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黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性.pdf

黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性

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2012-11-03 0人阅读 0 0 0 暂无简介 举报

简介:本文档为《黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性pdf》,可适用于高等教育领域

第卷第期年月中山大学学报(自然科学版)ACTASCIENTIARUMNATURALIUMUNIVERSITATISSUNYATSENIVolNoMay黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性*邓慧琳阎小丽(.六盘水师范学院数学系贵州六盘水.河南理工大学数学与信息科学学院河南焦作)摘要:在假设初始密度ρ有界(即<m<ρ<M)的情况下通过构造逼近解序列利用紧致性讨论序列收敛的方法研究了RN(N≥)上黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组在临界Besov空间中的局部解的存在性问题。关键词:可压缩磁流体方程组存在性临界Besov空间Bony仿积分解中图分类号:O文献标志码:A文章编号:-()--ResearchofExistenceforCompressibleMHDEquationswithDensityDependentViscositiesDENGHuilinYANXiaoli(.DepartmentofMathematicsLiupanshuiNormalCollegeLiupanshuiChina.SchoolofMathematicsandInformaticsHenanPolytechnicUniversityJiaozuoChina)Abstract:UndertheassumptionthattheinitialdensityisboundedawayfromzerothelocalexistenceinsomecriticalBesovspacesforthecompressiblemagnetohydrodynamicequationswithdensitydependentviscositiesinRN(N≥)isestablishedbyconstructingasequenceofsmoothsolutions.Andusingacompactnessargumenttheconvergenceofthesequenceisproved.Keywords:compressiblemagnetohydrodynamicequationsexistencecriticalBesovspacesBonyparaproductdecomposition本文主要研究RN(N≥)上可压缩磁流体方程组tρdiv(ρu)=t(ρu)div(ρuu)-div(μ(ρ)Du)-(λ(ρ)divu)(P|b|)=b·btbu·b=b·u-divu·bdivb=(ρub)|t==(ρub)()其中ρ(tx)表示流体密度u(tx)表示流体的速度场b(tx)为磁场P为压力是密度ρ(tx)的光滑函数Du=(uut)为应变张力。λ(ρ)μ(ρ)是密度的光滑函数。λ(ρ)与μ(ρ)表示流体的黏性系数且满足μ>与λμ>。这就确保了算子-div(μ(ρ)D·)-(λ(ρ)div·)为椭圆算子。磁流体方程组是描述磁场与速度场相互耦合作用的模型。在物理和工程方面有着十分广泛的应用。已经有很多数学家和物理学家从不同的方面对磁流体方程组做了大量的研究。*收稿日期:--基金项目:国家自然科学基金资助项目()河南省科技创新人才计划资助项目(HASTIT)六盘水师范学院青年基金资助项目(lpssy)作者简介:邓慧琳(年生)女助教Email:dhlhpucom第期邓慧琳等:黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性比如Gerbeau等[]与Desjardins等[]分别在R区域和周期区域Τ上证明了非齐次不可压磁流体方程组具有有限能量的弱解的整体存在性。