《概率论与数理统计 经管类》第四版 (吴赣昌 著) 课后习题答案 中国人民大学出版社

课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）2222 习题 1.11.11.11.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 CBA ,, 分别表示“第一次出现正面”，“两 次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 CBA ,, 中的样本 点。 解： {=Ω ((((正，正))))，（正，反），（反，正），（反，反） } {=A ((((正，正))))，（正，反） }； {=B （正，正），（反，反） } {=C ((((正，正))))，（正，反），（反，正） } 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 DCBA ,,, 分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事 件 DCBAB CCABAA B −−−+ ,,,, 中的样本点。 解： { })6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ⋯⋯⋯⋯=Ω ； { })1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=A B ； { })1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( ⋯=+ BA ； Φ=CA ； { })2,2(),1,1(=B C ； { })4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=−−− DCBA 3. 以 CBA ,, 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 CBA ,, 表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1111） CBA ； （2222） CA B ； （3333） CBACBACBA ++ ； （4444） B CACBACA B ++ ;;;; （5555） CBA ++ ； （6666） CBA ； （7777） CBACBACBACBA +++ 或 CBCABA ++ （8888） A B C ； （9999） CBA ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 321 ,, AAA 分别表示甲、乙、丙射中。试说 明下列事件所表示的结果： 2A , 32 AA + , 21 AA , 21 AA + , 321 AAA , 313221 AAAAAA ++ .... 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一 人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人 击中。 5. 设事件 CBA ,, 满足 Φ≠A B C ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： CBA ++ ， CA B + ， A CB − .... 解：如图： ? ? ? ? ? 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）3333 BCACB CABAB BCACBACABACB CCABCAB CBACBABCAABCCABCBACBACBA += += ++=− +=+ ++++++=++ ; ; 6. 若事件 CBA ,, 满足 CBCA +=+ ，试问 BA = 是否成立？举例说明。 解：不一定成立。例如： { }5,4,3=A ， { }3=B ， { }5,4=C ， 那么， CBCA +=+ ，但 BA ≠ 。 7. 对于事件 CBA ,, ，试问 CBACBA +−=−− )()( 是否成立？举例说明。 解：不一定成立。 例如： { }5,4,3=A ， { }6,5,4=B ， { }7,6=C ， 那么 { }3)( =−− CBA ，但是 { }7,6,3)( =+− CBA 。 8. 设 3 1)( =AP ， 2 1)( =BP ，试就以下三种情况分别求 )( ABP ： （1） Φ=AB ， （2） BA⊂ ， （3） 8 1)( =ABP .... 解： （1111） 2 1 )()()()( =−=−= ABPBPABBPABP ； （2222） 6 1 )()()()( =−=−= APBPABPABP ； （3333） 8 3 8 1 2 1 )()()()( =−=−=−= ABPBPABBPABP 。 9. 已知 4 1)()()( === CPBPAP ， 16 1)()( == BCPACP ， 0)( =ABP 求事件 CBA ,, 全不发生的概率。 CBA CBA CBA ABC BCA CAB CBA Ω A B C CBA ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）4444 解： ( ) )(1)( CBAPCBAPCBAP ++−=++= ==== [ ])()()()()()()(1 ABCPBCPACPABPCPBPAP +−−−++− 8 3 0 16 1 16 1 0 4 1 4 1 4 1 1 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−−−++−= 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车 经过三个路口，试求下列事件的概率： =A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全 绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 解： 27 1 333 111 )()()( = ×× ×× === CPBPAP ； 27 8 333 222 )()( = ×× ×× == EPDP ； 9 1 27 1 27 1 27 1 )( =++=FP ； 9 2 333 !3 )( = ×× =GP ； 9 8 9 1 1)(1)( =−=−= FPHP . 