第三章 函数极限 - 数分

null第三章 函数极限 §1 函数极限概念 §2 函数极限的性质 §3 函数极限存在的条件 §4 两个重要极限 §5 无穷小量与无穷大量第三章 函数极限第三章 函数极限第三章 函数极限§1 函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限null通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.null1、定义：null2、另两种情形:null3、几何解释:null例1证二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限null1、定义：null2、几何解释:注意：null例2证例3证null例3证函数在点x=1处没有定义.null例4证null3.单侧极限:例如,null左极限右极限null左右极限存在但不相等,例5证四、小结四、小结函数极限的统一定义(见下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf )nullnull思考题null思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.null练 习 题nullnull (1), 自变量趋于有限值时函数的极限; 作业 3.小结 (2), 自变量趋于无穷大时函数的极限; (3), 函数极限的几何意义; (4), 单侧极限的概念; (5), 应用函数极限的定义验证函数极限的方法; P47: 1, 3, 4, 5, 6, 7.第三章 函数极限第三章 函数极限 §2 函数极限的性质 函数极限的性质 函数极限的性质 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 证明1.局部有界性null 如果当xx0时f(x)的极限存, 那么这极限是唯一的证明2.唯一性null 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数r0 (或f(x) -r < 0) 证明推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 3.局部保号性null证明4.保不等式性null 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 证明5.迫敛性null (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]=climf(x) 推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n  如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么6.极限的四则运算法则 (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB null7函数极限与数列极限的关系 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足xn x0(nN) 那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛 且 null8.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理null证null例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.null例7证null二者不相等,null求极限举例讨论 提示 解 >>> 解 null 解 解 根据无穷大与无穷小的关系得 因为null讨论 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) null先用x3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 解: null讨论提示 解 所以null 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 是无穷小与有界函数的乘积 null (1), 唯一性; 作业 小结 (2), 局部有界性; (3), 局部保号性; (4), 保不等式性; (5), 迫敛性; P47: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 , 9 . (6), 四则运算法则; (7), 函数极限与数列极限的关系; (8), 复合函数的四则运算法则 .第三章 函数极限第三章 函数极限§3 函数极限存在的条件一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则证null上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限null注意:准则 和准则 '称为夹逼准则.null解由夹逼定理得null2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:null例2证(舍去)第三章 函数极限第三章 函数极限§4 两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限nullnull注: 这是因为 令u=a(x) 则u0 于是 第一个重要极限null 解 解 nullnull null 练习1.求下列极限:nullnull用e表示该数,e是无理数。e=2.718281828…null注意：null定义第二个重要极限null类似地,nullnullnull例6, 求极限 解：null解：null解：null例9解例10解null 练习2.求下列极限:null练习nullnull小结： null作业:P58: 1 (1)~(10), 2 (1)~(6) , 3, 4 (1)~ (2) .三、小结三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则; 单调有界准则 .null思考题求极限null思考题解答null一、填空题:练 习 题nullnullnull第三章 函数极限第三章 函数极限§5 无穷小量与无穷大量一、无穷小则称f (x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo , x的极限符号“ lim” 表示任一极限过程).定义1. 若lim f (x)=0,一、无穷小一、无穷小一、无穷小1、定义:极限为零的变量称为无穷小.null例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;null注2：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量,小量, 但如sinx是x0时的无穷null注3：由于limC = C(常数), 注4：0是任何极限过程的无穷小量.所以, 除0外的任何常数不是无穷小量.null2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性null意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证null注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.null定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证null推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.null二、无穷大量定义2：若 >0(无论多么大), 记作： >0(或X>0), 当0<|x–xo|<(或|x|>X)时，有|f (x)|>M,则称f (x)是x x0(或x )时的无穷大量. null若以“ f (x)>M ”代替定义中的 “ |f (x)|>M ”, 就得到正无穷大量的定义. 若以“ f (x)< – M ”代替定义中的 “ |f (x)|>M ”,就得到负无穷大量的定义.分别记作：null特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.null不是无穷大．无界，null证null例2: 试从函数图形判断下列极限.null解： (1)xyy = tgxxynullnull(2) xxyyx+x–nullnull注1：若在定义2中，将“ f (x)” 换成“ xn” ,注2：若lim f (x)=, 将“ X” 换成“ N” ,将“ x” 换成就得到数列xn为无穷大量定义.“ n”,则表示在该极限过程中f (x)的极限不存在. null注3：不能脱离极限过程谈无穷大量. 注4：无穷大量一定是无界量, 任何常量都不是无穷大量.但无界量不一定是无穷大量.null 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 >0, x0(–, +)，使得|x0sinx0|>M即可.nullnull三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证null意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、无穷小的性质 证明 设及是当xx0时的两个无穷小 则 0 10当0|xx0|1 时 有||  20 当0|xx0|2 时 有||  取 min{1 2} 则当0|xx0|时 有 这说明 也是当xx0时的无穷小 ||||||2  定理1 有限个无穷小的和也是无穷小仅就两个xx0时的无穷小情形证明 举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小 四、无穷小的性质四、无穷小的性质 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|1}内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有||  取min{1 2} 则当0|xx0| 时 有 |u||u|||M  这说明u 也是当xx0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小四、无穷小的性质四、无穷小的性质举例: 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 四、无穷小的性质五、无穷小的比较五、无穷小的比较 观察两个无穷小比值的极限观察与比较 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 null无穷小的阶 设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 null阶的比较举例所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0) 所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小 null所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin x~x(x0) 阶的比较举例null定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) 关于等价无穷小的定理 必要性: 证明 所以b –a=o(a)因为设a~b 只需证b –a=o(a) 充分性: 设b=a+o(a) 则 因此a~b null所以当x0时 有 sin x=x+o(x) tan x=xo(x) 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) 关于等价无穷小的定理 null定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) 关于等价无穷小的定理 定理2 证明 null 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 定理2的意义:定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) 关于等价无穷小的定理 定理2 null 解 当x0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 解 当x0时sin x~x 无穷小x3+3x与它本身显然是等价的 所以 六、小结六、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大.null思考题null思考题解答不能保证.null练 习 题nullnull练习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 作业 P66: 1, 2, 3, 5, 6..