWinkler)对地基提出如下假设:地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即式中,y为地基的沉陷mk为地基系数其物理意义为:使地基产生单位沉陷所需的压强p为单位面积上的压力强度。这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。当地基表面上某一点受压力p时由于弹簧是彼此独立的故只在该点局部产生沉陷y而在其他地方不产生任何沉陷。因此这种地基模型称作局部弹性地基模型。()优点:可以考虑梁本身的实际弹性变形消除了反力直线分布假设中的缺点。局部弹性地基模型缺点:没有反映地基的变形连续性当地基表面在某一点承受压力时实际上不仅在该点局部产生沉陷而且也在邻近区域产生沉陷。由于没有考虑地基的连续性故温克尔假设不能全面地反映地基梁的实际情况特别对于密实厚土层地基和整体岩石地基将会引起较大的误差。但是如果地基的上部为较薄的土层下部为坚硬岩石则地基情况与图中的弹簧模型比较相近这时将得出比较满意的结果。半无限体弹性地基模型优点:缺点:本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解基本假设:弹性地基梁的挠度曲线微分方程式左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、宽度b为单位宽度的等截面直梁在荷载及Q作用下梁和地基的沉陷为梁与地基之间的反力为。在局部弹性地基梁的计算中通常以沉陷函数作为基本未知量地基梁在外荷载、Q作用下产生变形最终处于平衡状态选取坐标系xoy外荷载地基反力梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。弹性地基梁的挠度曲线微分方程式为建立应满足的挠曲微分方程在梁中截取一微段考察该段的平衡有:得:将上式对于x求导得:略去二阶微量得:()()()如果梁的挠度已知则梁任意截面的转角Q弯矩M剪力Q可按材料力学中的公式来计算即:弹性地基梁的挠度曲线微分方程式此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式令若地基梁宽度为b则有对应齐次微分方程的通解上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分方程令式中即得对应齐次微分方程:由微分方程理论知上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找四个线性无关的特解令并代入上式有:由复数开方根公式得:是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数反映了地基梁与地基的相对刚度对地基梁的受力特性和变形有重要影响通常把()()()对应齐次微分方程的通解由上式()分别令时k=,,时即可得四个线性无关的特解将其进行组合并引入四个积分常数即得齐次微分方程式()的通解利用双曲函数关系:且令则有式中B、B、B、及B均为待定积分常数式()和式()均为微分方程()的通解在不同的问题中有各自不同的方便之处。()()(一)初参数法初参数解由式()再据式()有()用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是把四个积分常数改用四个初参数来表示这样做的好处是:使积分常数具有明确的物理意义根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。初参数解(二)用初参数表示积分常数如图所示梁左端的四个边界条件(初参数)为()将上式代入式()解出积分常数得:()初参数解再将式()代入式()并注意则有()初参数解其中、、、称为双曲线三角函数它们之间有如下微分关系:式()即为用初参数表示的齐次微分方程的该式的一个显著优点是式中每一项都具有明确的物理意义如式()中的第一式中表示当原点有单位挠度(其他三个初参数均为零)时梁的挠度方程表示原点有单位转角时梁的挠度方程等等另一个显著优点是在四个待定常数、、、中有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出另两个待定初参数由另一端的边界条件来确定。这样就使确定参数的工作得到了简化。表列出了实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值。初参数解初参数解式()等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程式()等价于地基梁既有初参数作用又有外荷载作用的挠曲微分方程其特解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项。下面根据梁上作用的各种形式荷载分别加以讨论。弹性地基梁挠曲微分方程的特解(一)集中荷载作用的特解项、集中力作用的特解项。如图为一弹性地基梁O端作用有初参数、、、A点有集中力p。