11. 设一批产品共 100件，其中 98件正品，2件次品，从中任意抽取 3件（分三 种情况：一次拿 3 件；每次拿 1件，取后放回拿 3次；每次拿 1件，取后不放回拿 3 次），试求： （1）取出的 3 件中恰有 1件是次品的概率； （2）取出的 3 件中至少有 1件是次品的概率。 解： 一次拿 3 件： （1111） 0588.0 3 100 1 2 2 98 == C CC P ； （2222） 0594.0 3 100 1 98 2 2 2 98 1 2 = + = C CCCC P ； 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （1111） 0576.03 100 982 3 2 =× × =P ； （2222） 0588.0 100 98 1 3 3 =−=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （1111） 0588.03 9899100 97982 =× ×× ×× =P ； （2222） 0594.0 9899100 969798 1 = ×× ×× −=P 12. 从 9,,2,1,0 ⋯ 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率： { }501 与三个数字中不含=A ， { }502 或三个数字中不含=A 。 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）5555 解： 15 7 )( 3 10 3 8 1 == C C AP ； 15 142 )( 3 10 3 8 3 9 2 = − = C CC AP 或 15 14 1)( 3 10 1 8 2 =−= C C AP 13. 从 9,,2,1,0 ⋯ 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的概 率。 解： 90 4145 4 10 2 8 3 9 = − = P PP P 14. 一个宿舍中住有 6位同学，计算下列事件的概率： （1）6 人中至少有 1人生日在 10 月份； （2）6人中恰有 4 人生日在 10月份； （3）6人中恰有 4 人生日在同一月份； 解： （1111） 41.0 12 11 1 6 6 =−= ̇P ； （2222） 00061.0 12 11 6 24 6 = × = ̇CP ； （3333） 0073.0 12 11 6 24 6 1 12 == ̇CCP 15. 从一副扑克牌（52张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3张牌中至少有 2 张花色相同的概率。 解： 602.0 3 52 1 39 2 13 1 4 3 13 1 4 = + = ̇ C CCCCC P 或 602.01 3 52 1 13 1 13 1 13 3 4 =−= ̇ C CCCC P ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）6666 习题 1.21.21.21.2解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果 不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 = i A “取到的是 i 等品”， 3,2,1=i 3 2 9.0 6.0 )( )( )( )( )( 3 1 3 31 31 ==== AP AP AP AAP AAP 。 2. 设 10件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2件，已知所取 2件产品中有 1件不 合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 =A “两件中至少有一件不合格”， =B “两件都不合格” 5 1 1)(1 )( )( )( )|( 2 10 2 6 2 10 2 4 = − = − == C C C C AP BP AP ABP ABP 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用 时，系统 I 和 II 有效的概率分别0.92和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效 的概率为 0.85，求 （1）两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （2）系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （3）在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解：令 =A “系统（Ⅰ）有效” ， =B “系统（Ⅱ）有效” 则 85.0)|(,93.0)(,92.0)( === ABPBPAP （1） )()()()( BAPBPBABPABP −=−= 862.085.0)92.01(93.0)|()()( =×−−=−= ABPAPBP （2） 058.0862.092.0)()()()( =−=−=−= ABPAPABAPABP （3） 8286.0 93.01 058.0 )( )( )|( = − == ̇ BP BAP BAP 4. 设 1)(0 << AP ，证明事件 A与B独立的充要条件是 )|()|( ABPABP = 证： ⇒： A∵ 与B独立， A∴ 与B也独立。 )()|(),()|( BPABPBPABP ==∴ )|()|( ABPABP =∴ ⇐： 1)(01)(0 <<∴<< APAP∵ 又 )( )( )|(, )( )( )|( AP BAP ABP AP ABP ABP ==∵ ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）7777 而由题设 )( )( )( )( )|()|( AP BAP AP ABP ABPABP =∴= 即 )]()()[()()](1[ ABPBPAPABPAP −=− )()()( BPAPABP =∴ ，故A与B独立。 5. 设事件 A与 B相互独立，两个事件只有 A发生的概率与只有 B发生的概率都 是 4 1 ，求 )(AP 和 )(BP . 解： 4 1 )()( == BAPBAP∵ ，又∵ A与B独立 ∴ 4 1 )()](1[)()()( =−== BPAPBPAPBAP 4 1 )](1)[()()()( =−== BPAPBPAPBAP 4 1 )()(),()( 2 =−=∴ APAPBPAP 即 2 1 )()( == BPAP 。 6. 证明 若 )(AP >0， )(BP >0，则有 （1）当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （2）当 A与 B不相容时， A与B不独立。 证明： 0)(,0)( >> BPAP （1）因为 A与B独立，所以 0)()()( >= BPAPABP ， A与B相容。 （2）因为 0)( =ABP ，而 0)()( >BPAP ， )()()( BPAPABP ≠∴ ， A与B不独立。 7. 已知事件 CBA ,, 相互独立，求证 BA∪ 与 C 也独立。 证明：因为 A 、 B 、 C 相互独立， ∴ )(])[( BCACPCBAP ∪∩∪ = )()()()]()()([ )()()()()()()( )()()( CPBAPCPABPBPAP CPBPAPCPBPCPAP ABCPBCPACP ∪=−+= −+= −+= BA∪∴ 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7，0.8和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令 321 ,, AAA 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 9.0)(,8.0)(,7.0)( 321 === APAPAP 令 B表示最多有一台机床需要工人照顾， 那么 )()( 321321321321 AAAAAAAAAAAAPBP +++= ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）8888 902.0 1.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0 )()()()( 321321321321 = ××+××+××+××= +++= AAAPAAAPAAAPAAAP 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 )10( << pp ，（称为元件的可 靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解：令 =A “系统（Ⅰ）正常工作” =B “系统（Ⅱ）正常工作” = i A “第 i个元件正常工作”， ni 2,,2,1 ⋯= ni AAAPAP 221 ,,,,)( ⋯= 相互独立。 那么 [ ])()()( 22121 nnnn AAAAAAPAP ⋯⋯ +++= ] [[ ] )2(2 )()()( )()()( 2 2 1 2 11 22122121 nnnn n i i n ni i n i i nnnnn PPPP APAPAP AAAPAAAPAAAP −=−= −+= −+= ∏∏∏ =+== ++ ⋯⋯⋯ )]())([()( 22211 nnnn AAAAAAPBP +××++= ++ ⋯ nn n i n i iniini n i ini PPPP APAPAPAP AAP )2(]2[ )]()()()([ )( 1 2 1 1 −=−= −+= += ∏ ∏ ∏ = = ++ = + 10. 10 张奖券中含有 4张中奖的奖券，每人购买 1 张，求 （1）前三人中恰有一人中奖的概率； （2）第二人中奖的概率。 解：令 = i A “第 i 个人中奖”， 3,2,1=i (1) )( 321321321 AAAAAAAAAP ++ 注：利用第 7题的方法可以证 明 )( ini AA ++ 与 )( jnj AA ++ ji ≠ 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 II 1 n+1 2 n+2 n 2n ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）9999 )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP ++= )|()|()( )|()|()()|()|()( 213121 213121213121 AAAPAAPAP AAAPAAPAPAAAPAAPAP + += 2 1 8 5 9 4 10 6 8 4 9 5 10 6 8 5 9 6 10 4 =××+××+××= 或 2 1 3 10 2 6 1 4 == C CC P （2） )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP += 5 2 9 4 10 6 9 3 10 4 =×+×= 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患者， 但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 ，每 10 000人中有 4人患有肝癌，试求： （1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率； （2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解： 令 =B “被检验者患有肝癌”， =A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么， 0004.0)(,10.0)|(,95.0)|( === BPBAPBAP （1） )|()()|()()( BAPBPBAPBPAP += 10034.01.09996.095.00004.0 =×+×= （2） )|()()|()( )|()( )|( BAPBPBAPBP BAPBP ABP + = 0038.0 1.09996.095.00004.0 95.00004.0 = ×+× × = ̇ 12. 