勾股定理典型例
题
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勾股定理复习
一、知识要点:
1、勾股定理
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形
2 222 22222 的两直角边为a、b～斜边为c ～那么 a+ b= c。
公式
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的变形:a= c- b～ b= c-a。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理～也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质～揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理～它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一～是数形结合的纽带之一。
2、勾股定理的逆定理
2 22如果三角形ABC的三边长分别是a～b～c～且满足a+ b= c～那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时～同学们要注意处理好如下几个要点:
?已知的条件:某三角形的三条边的长度.?满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+
中间边的平方.?得到的结论:这个三角形是直角三角形～并且最大边的对角是直角.
?如果不满足条件～就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
2 22满足a+ b= c的三个正整数～称为勾股数。注意:?勾股数必须是正整数～不能是分数
或小数。?一组勾股数扩大相同的正整数倍后～仍是勾股数。
4、最短距离问题:
主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、 知识结构:
勾股定理
直角三角形 应用
判定直角三角形的一种方法
三、考点剖析
考点一:利用勾股定理求面积
1
求:,1, 阴影部分是正方形, ,2, 阴影部分是长方形, ,3, 阴影部分是半圆(
2. 如图～以Rt?ABC的三边为直径分别向外作三个半圆～试探索三个半圆的面积之间的关系(
考点二:在直角三角形中～已知两边求第三边
例如图2～已知?ABC中～AB,17～AC,10～BC边上的高～AD,8～则边BC的长为, ,
A(21 B(15 C(6 D(以上答案都不对
【强化训练】:1(在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm～2cm ～则斜边长为 (
2(,易错题、注意分类的思想,已知直角三角形的两边长为3、2～则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12～ 求斜边上的高(,结论:直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积～ab=ch,
考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
例、如图1所示～等腰中～～
是底边上的高～若～求 ?AD的长,?ΔABC的面积(
考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
例、某楼梯的侧面视图如图3所示～其中米～～
～因某种活动要求铺设红色地毯～则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 (
2
分析:如何利用所学知识～把折线问题转化成直线问题～是问题解决的关键。仔细观察图形～不难发现～所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度～所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度～只需利用勾股定理～求得这两条线段的长即可。
考点五、利用列方程求线段的长,方程思想,
,、小强想知道学校旗杆的高～他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米～当他把绳子的下端拉开5米后～发现下端刚好接触地面～你能帮他算出来吗,
A
C B
【强化训练】:折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。.
D A
E
B C F
考点六:应用勾股定理解决勾股树问题
例、如右图所示的图形中～所有的四边形都是正方形～所有的三角形都是直角三角形～其
中最大的正方形的边长为5～则正方形A～B～C～D的面积的和为
3
分析:勾股树问题中～处理好两个方面的问题～
一个是正方形的边长与面积的关系～另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边
的关系。
点评:请同学们自己把其内在的一般变化规律
总结
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一下。
考点七:应用勾股定理解决数学风车问题
例7、(09年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图～它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt?ABC中～若直角边AC,6～BC,5～将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍～得到图乙所示的“数学风车”～则这个风车的外围周长,图乙中的实线,是______________。
分析:因为～直角边AC,6～BC,5～当将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍后～得到四个直角边分别是12和5的直角三角形～所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长～因此～斜边长为:=13～较短的实边长是6～所以～这个风车的外围周长为:4×13+4×6=76。
解:这个风车的外围周长为76。
考点八:判别一个三角形是否是直角三角形
例1:分别以下列四组数为一个三角形的边长:,1,3、4、5,2,5、12、13,3,8、15、17
,4,4、5、6～其中能够成直角三角形的有
4
22【强化训练】:已知?ABC中～三条边长分别为,n,,～ ,2n～ ,n，,,n,1,(试abc
判断该三角形是否是直角三角形～若是～请指出哪一条边所对的角是直角( 考点九:其他图形与直角三角形
例:如图是一块地～已知AD=8m～CD=6m～?D=90?～AB=26m～BC=24m～求这块地的面积。
考点十:构造直角三角形解决实际问题
在某一平地上～有一棵树高8米的大树～一棵树高2米的小树～两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上～要飞到另一棵树的树梢上～问它飞行的最短距离是多少,,画出草图然后解答,
考点十一:与展开图有关的计算
例、如图～在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上～求从顶点A到顶点C’的最短距离(
B
A
【强化训练】:如图一个圆柱～底圆周长6cm～高4cm～一只蚂蚁沿外壁爬行～要从A点爬到B点～则最少要爬行 cm
四、课时作业优化设计
1(设直角三角形的三条边长为连续自然数～则这个直角三角形的面积是_____(
5
2(直角三角形的两直角边分别为5cm～12cm～其中斜边上的高为, ,(
3060 A(6cm B(8.5cm C(cm D(cm 1313
【提升“学力”】
3(如图～?ABC的三边分别为AC=5～BC=12～AB=13～将?ABC沿AD折叠～使AC•落在AB上～求DC的长(
4(如图～一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N～那么这只鸭子游的最短路程应为多少米,
【聚焦“中考”】
5(如图～铁路上A、B两点相距25km～C、D为两村庄～DA•垂直AB于A～CB垂直AB于B～已知AD=15km～BC=10km～现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E～使得C、D两村到E站的距离相等～则E站建在距A站多少千米处,
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