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用区间套定理证明 Rolle 定理、Lagrange 定理
许在库
(安徽交通职业技术学院 基础科学系 ,安徽 合肥 230051)
摘 要 :Rolle 定理和Lagarange 定理是两个重要的微分中值定理 ,它们是 Cauchy 定理的基
础 ,进一步为 L’Hospital 法则求极限提供了理论依据. 它们还是研究函数增减性、凹凸性的基
础.它在整个微分学中起着把微分的概念和方法应用于许多数学物理问题的桥梁作用. 本文
用区间套定理给出它的另一种证明.
关键词 :区间套定理 ;Rolle 定理 ;Lagrange 定理
中图分类号 :O155 文献标识码 :A 文章编号 :1000 - 2162 (2003) 02 - 0018 - 04
0 引 言
Rolle 微分中值定理与Lagrange 微分中值定理是数学分析中的两个非常重要的定理 ,在
微分学中有很多应用. 关于这两个定理的证明 ,传统的方法是利用费马定理. 探索用新的方
法证明这两个定理 ,是一个非常有意义的问题. 本文利用区间套定理对它给出一种新的证
明. 在我们的证明中还涉及到介值定理.
介值定理[1 ] 设函数 f ( x) 在闭区间[ a ,b ]上连续 ,且在这区间的端点取不同的函数值
f ( a) = A , f ( b) = B ,那么 ,对于 A 与B 之间的任一个数C ,在开区间 ( a , b) 内至少有一点ξ,
使得 f (ξ) = C.
区间套定理[2 ] 若一系列闭区间{[ an , bn ]} 满足条件 :
(1) 一个套一个 ,即[ an+1 , bn+1 ] < [ an , bn ] ,用不等式表达为 an ≤an+1 < bn+1 ≤bn , n =
1 ,2 ,3 , ⋯;
(2) 区间的长度单调趋与零 ,即 lim
n →∞
( bn - an ) = 0 ,则存在实数ξ,使 lim
n →∞
an =ξ= lim
n →∞
bn ,
并且这个ξ是所有闭区间[ an , bn ] 的唯一公共点.
1 用区间套定理证明 Rolle 微分中值定理
Rolle 定理[3 ] 如果函数 f ( x) 满足 : (1) 在闭区间[ a , b ] 上连续 ; (2) 在开区间 ( a , b) 内
可导 ; (3) 在区间端点的函数值相等 ,即 f ( a) = f ( b) ,那么在 ( a , b) 内至少有一点ξ,使得
f′(ξ) = 0.
引理 1 设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a) = f ( b) , 则存在 c , d ∈ [ a , b ] , 满足
d - c = b - a2 及 f ( c) = f ( d) .
收稿日期 :2002 - 12 - 20
作者简介 :许在库 (1966 - ) ,男 ,安徽肥东人 ,安徽交通职业技术学院讲师.
2003 年 6 月
第 27 卷 第 2 期
安徽大学学报 (自然科学版)
Journal of Anhui University Natural Science Edition
June 2003
Vol. 27 No. 2
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证明 考虑函数
G( x) = f ( x + b - a2 ) - f ( x) (1)
G( a) = f ( a + b - a2 ) - f ( a) = f (
b + a
2 ) - f ( a)
G( a + b2 ) = f (
a + b
2 +
b - a
2 ) - f (
a + b
2 ) = f ( b) - f (
a + b
2 )
∵f ( a) = f ( b)
∴G( a) = - G( a + b2 ) (2)
情形 1 :若 G( a) = 0 ,取 c = a , d = a + b2 ,可得 d - c =
b - a
2 , f ( c) = f ( d) ;
情形 2 :若 G( a) ≠0 ,则有介值定理得 ,存在 x0 使 G( x0 ) = 0 ,即
f ( x0 + b - a2 ) - f ( x0 ) = 0 ,取 c = x0 , d = x0 +
b - a
2 ,可得结论正确 ,证毕.
引理 2 设 f ( x) 在[ a , b ] 上连续 ,且 f ( a) = f ( b) ,则存在 c , d ∈ ( a , b) ,使得
f ( c) = f ( d) ,且 0 < d - c < 23 ( b - a)
证明 由引理 1 可知 ,只要证明 c , d 不取端点 a , b 且 d 取较大的数值.
当 c = a , d = a + b2 时 ,我们考虑它们的中点
3 a + b
4 ,若 f (
3 a + b
4 ) = f (
a + b
2 ) ,取
C = 3 a + b4 , d =
a + b
2 ,否则令 f (
3 a + b
4 ) = A , f (
a + b
2 ) = B ,不妨设 A > B ,对 A , B 之
间的数 C ,总有 x1 ∈( a ,3 a + b4 ) , x2 ∈(
3 a + b
4 ,
a + b
2 ) ,使得 f ( x1 ) = C , f ( x2 ) = C ,这时
取 c = x1 , d = x2 , d - c < b - a2 <
2
3 ( b - a) ,且 f ( c) = f ( d) . 证毕.
Rolle 定理的证明 反复使用引理 2 ,可得到区间序列 {[ an , bn ]} 满足 :
(1) [ a , b ] = [ a1 , b1 ] = [ a2 , b2 ] = ⋯;
(2) f ( an ) = f ( bn ) ;
(3) bn - an < ( 23 )
n ( b - a) .