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事件 的概率： （1）取到的 5 件产品中恰有2 件是优质品； （2） 在取到的 5件产品中已发现有 1件是优质品，这 5 件中恰有 2件是优质品。 解：令 = i B “5 件中有 i件优质品”， 5,4,3,2,1,0=i （1） 3087.0)7.0()3.0()( 32252 == ̇CBP （2） )( )( )|()|( 0 02 02 5 1 2 BP BBP BBPBBP i i == = ∪ 371.0 )7.0(1 3087.0 )(1 )( 5 0 2 = − = − = ̇ BP BP ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）10101010 13. 每箱产品有10 件，其次品数从 0到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取1 件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1 件正品被 误检是次品的概率是 2%，1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： （1）抽取的 1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。 解：令 =A “抽取一件产品为正品” = i A “箱中有 i件次品”， 2,1,0=i =B “该箱产品通过验收” （1） 9.0 10 10 3 1 )|()()( 2 0 2 0 = − ×== ∑∑ == ii ii i AAPAPAP （2） )|()()|()()( ABPAPABPAPBP += 887.005.01.098.09.0 =×+×= 14. 假设一厂家生产的仪器，以概率 0.70可以直接出厂，以概率 0.30需进一步调 试，经调试后以概率 0.80可以出厂，并以概率 0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新 生产了 )2( ≥nn 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有 2件不能出厂的概率； （3）其中至少有 2件不能出厂的概率。 解：令 =A “仪器需进一步调试” ； =B “仪器能出厂” =A “仪器能直接出厂” ； =AB “仪器经调试后能出厂” 显然 ABAB += ， 那么 8.0)|(,3.0)( == ABPAP 24.08.03.0)|())( =×== ABPPAABP 所以 94.024.07.0)()()( =+=+= ABPAPBP 令 = i B “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”， ni ,,1,0 ⋯= （1） n n BP )94.0()( = （2） 2222222 )06.0()94.0()06.0()94.0()( −−− − == n n nn nn CCBP （3） nn nnn n k k CBPBPBP )94.0()94.0(06.01)()(1)( 111 2 0 −−=−−= −− − = ∑ 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 p ，试求以下事件 的概率： （1）直到第 r次才成功； （2）第 r次成功之前恰失败 k次； （3）在 n次中取得 )1( nrr ≤≤ 次成功； ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）11111111 （4）直到第 n 次才取得 )1( nrr ≤≤ 次成功。 解： （1） 1)1( −−= rppP （2） krr kr ppCP )1(1 1 −= − −+ （3） rnrr n ppCP −−= )1( （4） rnrr n ppCP −− − −= )1( 1 1 16. 对飞机进行 3次独立射击，第一次射击命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次为 0.7.... 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解：令 = i A “恰有 i 次击中飞机”， 3,2,1,0=i =B “飞机被击落” 显然： 09.0)7.01)(5.01)(4.01()( 0 =−−−=AP 36.0 7.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)( 1 = ×−×−+−××−+−×−×=AP 41.0 7.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)( 2 = ××−+×−×+−××=AP 14.07.05.04.0)( 3 =××=AP 而 0)|( 0 =ABP ， 2.0)|( 1 =ABP ， 6.0)|( 2 =ABP ， 1)|( 3 =ABP 所以 458.0)|()()( 3 0 ==∑ =i ii ABPAPBP ； 542.0458.01)(1)( =−=−= BPBP ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）12121212 习题 1.31.31.31.3解答 1. 