第四章-曲线坐标系下张量分析

76 第四章：曲线坐标系张量分析 张量场函数：  T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾： 笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 1 2 31 2 3x x x  r e e e ix 坐标线：只变化一个坐标 ix 时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。 当  i i 1 2 3x x , ,    ， 1 ， 2 ， 3 坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： i i    r g 所以： k i ki x   g e ' ' ' k i i i i ik ii x         eg g j j mmx    g e ' ' ' j j j j j mm j j x         g e g 原因： k j m jj j mm ii j i ii k m x xx x                   e eg g 曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数 基矢量的导数 基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： j k k ij k ij,ki       g g g 其中组合系数 k ij 称为第二类 Christoffel 符号 ij,k 称为第一类 Christoffel 符号 Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上： jk k ij i      g g j ij,k ki      g g 77 ① 指标对称性 第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标） 对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。然而，根据协变基矢量的定义： j j    r g 可得： 2 j k k ki i k k ij jii j j                 g r g g g g 2 j i k k ki i jij,k ji,j k                 g r g g g g 说明 Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。 ②不是张量 在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类 Christoffel 符号全部为零。 如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 ② 两类 Christoffel 符号之间的联系 由于 Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升 降。 k j jk k km km ij m ij,mi i j j m m ij,k km km iji i g g g g                       g g g g g g g g ④逆变基矢量的导数 由 i ij j  g g 可知： i j i jk k 0        gg g g 从而 i i j kjk      g g i i j kjk      g g （逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号） 78 ⑤与度量张量分量导数之间的关系 ki kj,i ij ji j ik k k , j g             gg g g (a) jk ij,k ik, ji g      (b) jk ki ij,kj ,i g    (c) (b)+(c)-(a) jk ijkiij,k i j k g g1 g ( ) 2          规则： ①� 分别求度量张量分量对曲线坐标 i j k, ,   的导数，度量张量的分量指标按与曲线 坐标指标构成顺时针排序确定； ②� 曲线坐标的指标为 i, j时为正，曲线坐标的指标为 k 时为负； ③� 将所得结果相加的一半即为 ij,k 。 例题：求 1 2 3g ( )  g g g 对曲线坐标的导数 1 2 3 i i 1 2 3 2 3 1 3 1 2i i i k k k i1 k 2 3 i2 1 k 3 i3 1 2 k 1 2 3 i1 i2 i3 1 2 3 k ik g [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g                                             g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g 从中可得 Christoffel 符号的一个重要性质： k ik i i g ln( g)1 g        Hamilton 算子 定义： i i      g 运算规则：作用于张量时，运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量 组成；基矢量指标与曲线坐标指标相同；基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与 张量之间的运算相同： i j k 79 i i      T T g i i      T T g （张量的左右梯度） i i       T T g i i      T T g （张量的左右散度） i i      T T g i i       T T g （张量的左右旋度） Hamilton 算子是一种不依赖坐标系的微分算子，计算结果与坐标系的选择无关： 证明： i i i i i i i i i i i i                             g g g g Hamilton 算子与张量之间的运算结果是张量 例如： ' ' ' ' ' ' i i kk ik k kik ii                     T T T g g T T g g ' ' ' ' ' ' i i k k ki k kk ii i                      T T g g T T T g g ' ' ' ' ' ' i i k k ki k kk ii i                     