由区间套定理必有ξ∈ ( a , b) ,使得 lim
n →∞
an = lim
n →∞
bn = ξ且 an < ξ < bn
因为 f ( an ) = f ( bn ) ,所以
f ( an ) - f (ξ)
an - ξ ·
f ( bn ) - f (ξ)
bn - ξ ≤0 (3)
又因为 f ( x) 在ξ点处可导 ,故
lim
n →∞
f ( an ) - f (ξ)
an - ξ = limn →∞
f ( bn ) - f (ξ)
bn - ξ = f′(ξ) (4)
所以 f′(ξ) = 0
91第 2 期 许在库 :用区间套定理证明 Rolle 定理、Lagrange 定理
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2 用区间套定理证明 Lagrange 微分中值定理
Lagrange 定理[4 ] 如果函数 f ( x) 满足 : (1) 在闭区间[ a , b ] 上连续 ; (2) 在开区间 ( a ,
b) 内可导 ; 那么在区间 ( a , b) 内至少有一点ξ( a < ξ < b) ,使得等式 f ( b) - f ( a) =
f′(ξ) ( b - a) 成立。
引理 3 若 f ( x) 在[ a , b ] 上连续 ,则存在 c , d ∈ ( a , b) ,使得
d - c = b - a2
且
f ( d) - f ( c)
d - c =
f ( b) - f ( a)
b - a
证明 考虑函数
F( x) = f ( x + b - a2 ) - f ( x) -
f ( b) - f ( a)
2 (5)
F( a) = f ( a + b - a2 ) - f ( a) -
f ( b) - f ( a)
2 = f (
a + b
2 ) -
f ( b) + f ( a)
2
F ( b + a2 ) = f (
b + a
2 +
b - a
2 ) - f (
b + a
2 ) -
f ( b) - f ( a)
2 =
f ( b) + f ( a)
2 - f (
a + b
2 )
情形 1 :若 F(a) = 0 ,则取 c = a ,d = a + b2 ,可得
d - c = b - a2 ,且
f ( d) - f ( c)
d - c =
f ( b) - f ( a)
b - a
情形 2 :若 F(a) ≠0 ,则由介值定理得 :存在 x0 ∈ ( a , a + b2 ) , F ( x0 ) = 0
此时取 c = x0 , d = x0 + a + b2 ,可得
d - c = b - a2 ,且
f ( d) - f ( c)
d - c =
f ( b) - f ( a)
b - a
Lagrange 定理的证明 反复使用引理 3 可得区间序列{[an ,bn ]} ,满足
(1) [ a ,b ] = [ a1 ,b1 ] = [ a2 ,b2 ] = ⋯
(2) bn - an = 12n (b - a)
(3) f (bn) - f (an )bn - an =
f (b) - f (a)
b - a
由引理 3 的证明可以得到 a < a2 < b2 < b ,因为若 a1 = a ,b1 = a + b2 ,在此基础上仍出现
F(a1 ) = 0 ,可取 a2 = a1 + b12 ,b2 =
a + b
2
由区间套定理得必有ξ∈ (a ,b) ,使得
lim
n →∞
an = lim
n →∞
bn = ξ, an < ξ < bn
因为 f (x)在ξ处可微 ,所以
02 安徽大学学报 (自然科学版) 第 27 卷
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lim
n →∞
f ( bn ) - f (ξ)
bn - ξ = limn →∞
f ( an ) - f (ξ)
an - ξ = f′(ξ) (6)
从而 f ( bn ) - f (ξ) = f′(ξ) ·( bn - ξ) + o ( bn - ξ)
f ( an ) - f (ξ) = f′(ξ) ·( an - ξ) + o ( an - ξ) ( n →∞)
o ( an - ξ) 表示 ( an - ξ) 的高阶无穷小量。
故有
f ( bn ) - f ( an )
bn - an
= f′(ξ) + o ( bn - ξ)bn - an -
o ( an - ξ)
bn - an
(7)
lim
n →∞
o ( bn - ξ)
bn - an
= lim
n →∞
o ( bn - ξ)
bn - ξ ·
bn - ξ
bn - an
= 0 (8)
类似有
lim
n →∞
o ( an - ξ)
bn - an
= lim
n →∞
[ o ( an - ξ)
an - ξ ·
an - ξ
bn - an
] = 0 (9)
所以 lim
n →∞
f ( bn ) - f ( an )
bn - an
= f′(ξ)
再由 (3) 可得 f ( b) - f ( a) = f′(ξ) ( b - a)
参考文献 :
[1 ] 同济大学应用数学系编. 高等数学[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1987.
[2 ] 欧阳光中 ,朱学炎 ,秦曾复编. 数学分析[M] . 上海 :上海科学技术出版社 ,1982.
[3 ] 同济大学应用数学系编. 高等数学[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1987.
[4 ] 同济大学应用数学系编. 高等数学[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1987.
Prove Rolle and Lagrange theorems with nestal theorem
XU Zai - ku
(Basic Science Department ,Anhui Communications
Vocational and Technical College ,Hefei 230051 ,China)
Abstract :Rolle theorem and Lagrange theorem are two important theorems in the calculus ,they
are the base of the Canchy theorem , and they provide theoretic basis for L’Hospital rules to calculating
limit , they are also the basis for analyzing function increase and decrease or concavity - convexity.
They play an important roll in putting the calculus principle and method into the use of mathematical
and physical equation. In this essay , the author reproves them with nestal Interval theorem.
Key words :nestal theorem ;Rolle theorem ;Lagrange theorem
12第 2 期 许在库 :用区间套定理证明 Rolle 定理、Lagrange 定理
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