设 X 为随机变量，且 k kXP 2 1)( == ( ⋯,2,1=k ), 则 （1）判断上面的式子是否为 X 的概率分布； （2）若是，试求 ）为偶数XP( 和 )5( ≥XP .... 解：令 ⋯,2,1, 2 1 )( ==== kpkXP k k （1）显然 10 ≤≤ k p ，且 1 12 1 2 1 2 1 11 = − ==∑∑ ∞ = ∞ = k k k k p 所以 ⋯,2,1, 2 1 )( === kkXP k 为一概率分布。 （2） XP( 为偶数 3 1 12 1 ) 4 1 4 1 1 2 1 2 =− === ∑∑ ∞ = ∞ = k k k k p 16 1 12 1 )5( 2 1 2 1 55 5 = − ===≥ ∑∑ ∞ = ∞ = k k k k pXP 2.设随机变量 X的概率分布为 λ λ −== e k C kXP k ! )( ( ⋯,2,1=k ), 且 0>λ ，求 常数 C . 解： 1 !1 =− ∞ = ∑ λ λ e k c k k ∵ ，而 1 !0 =− ∞ = ∑ λ λ e k k k 1 !0 1 0 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∴ −λ λ ec ，即 1)1( −−−= λec 3. 设一次试验成功的概率为 )10( << pp ，不断进行重复试验，直到首次成功为 止。用随机变量 X 表示试验的次数，求 X的概率分布。 解： ⋯,2,1,)1()( 1 =−== − kppkXP k 4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1，当生产过程中出现废品时 立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求 （1） X 的概率分布； （2） )5( ≥XP 。 解： （1） ⋯,2,1,0,1.0)9.0()1()( =×=−== kppkXP kk （2） 5 55 )9.0(1.0)9.0()()5( =×===≥ ∑∑ ∞ = ∞ = k k k kXPXP 5. 一张考卷上有 5 道选择题，每道题列出 4个可能答案，其中有 1 个答案是正确 的。求某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）13131313 解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为 4 1 =p ，所以这是一个 5=n , 4 1 =p 的 独立重复试验。 64 1 ) 4 3 () 4 1 ( 4 3 ) 4 1 ()4( 0555 44 5 =+×=≥ CCXP 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发 生故障的概率为 0.01，各台设备工作情况相互独立。 （1）若由 1人负责维修 20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备 100 台，1 台发生故障由 1人处理，问至少需配备多少维修人员， 才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过 0.01？ 解： （1） 0175.0)99.0(01.020)99.0(1 1920 ≈××−− （按 Poisson (泊松)分布近似） （2） λ==×== 101.0100,100 npn （按 Poisson (泊松)分布近似） 01.0 ! 1 )99.0()01.0()1( 100 1 1100 1 100 100 ≤ × ≈=+≥ ∑∑ += − += − Nk k Nk kkk k e CNXP 查表得 4=N 7. 设随机变量 X 服从参数为λ 的 Poisson(泊松)分布，且 2 1)0( ==XP ，求 （1） λ ； （2） )1( >XP .... 解： 2ln, 2 1 !0 )0( 0 =∴=== − λ λ λ eXP∵ )]1()0([1)1(1)1( =+=−=≤−=> XPXPXPXP )2ln1( 2 1 ]2ln 2 1 2 1 [1 −=+−= 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数 X服从 Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本 书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4页，每页上都没 有印刷错误的概率。 解： )2()1( === XPXP∵ ，即 2, !2!1 21 == −− λ λλ λλ ee 20 −==∴ eXP ）（ 842 )( −− ==∴ eeP 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的 Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求 （1）某一天从中午 12时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午 12时至下午 5 时收到 1次紧急呼救的概率； 9. 在长度为 t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数 X服从参数为 2 t 的 Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求 （1）某一天从中午 12时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午 12时至下午 5 时收到 1次紧急呼救的概率； ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）14141414 解： （1） 2 3 )0( 2 3 ,3 − ==== eXPt λ （2） 2 5 1)0(1)1( 2 5 ,5 − −==−=≥== eXPXPt λ 10. 