T T g g T T T g g 张量分量的协变导数 张量 i j k l. . k l i jT   T g g g g 对曲线坐标的导数 ij k L..kL i js mj k L im k Lm m ..kL j ..kL is s m m ij L ij k ..mL i j ..km i js s ij mj i im j ij m ij m k L..kL ..kL s s ms ..kL ms ..mL ks .. ..k km Ls i js T T T T T T ( T T T T ) T                                                 g g g g g g g g g g g g g g g g g g g T g g g g g ij ij L ..kL;s k L k L i j i jT      g g g g g g g g 张量分量的协变导数 ij ij ij mj i im j ij m ij m ij..kL s ..kL ..kL;s ..kL ms ..kL ms ..mL ks ..km Ls ..kL;ss T T T T T T T T             由以下几个部分组成： 80 ① 普通偏导数： ij ..kL s T  ② 含逆变指标的分量与第二类 Christoffel 符号相乘： mj i..kL msT  其中 ims 的逆变指标为张量分量的逆变指标 原张量分量的逆变指标与 ims 的第一个协变指标构成一对哑指标 i ms 的第二个协变指标为曲线坐标的指标 ③ 含协变指标的分量与负第二类 Christoffel 符号相乘： ij m..mL ksT  其中 mks 的第一个协变指标为张量分量的协变指标 原张量分量的协变指标与 mks 的逆变指标构成一对哑指标 m ks 的第二个协变指标为曲线坐标的指标 由于 ' ' k i k i          T T T g g 按张量分量协变导数的定义： T= ij s k l i ' j' s ' k ' l 's ..kl i j s ' ..k 'l ' i ' j'T T         g g g g g g g g g g 可见张量分量的协变导数 ijs ..klT 是张量梯度的分量，因而是张量分量。 1. 度量张量的协变导数为零 . j . j . j .m j . j m j ji s i s i i ms m is is iss g 0 0                  2. 置换张量的协变导数为零 （作业） ijk i j k( )   g g g ijk ji k j k i k i js s s s m m m is m j k js i m k ks i m is m ks ijm m js k m m imk j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                    gg g g g g g g g g g g g g g g g g m mjk is m ij ijk s ij m mimk jsk ss k 0            3. ij ij ijs mn s mn s mn(A B ) ( A )B A ( B )     设 ijA A g g ； m nmnB B g g ；  C A B则有： 81 s s s           C A B B A 以及 ij s i js A     A g g ； m ns mns B     B g g 因此： ij m n s mn i j(A B )   g g g g   ij m n ij m n s mn i j s mn i j ij ij m n s mn s mn i j ( A )B A ( B ) ( A )B A ( B )                  g g g g g g g g g g g g 所以 ij ij ijs mn s mn s mn(A B ) ( A )B A ( B )     即：张量分量乘积的协变导数符合标量函数乘积的求导法则 该结论对高阶张量同样成立： ijk ijk ijk s mn s mn s mn(A B ) ( A )B A ( B )     根据度量张量和置换张量协变导数为零的性质，可从上式中得到： 推论 1： ijk ijks mn s mn(A g ) ( A )g   推论 2： ijk ijks mn s mn( B ) ( B )     4. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换： 先求 ij..kT 的协变导数： ij ij mj i im j ij m..k s ..k ..k ms ..k ms ..m kss T T T T T           然后缩并 i,k 指标可得： j j mj m j j m..k s ..k ..k ms ..k ms ..m kss kj km j..k ..k mss kj km j.. k k k k k kj m kj m ..m ks k ..k ..m ks mss T T T T T T TT T T T                          先缩并后求导（自由指标减少 2 个）： kj kj km j..k s ..k ..k mss T T T       比较后可知两者是相等的。 求导 缩并 82 Riemann-Christoffel 张量 矢量分量 iu 的一阶协变导数： mi j i m ijj u u u       （二阶张量） 二阶协变导数：      j i n nk j i j n ik n j jkk m ijm m n m ni m n i m ni m n i ij ik m inj k ij m m nj ik m in jkj k k k j n m ijn m m ik nj k k j n u u u u u u u u u u u u u u u uu                                                                                m n jk       互换 k,j 指标，可得： m n m ni m n m n m ik k j i m ij nk j i ij ik m in jkj k k j n u u u u u u u                                      因而 m .ijkk j i j k i mu u u R    根据张量的商法则可以证明： mm ijm n m n mik .ijk ik nj ij nkj k R           （后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标） 是张量，称为藜曼曲率张量（Riemann-Christoffel） 构成法：将 Christoffel 符号 mik 的 m 指标看作张量指标求对 j 的协变导数； 将 Christoffel 符号 mij 的 m 指标看作张量指标求对 k 的协变导数； 两者相减 藜曼曲率张量描述的是空间的性质 欧式空间：藜曼曲率张量等于零，张量（矢量）的偏导数次序可以交换 说明：因为欧式空间中存在全局直线坐标系（如笛卡尔坐标系），在直线坐标系 中 Christoffel 符号全部等于零，因此藜曼曲率张量也为零。 