Abidi等[]在Sobolev空间中得到了非齐次不可压磁流体方程组的弱解的局部存在性。在运用热方程的正则效应及调和分析方法的基础上Abidi等[]假设初始密度满足infxρ(tx)>初值满足a∈B·Nppub∈B·Np-pf∈Lloc(RB·Np-p)Qf∈Lloc(RB·Np-p)与‖a‖B·Npp≤c的情况下得到了不可压磁流体方程组在临界Besov空间中整体适定性。其中c为一正常数pp满足合适的不等式算子Q=I-PP是沿梯度方向到散度自由向量场的投影算子。对于可压磁流体方程组在初值较大且不连续时Hu等[]得到了可压磁流体方程组的弱解的整体存在性结果。Lu等[]在允许初始密度为零的情况下得到了带有温度的可压磁流体方程组局部强解的爆破准则:假设T*是三维可压磁流体方程组(ρubθ)的最大存在空间且T*<∞那么limt→T*(‖u‖L(TL∞)‖θ‖L∞(TL∞))=∞最近边东芬等[]通过构造逼近解序列分别得到了无黏性可压磁流体方程组在超临界Besov空间B·Npp(s>Np或s=Npr=)中局部解的适定性与带有黏性的可压缩磁流体方程组在临界Besov空间B·Npp中的局部解的适定性。Danchin[-]与Haspot[]也在临界Besov空间中给出了一些有关可压缩NavierStokes方程的局部适定性结果。Chen等[]在临界B·Npp中证明了黏性系数依赖于密度的NavierStokes方程的局部解的适定性。本文的主要目标是在Besov空间B·Npp中通过构造逼近解序列得到黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组()解的存在性。为了更好的说明临界空间的概念引入如下伸缩变换:对l∈R定义ρl(tx)=ρ(ltlx)ul(tx)=lu(ltlx)bl(tx)=lb(ltlx)Pl(tx)=lP(ltlx)易知若(ρub)是方程组()的解则(ρlulbl)也满足方程组()。对于可压缩磁流体方程组()设X为一个函数空间。若通过上述变换其范数保持不变则称X为一个临界空间。H·N-是一个临界空间。Fujita等[]在Sobolev空间H·N-中证明了NavierStokes方程的适定性。因此我们首先想到的时齐次Sobolev空间H·N-使得方程组()的初值(ρub)∈H·N×H·N-×(H·N-∩H·N).但是当密度ρ为零或变得无限大时会导致方程组()的退化。所以必须进一步假设ρρ-∈L∞。然而H·N不能连续嵌入到L∞。为此我们选择一个稍微小一点的临界空间B·Npp使得对于常数ρ>有(ρ-ρ)∈B·Nppu∈B·Nppb∈B·Np-p∩B·Npp进而研究方程组()的解的存在性。不失一般性我们假设ρ=对方程组()作如下变换:a(tx)=ρ(tx)-珔μ(ρ)=μ(ρ)ρ珔λ(ρ)=λ(ρ)ρ则方程组()变为tau·a=(a)divutudiv(珔μu)-(珔λ珔μ)divu=GMtbu·b=b·u-divu·bdivb=(aub)|t==(aub)()G=-u·u-P(ρ)ρμ(ρ)ρρ·uμ(ρ)λ(ρ)ρρdivuM=(a)(b·b-b·b)对于可压缩磁流体方程组()我们得到的主要结果如下:定理假设初值a∈B·Nppu∈B·Np-pb∈B·Np-p∩B·Npp令p∈(N]那么存在一个正的时刻T使得方程组()有解(aub)∈EpT其中EpT=C([OT]B·Npp)×(C([OT]B·Np-p)∩L(OTB·Npp))N×(C[OT]B·Np-p∩B·Npp)NLittlewoodPaley理论及Besov空间首先介绍LittlewoodPaley理论。令S(Rn)表示Schwarz速降函数族选择一个光滑的非负径向函数φ∈S(Rn)使得suppφ={ξ∈Rn≤ξ≤}并且满足对任意的ξ∈Rnχ(ξ)∑j≥φ(-jξ)=对任意的ξ∈中山大学学报(自然科学版)第卷Rn{}∑j∈Zφ(-jξ)=。定义频率局部化算子(Δj)j∈Z与(Sj)j∈Z如下:Δju=φ(-jD)uj∈ZSju=∑k≤j-Δkuj∈Z对于任意的函数u∈S'(Rn)Ρ[Rn]有LittlewoodPaley分解u=∑j∈ZΔju。