已知 X 的概率分布为： X -2 -1 0 1 2 3 P 2a 10 1 3a a a 2a 试求（1） a ； （2） 12 −= XY 的概率分布。 解： （1） 123 10 1 2 =+++++ aaaaa∵ 10 1 =∴a 。 （2） Y 1− 0 3 8 P 10 3 5 1 10 3 5 1 11. 设连续型随机变量 X 的概率密度曲线如图 1.3.8 所示. 试求:（1） t 的值； （2） X 的概率密度； （3） )22( ≤<− XP .... 解： （1） 135.0 2 1 5.0)( 2 1 =××+×−t∵ 1−=∴ t f (x) 图 1.3.8 x t o 1 2 3 0.5 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）15151515 （2） ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈+− −∈+ = 其它，0 )3,0[, 2 1 6 1 )0,1[, 2 1 2 1 )( xx xx xf （3） 12 11 ) 2 1 6 1 () 2 1 2 1 ()22 0 1 2 0 =+−++=≤<− ∫ ∫ − dxxdxxXP（ 12. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ = 其他,0 0,sin )( axx xf 试确定常数 a 并求 ) 6 ( π>XP .... 解：令 1)( =∫ +∞ ∞− dxxf ，即 1sin 0 =∫ dxx a 1cos 0 =−∴ a x ，即 2 ,0cos π == aa 2 3 |cossin) 6 ( 2 6 2 6 =−==> ∫ π π π π π xxdxXP 13. 乘以什么常数将使 xx e +− 2 变成概率密度函数? 解：令 1 2 =∫ +∞ ∞− +− dxce xx 即 14 1 ) 2 1 ( 2 =∫ +∞ ∞− −− dxeec x 即 14 1 =πce 4 11 − =∴ ec π 14. 随机变量 ),(~ 2σµNX ，其概率密度函数为 6 442 6 1)( +−− = xx exf π ( +∞<<∞− x ) 试求 2,σµ ；若已知 ∫∫ ∞− +∞ = C C dxxfdxxf )()( ，求C .... 解： 2 22 )3(2 )2( 6 44 32 1 6 1 )( − −+−− == x xx eexf ππ ∵ 2=∴µ ,,,, 32 =σ ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）16161616 若 ∫∫ ∞− +∞ = c c dxxfdxxf )()( ，由正态分布的对称性 可知 2== µc . 15. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ = 其他,0 10,2 )( xx xf 以Y 表示对 X 的三次独立重复试验中“ 2 1≤X ”出现的次数，试求概率 )2( =YP . 解： 4 1 2) 2 1 ( 2 1 0 ==≤ ∫ xdxXP 64 9 ) 4 3 () 4 1 ()2( 223 === CYP 。 16. 设随机变量 X 服从[1,5]上的均匀分布，试求 )( 21 xXxP << . 如果 （1） 51 21 <<< xx ； （2） 21 51 xx <<< .... 解： X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤= 其他,0 51, 4 1 )( xxf （1） ∫ −==<< 2 1 221 )1(4 1 4 1 )( x xdxxXxP （2） ∫ −==<< 5 121 1 )5( 4 1 4 1 )( x xdxxXxP 17. 设顾客排队等待服务的时间 X （以分计）服从 5 1=λ 的指数分布。某顾客等 待服务，若超过 10 分钟，他就离开。他一个月要去等待服务 5次，以Y 表示一个月内 他未等到服务而离开的次数，试求 Y 的概率分布和 )1( ≥YP .... 解： 2 10 5 1 ]1[1)10(1)10( − ×− =−−=<−=≥ eeXPXP 5,4,3,2,1,0,)1()()( 5225 =−==∴ −−− keeCkYP kkk 5167.0)1(1)1( 52 ≈−−=≥ −eYP ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）17171717 习题 1.41.41.41.4解答 1. 已知随机变量 X 的概率分布为 2.0)1( ==XP ， 3.0)2( ==XP ， 5.0)3( ==XP ，试求 X 的分布函数； )25.0( ≤≤ XP ；画出 )(xF 的曲线。 解： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤ <≤ < = 3,1 32,5.0 21,2.0 1,0 )( x x x x xF ； 5.0)25.0( =≤≤ XP )(xF 曲线： 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤ <≤− −< = 3 31 11 1 ,1 ,8.0 ,4.0 ,0 )( x x x x xF 试求:（1） X 的概率分布； （2） )1|2( ≠< XXP .... 解： （1） X 1− 1 3 P 4.0 4.0 2.0 （2） 3 2 )1( )1( )1|2( = ≠ −= =≠< XP XP XXP 3. 从家到学校的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独 立的，且概率均是 0.4，设 X 为途中遇到红灯的次数，试求（1） X 的概率分布；（2） X 的分布函数。 