可展曲面：藜曼曲率张量为零的曲面 三维空间中的曲面可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为 83 零，则这张曲面就可以展开成平面。原因：可展曲面一定是由平面经坐标变换 得到的，而坐标变换（选取不同的坐标系不能改变藜曼曲率张量是否为零张量 的性质。如圆柱面、锥面是可展曲面；球面是不可展的曲面 通过将 R-C 张量表达为度量张量的函数，可以证明： 藜曼曲率张量分量具有如下性质： ①关于前两个指标反对称 ijkl jiklR R  （ 2 3C 3 3 27   个独立分量） ②关于后两个指标反对称 ijkl ijlkR R  （ 2 2 3 3C C 9  个独立分量） ③前两个指标可以和后两个指标互换 ijkl klijR R （ 2 2 2 3 3 3C C C 6   个独立分量） 三维空间中，只有 6 个独立分量： 1212 2323 3131 1223 1231 2331R ,R ,R ,R ,R ,R 二维空间中，只有 1212R 是独立分量 积分定理 预备定理： i i ( g )   g 0 证明： i i i k i i k k i k i i k i k i k k ii i i ( g ) ( g ) g g g g g                  g g g g g g g 0 证明过程中利用了等式： kiki g g     推论：封闭曲面的有向面积之和为零 证明：在曲面上定义矢量面积微元（面积矢量） 1 2d d d da a r r n 其中n为面积微元外法线方向矢量（单位向量），它与 1dr 和 2dr 构成右手系。 如图所示，取一个微元六面体，则微元六面体左侧的面积矢量 2 3 1 2 3 2 3d d d gd d        a g g g左 微元六面体底面的面积矢量 2 1 3 2 1 1 2d d d gd d        a g g g下 微元六面体前面的面积矢量 1 1dg 2 2dg 3 3dg 1dr 2dr n 84 3 1 2 3 1 1 3d d d gd d       a g g g前 右侧的面积矢量与左侧的面积矢量方向不同；右侧的面积矢量可以看作是左侧面积 矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到：       1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1d , , , , g d d d d d d                   g a a a右 左 左 所以：  1 1 2 3 1 g d d d d d        g a a右 左 类似地有：  3 1 2 3 3 g d d d d d        g a a上 下  2 1 2 3 2 g d d d d d        g a a前 后 任意封闭曲面可看做为无限个六面体的集合的表面，因此：      1 2 3 1 2 3 1 2 3 V 1 i 3 i 2 V g g g d ( )d d d ( g ) d d d                        g g g a 0 g 即：封闭曲面的有向面积之和为零。 体积分与面积分之间转换定理 从以上分析中不难看出：在微元六面微元体的表面上，张量T与面积矢量的运算：   1 1 2 3 1 ( g d d d d d          g T a a T右 左 ）   3 1 2 3 3 ( g ) d d d d d          g T a a T上 下   2 1 2 3 2 ( g ) d d d d d          g T a a T前 后 因此，对于微元六面微元体： 85 1 i k 1 2 3 k 1 2 3 i k k S ( g ) ( g ) d d d d g d d d                        g T g T a T T g 考虑到微元体的体积 1 2 3 1 2 3 1 2 3dv ( )d d d gd d d         g g g 以及等式： i i ( g )   g 0 可知： 1 k k S d d v       T a T g 两个微元体拼接在一起时，上式对每一个微元体都成立，因此： k k S1 S2 V1 V2 d dv         T a T g 然而，由于公共界面处的面积微元大小相等方向相反，等式左端与合成后的微元体 的外表面上的积分相等，而任意形状的空间区域都可以看作是六面微元体的组合。 因而： VS V k k d d dV V         a T T T g 同理可以证明： S V k k V dVd dV         T gT a T （作业） 这两个等式把张量的面积分转化为张量的体积分，是张量形式的 Green 公式。 其中算子可以是点积‘’，叉积‘’和并乘‘’ 将面积分转化为体积分时，只需将面积微元da转换为dV。 