其中S'(Rn)为S(Rn)的对偶空间Ρ[Rn]为一个多项式集合。对于u∈S(Rn)易知当j-k≥时ΔjΔku=当j-k≥时Δj(Sk-Δku)=。接下来为证明本文的结论我们回顾权函数及加权的Besov空间[]。首先定义权函数。设{ek(t)}k∈N是定义在[∞)上的一个连续函数序列满足ek(t)∈[]且ek(t)≤ek″(t)k≤k'ek(t)~ek″(t){k~k'()定义wk(t)=∑k≤lk-lel(t)k∈Z为一个权函数。经简单运算可知对于k∈Z有(i)wk(t)≤ek(t)≤wk(t)(ii)k≥k'wk(t)≤k-k'wk'(t)(iii)k≤k'wk(t)≤wk'(t)(iv)k~k'wk(t)~wk'(t)()定义[]令s∈R≤pr≤∞T∈(∞)。定义加权Besov空间为B·spr(w)={f∈S'(Rn)‖f‖B·spr(w)<∞}其中‖f‖B·spr(w)=‖kswk(T)‖Δkf‖Lp‖lr为f在加权Besov空间中的范数。定义[]令s∈R≤pr≤∞T∈(∞)。定义加权的时空空间为珘Lqt(B·sp(w))={f∈Lqt(B·sp(w))‖f‖珘Lqt(B·sp(w))<∞}其中‖f‖珘Lqt(B·sp(w))=∑k∈Zkswk(t)(∫T‖Δkf‖qpdt)q。为了证明本文的结论给出以下引理:引理[-](Bernstein不等式)设≤p≤q≤∞<r<R。若f∈LP(Rn)则存在常数CCk>使得对于k∈Nλ>有如下不等式suppf^{ξ:|ξ|≤λr}sup|β|=k‖βf‖Lq≤Cλkn(p-q)‖f‖Lp引理[]设k∈Zf∈珘L∞T(B·sp)。若ek(t)在[∞)上是连续的并且ek()=。则对于ε>存在一个时刻T∈(T]有‖f‖珘L∞T(B·sp)≤ε。引理设s>p∈[∞]。若fg∈B·sp∩L∞那么有‖fg‖B·sp≤C(‖f‖B·sp‖g‖L∞‖g‖B·sp‖f‖L∞)引理设ss≤Npss>Nmax(p-)(pqqq)∈[∞]且q=qq。若f∈珘LqT(B·sp)g∈珘LqT(B·sp)则有‖fg‖珘LqT(B·ss-Npp∞)≤C‖f‖珘LqT(B·sp)‖g‖珘LqT(B·sp)引理设s≤Nps<Npss≥Nmax(p-)(pqqq)∈[∞]且q=qq。若f∈珘LqT(B·sp)g∈珘LqT(B·sp)则有‖fg‖珘LqT(B·ss-Npp∞)≤C‖f‖珘LqT(B·sp)‖g‖珘LqT(B·sp∞)引理设s>(pq)∈[∞]。假设F∈W[s]∞loc(R)且F()=。那么对于f∈L∞T(L∞)∩珘LqT(B·sp)有‖F(f)‖珘LqT(B·sp)≤C(‖f‖L∞T(L∞))[s]‖f‖珘LqT(B·sp)引理设s∈(-NpNp)≤p≤∞。如果F∈W[s]∞loc(R)且G'()=u-v∈B·sp∞那么对于uv∈B·Npp有‖G(u)-G(v)‖B·sp∞≤C(‖u‖B·Npp‖v‖B·Npp)‖u-v‖B·sp∞引理[]设s≤Np-s<Npss≥Nmax(p-)(pqqq)∈[∞]且q=qq。若f∈珘LqT(B·sp(w))g∈珘LqT(B·sp)则有‖fg‖珘LqT(B·ss-Npp(w))≤C‖f‖珘LqT(B·sp(w))‖g‖珘LqT(B·sp)引理[]设s≤Np-s<Npss≥Nmax(p-)(pqqq)∈[∞]且q=qq。若f∈珘LqT(B·sp(w))g∈珘LqT(B·sp∞)则有‖fg‖珘LqT(B·ss-Npp(w))≤C‖f‖珘LqT(B·sp(w))‖g‖珘LqT(B·sp∞)引理设s>(pq)∈[∞]。如果F∈W[s]∞loc(R)且F()=那么对于f∈L∞T(L∞)∩珘LqT(B·sp(w))有‖F(f)‖珓LqT(B·sp(w))≤C(‖f‖L∞T(L∞))[s]‖f‖珓LqT(B·sp(w))第期邓慧琳等:黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性注应用Bony仿积分解[]与Bernstein不等式易得引理-的证明证明参阅文[]。关于线性输运方程的先验估计首先回顾如下线性输运方程在Besov空间中的标准估计:tfu·f=gf|t==f{()命题[]设s∈(-Nmin(pp')Np)(pr)∈[∞]。