设y为OA段的挠度表达式y为AB段的挠度表达式由梁上无分布荷载作用故OA和AB段的挠曲微分方程分别为弹性地基梁挠曲微分方程的特解其中式(a)的解可用梁端初参数来表示即()式(b)的解可用初参数作用下的解y与集中力pi单独作用下引起的附加项叠加即将式()代入式(b)并注意式(a)有()比较式(a)和式(b)知式()解的形式与式 ()相同不同之处是将x换为四个初参数应解释为处的突变挠度转角弯矩剪力故有()弹性地基梁挠曲微分方程的特解由A点的变形连续条件和受力情况有代入式(),并据式()得()当时取特解项为零。弹性地基梁挠曲微分方程的特解、集中力偶mi作用的特解项。由pi作用下特解项的推导结果可知挠度附加项形式与初参数Q。作用下的挠度相同只是坐标起点与符号不同。同理在集中力偶mi作用下挠度附加项与初参数M。作用下挠度也具有相同的形式如图所示Mo=Mi故有当时取特解项为零。弹性地基梁挠曲微分方程的特解(二)分布荷载作用下的特解项分布荷载可分解成多个集中力按集中力求特解项为此在x截面左边离端点的距离为u处取微段du微段上荷载为qdu此微荷载在它右边的截面x处引起的挠度特解项为(如图)而x截面以左所有荷载引起的特解项为()下面讨论分布荷载的几种特殊情况。弹性地基梁挠曲微分方程的特解、均布荷载如图荷载均布于ab段对于oa段显然没有附加项当时积分限是由式()及式()有()当时积分限是(xa、xb)由式()及式()有()弹性地基梁挠曲微分方程的特解当荷载满跨均布时积分限是(o、x)故有()、三角形分布荷载如图所示三角形荷载分布于ab段有()当时积分限为,由式()及式 ()得弹性地基梁挠曲微分方程的特解()()当三角形荷载布满全跨时积分限是(o、x)有()、梁全跨布满梯形荷载的特解项。如图所示的地基梁在梯形荷载作用下的特解项只须把式()与式()两式叠加即可。弹性地基梁挠曲微分方程的特解弹性地基梁挠曲微分方程的特解(三)弹性地基梁在、、、、、、、共同作用下挠曲微分方程的通解如图所示的弹性地基梁同时作用有集中力、力偶、均布载、三角载时综合各种荷载的影响就可得出挠度的一般公式进行微分运算后还可得出转角、弯矩及剪力的一般公式即弹性地基梁挠曲微分方程的特解()弹性地基短梁、长梁及刚性梁弹性地基短梁、长梁及刚性梁短梁(又称有限长梁)(图(a))当弹性地基梁的换算长度时属于短梁它是弹性地基梁的一般情况。长梁:无限长梁(图(b))、半无限长梁(图(c))。当换算长度时属于长梁若荷载作用点距梁两端的换算长度均时可忽略该荷载对梁端的影响这类梁称为无限长梁若荷载作用点仅距梁一端的换算长度时可忽略该荷载对这一端的影响而对另一端的影响不能忽略这类梁称为半无限长梁无限长梁可化为两上半无限长梁。刚性梁((b))当换算长度时属于刚性梁。这时可认为梁是绝对刚性的即EI→∞或→。上节的结果能直接用于计算各种几何尺寸及弹性特征值的弹性地基等截面直梁。在工程实践中经计算比较及分析表明可根据不同的换算长度将地基梁进行分类然后采用不同的方法进行简化。通常将弹性地基梁分为三种类型。弹性地基梁的分类长梁、短梁和刚性梁的划分标准主要依据梁的实际长度与梁和地基的相对刚度之乘积划分的目的是为了简化计算。事实上长梁和刚性梁均可按上一节介绍的公式进行计算但长梁、刚性梁与短梁相比有其自身的一些特点较短梁相比计算可以进一步简化。长梁的计算(一)无限长梁作用集中力Pi的计算如图所示梁上作用有集中力Pi由于力作用点至两端点均满足故把梁看作无限长梁。又因梁上分布荷载为便于分析现采用梁挠曲方程齐次解式的形式即由条件又由对称条件知:考虑地基反力与外载Pi的平衡条件:式()可写为()最后可得无限长梁右半部分的挠度、转角、弯矩及剪力:长梁的计算()其中对于梁的左半部分只需将式()中Q和改变符号即可。(二)无限长梁在集中力偶mi作用下的计算如图(a)所示无限长梁作用集中力偶代入式()得A=A=A=及最后得无限长梁右半部分的变形及内力为:()对于左半部分只需将上式中y与M变号即可。(二)无限长梁在集中力偶mi作用下的计算(三)半无限长梁作用初参数的计算如图()所示的半无限长梁梁端作用有初参数因故可借助挠曲方程齐次解的结果为了方便分析采用式()的形式:由代入上式得故有B=BB=B最后得()如梁端作用有初参数、则可得、与、之间的关系为(三)半无限长梁作用初参数的计算(四)半无限长梁在梯形荷载作用下的计算如图所示的半无限长梁作用分布荷载q、△q挠曲方程为式()。容易验证是式()的一个特解故在梯形分布荷载作用下半无限长梁任一截面的变形与内力为:刚性梁的计算如图所示的则性梁梁端作用有初参数和并有梯形分布的荷载作用显然地基反力也呈梯形分布按静定梁的平衡条件可得刚性梁的变形与内力为:()算例例题如图所示两端自由的弹性地基梁长l=m宽b=mEI=×N.m地基的弹性压缩系数K=×kNm,求梁、及截面的弯矩。解:()判断梁的类型考虑集中载距右端为m故属短梁。()计算初参数据式()中M、Q表达式为将各数值代入后得()计算各截面的弯矩例题已知弹性地基梁DE长度l及弹性特征系数为已知作用荷载如图所示如果试求截面的挠度、转角、弯矩及剪力。解:()由于故为无限长梁。()求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形然后再叠加得出地基梁总内力和总变形。应当注意对于集中力作用情况要分清所求截面是作用点左边还是右边如所求截面在作用点左边则需将所求得的相应项改变符号。由式()和式()得谢谢

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