x )(xF 0 1 2 3 2.0 5.0 1 ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）18181818 解： （1） 3,2,1,0,) 5 3 () 5 2 ()( 33 === − kCkXP kkk 列成 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 X 0 1 2 3 p 125 27 125 54 125 36 125 8 （2） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤ <≤ <≤ < = 3,1 32, 125 117 21, 125 81 10, 125 27 0,0 )( x x x x x xF 4. 试求习题 1.3中第 11 题 X 的分布函数，并画出 )(xF 的曲线。 解： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤++− <≤−++ −< = 31 30 4 1 2 1 12 1 01 4 1 2 1 4 1 10 )( 2 2 x xxx xxx x xF 5. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ >+ = − 0 0 ,0 , )( 2 x x BeA xF x 　　 1 x )(xF 0 2 3 25.0 1 1− ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）19191919 试求:（1） BA, 的值； （2） )11( <<− XP ； （3）概率密度函数 )(xf . 解： （1） 11)(lim)( 2 =∴=+=+∞ − +∞→ ABeAF x x ∵ 又 10)0()(lim 2 0 −=−=∴==+ − → + ABFBeA x x ∵ （2） 21)1()1()11( −−=−−=<<− eFFXP （3） ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > == − 0,0 0,2 )(')( 2 x xe xFxf x 6. 设 X 为连续型随机变量，其分布函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤++ < = ., ;1,ln ;1, )( exd exdcxxbx xa xF 试确定 )(xF 中的 dcba ,,, 的值。 解： 10)( =∴=−∞ aF∵ 又 11)( =∴=+∞ dF∵ 又 10)1ln(lim 1 −=∴==++ −→ cacxxbx x ∵ 又 111)1ln(lim =+−∴==+− −→ ebedxxbx ex ∵ 即 1=b 7. 设随机变量 X 的概率密度函数为 )1( )( 2 x a xf + = π ，试确定 a 的值并求 )(xF 和 )1( t etXPtXPtF 1.01)(1)()( −−=>−=≤=∴ 当 0XP ；（3） )4( −XP .... 解： （1） 8051.0) 4 44.3 () 4 )1(44.2 ()44.2( =Φ= −− Φ=< ̇XP （2） )5.1(1)5.1( −≤−=−> XPXP 5498.0) 8 1 (1) 4 15.1 (1 =−Φ−= +− Φ−= ̇ （3） ) 4 14 () 4 14 ()4|(| +− Φ− + Φ=+<=><=>− XPXPXXPXP ∪ ) 4 12 (1) 4 10 ( + Φ−+ + Φ= 8253.0) 4 3 (1) 4 1 ( =Φ−+Φ= ̇ 10. 某科统考成绩 X 近似服从正态分布 )10,70( 2N ，第 100名的成绩为 60 分， 问第 20名的成绩约为多少分？ 解： 100 20 )60|( =≥≥ XxXP∵ 而 [ ] )60( )( )60( )60()( )60|( ≥ ≥ = ≥ ≥≥ =≥≥ XP xXP XP XxXP XxXP ∩ 又 ∵ 8413.0)1( 10 7060 1)60( =Φ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ−=≥ ̇XP 16826.08413.02.0)( =×=≥∴ xXP 即 16826.0)1( 10 70 1)( =Φ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ−=≥ x xXP 83174.0 10 70 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ∴ x ， 96.0 10 70 ≈ −x ， 6.79≈x ? ? ? ? ? w w w .h a c k s h p .c n 课后答案网（http://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.comhttp://www.khdaw.com）21212121 11. 设随机变量 X 和Y 均服从正态分布， )4,(~ 2µNX ， )5,(~ 2µNY ，而 )4(1 −≤= µXPp ， )5(2 +≥= µYPp ，试证明 21 pp = .... 证明： )1( 4 4 )4(1 −Φ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− Φ=−≤= µµ µXPp∵ )1()1(1 5 5 1)5(2 −Φ=Φ−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ Φ−=+≥= µµ µYPp 21 pp =∴ . 12. 设随机变量 X 服从[a,b]上的均匀分布，令 dcXY += ( )0≠c ，试求随机变 量Y 的密度函数。 解： ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − ≤⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 其它,0 , || 1 )( b c dy a cc dy f yf X Y 当 0>c 时， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤≤+ −= 其他,0 , )( 1 )( dcbydac abc yf Y 当 0