假设g∈B·spru是一个向量场并且u∈LT(B·Nppr∩L∞)。再假设f为输运方程()的一个解且初值f∈B·spr。那么对任意t∈[T]有如下估计成立:‖f‖珓Lqt(B·sp(w))≤eCU(t)(‖f‖B·spr∫te-CU(t)‖g‖B·sp(w)dτ)其中U(t)=∫t‖u‖B·Nppr∩L∞dτ。若r<∞则f∈C([T]B·spr)。接下来考虑如下输运方程tau·a=(a)divua|t==a{()并给出其先验估计。命题s∈(-Nmin(pp')Np)p∈[∞]。假设u是一个向量场并且u∈LT(B·Npp)。再假设a为输运方程()的一个解且初值a∈B·sp。那么对任意t∈[T]令U(t)=∫t‖u‖B·Nppdτ有‖a‖珘L∞T(B·SP)≤eCU(t)‖a‖B·SPeCU(t)-()‖a‖珘L∞T(B·SP(w))≤‖a‖B·SP(w)C(‖a‖珘L∞T(B·SP))‖u‖珘LT(B·NpP)()为证明命题我们先给出如下引理:引理[]设p∈[∞]。假设f∈B·sp(w)g∈B·sp。那么有(i)若s≤Np则‖Tgf‖B·SS-NpP(w)≤C‖f‖B·sp(w)‖g‖B·sp(ii)若s≤Np-则‖Tfg‖B·SS-NpP(w)≤C‖f‖B·sp(w)‖g‖B·sp(iii)ss>Nmax(p-)则‖R(fg)‖B·SS-NpP(w)≤C‖f‖B·sp(w)‖g‖B·sp引理设s∈(-Nmin(pp')Np)p∈[∞]。假设u∈B·Nppf∈B·sp(w)∑jwj(T)js‖[u·Δj]f‖Lp≤C‖u‖B·NPp‖f‖B·SP(w)应用Bony仿积分解与引理易得引理的证明。其证明过程类似于文[]中引理的证明。命题的证明:()式的证明请参看文[]。这里我们只给出()式的证明。假设p<∞对输运方程()的两边同时应用算子Δj得到tΔjau·Δja=[u·Δj]a-Δj((a)divu)对上式的两边同时乘以Δjap-Δja关于x和t积分利用分部积分有pddt‖Δja‖pp-p∫RNΔjapdivudx≤C(‖[u·Δj]a‖p‖Δj((a)divu)‖p)‖Δja‖p-p·‖Δja‖p≤‖Δja‖p∫t(p‖Δja)‖p‖divu‖L∞‖[u·Δj]a‖p‖Δj((a)divu)‖p)dτ()对()式不等式右边应用嵌入关系B·Npp→L∞与引理可得‖a‖珘L∞T(B·SP(w))≤‖a‖B·SP(w)C∫t(‖a‖B·SP(w)‖u‖B·NpP‖(a)divu‖B·SP(w))dτ()由权函数的性质()的(i)与加权Besov空间的定义可知‖a‖B·SP(w)≤‖a‖B·SP()‖(a)divu‖B·SP(w)≤‖(a)divu‖B·SP≤C(‖a‖B·SP)‖u‖B·NpP()将()式、()式合并到()式有‖a‖珘L∞T(B·SP(w))≤‖a‖B·SP(w)C(‖a‖珘L∞T(B·SP))‖u‖珘LT(B·NpP)下面给出如下磁场方程的的先验估计tbu·b=b·u-divu·bdivb=b|t==b{()命题设s∈(-Nmin(pp')Np)p∈[∞]。假设u是一个向量场并且u∈中山大学学报(自然科学版)第卷LT(B·Npp)。假设b为磁场方程()的一个解且初值b∈B·sp。那么对任意t∈[T]令U(t)=∫t‖u‖B·Nppdτ。有‖b‖珘L∞T(B·SP)≤eCU(t)‖b‖B·SP证明由命题知‖b‖珘L∞Tt(B·sp)≤eCU(t)·(‖b‖B·spr∫te-CU(t)‖b·u-divu·b‖B·spdτ)对右边第二项应用引理有‖b‖珘L∞Tt(B·sp)≤eCU(t)·(‖b‖B·spr∫te-CU(t)‖b‖B·sp‖u‖B·NPPdτ)最后由Gronwall引理可得‖b‖珘L∞Tt(B·sp)≤eCU(t)‖b‖B·sp线性动量方程的先验估计考虑动量方程tu-div(珔μu)-(珔λ珔μdivu)=GMu|t==u{()在下文中假设黏性系数珔λ(ρ)珔μ(ρ)是ρ的光滑函数并且存在正常数c使得珔μ≥c与珔λ珔μ≥c。我们选取权函数wk(t)=∑k≤lk-lel(t)其中el(t)=(-e-clt)。容易验证el(t)满足性质()。命题[]设q∈[∞]假设GM≤LT(B·s-p)ρ-ρ∈L∞T(B·Npp)u∈B·s-p。u为方程组()的解。