线积分与面积分之间转换定理 在开口曲面 S1上取一面积微元，则沿面元四条边界线上，张量T的有向线积分 1 1ds d  g T右 ；    1 2 2 3 1 2 3 1 21 2, d , , , ( ) ds ds ds d d                   g T 左 右 右 2 2ds d   g T下 ；    1 1 2 3 1 2 3 2 12 1d , , , , ( ) ds ds ds d d                   g T 上 下 下 所以沿面元边界张量T的有向线积分 86 4 1 22 1 i 1 2 i 1 1 2 1 2 2 11 1 1 2 2 11 1 2 1 1 2 ( ) ( ) d d ( ) d d d d d d d                                                     g T g T s T T T g g T T T g g g g （a） 另一方面，面积微元    1 2 3 1 21 2d d d gd d      a g g g 张量T的旋度 k k i kim i m ik k k                     T T T T g g g g g g 张量T的旋度与面积微元之间的点积 3 kim 1 2 m i k ki3 1 2 i k 1 2 2 11 2 d ( ) gd d e d d d d                                  T a T g g g T g T T g g (b) 对比（a）,(b)两式可知：对平面微元： 4 i i 1 d ( ) d     a T s T 两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的 曲面微元依然成立；而任意曲面可以看作是平 面微元的组合，所以对任意开口曲面 S L d ( ) d    a T s T 推论： L S d ( ) d     T s T a 证明： 由于 L T L d d  T s s T 因而 T T L S d d ( )   s aT T 87 设 ij i jT T g g 则 T ij j iT  T g g 将其代入上式得：             s ij s ij s s ij s s i T j i i j i js j i j s d ( ) d T T d ( T ( d T d ) ) d                          T ga a g a g g a g a g g g T g g g g a 所以 L S d ( ) d     T s T a 物理分量 在对曲线坐标下的物理量（如位移，应力，应变等）进行张量运算时，物理量应在 单位基底矢量下分解（物理分量），以使其分量具有明确的物理意义。 例题：在极坐标系中，协变基矢量 r 1 2c o s s i n r        r g e e ； 1 2r( sin cos )         r g e e 与其同向的单位矢量 (r) 1 2cos sin   g e e ； ( ) 1 2sin cos     g e e 并且 ( r ) ( )    g g ； ( ) (r)     g g 逆变基矢量 r (r)g g ； ( ) 1 r  g g 设位移矢量 (r) ( ) (r) ( )u u   u g g 位移梯度 r ( )( r ) r r r                  u u u u u g g g g 而 (r) ( ) (r) ( ) u u r r r           u g g 88 (r) (r) ( ) ( ) (r) ( ) (r) ( ) (r) ( ) ( ) (r) (r) ( ) u u u u r r r r r u u u u r r r r                                      g gu g g g g 从而 (r) ( ) (r) (r) (r) ( ) ( ) ( ) (r) ( ) ( ) (r) (r) ( ) u u u ( ) r r r u u u ( ) r r r                           u g g g g g g g g 极坐标系下的线性应变（作业） T (r) ( ) (r) (r) (r) ( ) ( ) ( ) (r) ( ) (r) ( ) ( ) (r) 1 ( ( ) ) 2 u u u ( ) r r r 1 u u u ( )( ) 2 r r r                               ε u u g g g g g g g g 即： (r) r u r     ( ) (r)u u r r        ( ) (r) ( ) r r 1 u u u ( ) 2 r r r               由于 (r) (r) ( )       g g g ( )( ) (r)         g g g 极坐标系下弹性位移的速度 ( r ) ( ) ( ) ( r )( r ) ( )( u u ) ( u u )        u g g 弹性位移的速度的加速度 (r) (r) 2 ( ) ( ) ( ) (r) (r) ( ) 2 (r) ( ) (r) ( ) 2 (r) ( ) ( ) (r) (r) ( ) (r) ( ) (r) ( ) (r) ( ) ( ) (r) (u u 2u u ) (u 2u u u ) (u u ) (u u ) ( u u ) 2 (u u )                                     u g g g g g g g g g g 89 本章要点 基矢量的导数 j k ij ki     g g i i j kjk     g g k km ij ij,m g   m i j , k k m i j g   Hamilton 算子 i i ' i i '         g g i i      T T g i i       T T g i i      T T g i i      T T g i i      T T g i i      T T g 张量的协变导数 ij ij mj i im j ij m ij m ij..kl s ..kl ..kl ms ..kl ms ..ml ks ..km ls ..kl;ss T T T T T T T            ij s ..kLs k L i jT        T g g g g 重要性质： 1．度量张量的协变导数为零 2．置换张量的协变导数为零 3．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换 4． ij l ij l ij l s ..k .m s ..k .m ..k s .m (A B ) ( A )B A ( B )     积分定理 S V d dV   a T T S V d dV   T a T S L d ( ) d    a T s T L S d ( ) d     T s T a Riemann-Christoffel 张量 欧氏空间特性：①Riemann 曲率张量等于零 ②张量对曲线坐标的求导顺序可交换 可展曲面的 Riemann-Christoffel 张量为零 物理分量 掌握张量在 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 基下分解时 Hamilton 算子对张量的运算（求极坐标系下线应变张量）