令A(T)=(‖ρ‖L∞T(L∞))[Np]那么(i)s∈(-Nmin(pp')Np]p∈[N]则有‖u‖珘LqT(B·s-qp)≤C(‖u‖B·s-p‖G(τ)M(τ)‖珘LT(B·s-p)A(T)‖ρ-ρ‖珘L∞T(B·Npp)‖u‖珘LT(B·sp))若ρ-ρ∈L∞T(B·Npp)s∈(-Nmin(pp')Np]p∈(∞)则有‖u‖珘LqT(B·s-qp)≤C(‖u‖B·s-p‖G(τ)M(τ)‖珘LT(B·s-p)A(T)‖ρ-ρ‖珘L∞T(B·Np)p‖u‖珘LT(B·sp))(ii)s∈(-Nmin(pp')Np]p∈[N]则有‖u‖珘LT(B·s)p‖u‖珘LT(B·sp)≤C(‖u‖B·s-p‖G(τ)M(τ)‖珘LT(B·s-p(w))A(T)‖ρ-ρ‖珘L∞T(B·Npp(w))‖u‖珘LT(B·s)p)命题[]设q∈(∞]假设GM≤LT(B·-Npp)ρ-ρ∈L∞T(B·Npp)u∈B·s-p∞。u为方程组()的解。令A(T)=(‖ρ‖L∞T(L∞))[Np]那么有如下不等式成立:‖u‖珘LT(B·-Npp)‖u‖珘LT(B·-Npp)≤C(‖u‖B·-Npp∞(w)‖G(τ)M(τ)‖珘LT(B·-Npp(w))A(T)‖ρ-ρ‖珘L∞T(B·-Npp(w))‖u‖珘LT(B·-Npp))解的存在性本节我们给出磁流体方程组()解的存在性证明。具体思路为:(i)光滑化初值在[Tn]上得到具有光滑初值的解序列(anunbn)n∈N(ii)对任意t∈(Tn)给出并证明有关解序列(anunbn)n∈N的一致估计(iii)利用紧致性的讨论方法证明解序列(anunbn)n∈N收敛到磁流体方程组()的一个解(aub)。第一步:光滑初值、构造逼近解序列。光滑初值(aub)为an=Snaun=Snubn=Snb。采用标准的线性化方法(可参考文[]中定理)可以得到:初值为(anunbn)n∈N的磁流体方程组()在[Tn]上有唯一解(anunbn)n∈N且满足:an∈C([Tn]B·Npp∩B·Npp)bn∈C([Tn]B·Np-p∩B·Npp∩B·Npp)un∈C([Tn]B·Npp∩B·Npp)∩L([Tn]B·Npp∩B·Npp)第二步:一致估计。令Tn为解(anunbn)n∈N的最大存在时间。设T∈(Tn)记U=‖u‖B·NP-pB=‖b‖B·NP-pH=‖b‖B·NPpA=‖a‖B·NPp。假定对于某些正常数Cη有如下式子成立:(A)珔μ(tx)≥c珔λ(tx)珔μ(tx)≥c对于t∈[T]×RN(A)‖an‖珘L∞T(B·NpP)≤A‖an‖珘L∞T(B·NpP(w))≤Aη第期邓慧琳等:黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性(A)‖bn‖珘L∞T(B·Np-P)≤B‖bn‖珘L∞T(B·NpP)≤H(A)‖un‖珘L∞T(B·Np-P)≤CU‖un‖珘LT(B·NpP)‖un‖珘LT(B·NpP)≤η。接下来我们将证明在对Tη做适当的假设条件下若(A)-(A)不等式成立则(A)-(A)严格不等式成立。又因为(A)-(A)是连续依赖于时间变量并且对初值也成立由标准的逐步提升讨论法即可得对任意的T都有(A)-(A)成立。首先考虑磁流体方程组()的输运方程与磁场方程令Un(t)=∫t‖un‖B·NpPdτ由命题与命题可得‖an‖珘L∞T(B·NpP)≤eCU(t)‖an‖B·NpPeCUn(t)-≤eCU(t)‖a‖B·NpPeCU(t)-()‖an‖珘L∞T(B·sP)≤‖an‖B·sP(w)C(‖an‖珘L∞T(B·sP(w)))‖un‖珘LT(B·NpP)()‖bn‖珘L∞T(B·NpP)≤eCUn(t)‖bn‖B·NpP≤eCUn(t)‖b‖B·NpP()‖bn‖珘L∞T(B·Np-P)≤eCUn(t)‖bn‖B·Np-P()根据(A)式可以选择足够小的η使得eCUn(t)≤()把()式代入()、()、()式中有‖an‖珘L∞T(B·NpP)<‖a‖B·NpP=A()‖bn‖珘L∞T(B·Np-P)<‖b‖B·Np-P=B()‖bn‖珘L∞T(B·NpP)≤‖b‖B·NpP=H()结合()、()、(A)式有‖an‖珘L∞T(B·sP(w))≤‖a‖B·sP(w)C(A)η()利用权函数的连续性质及wk()=对于足够小的T能够做到‖an‖B·NpP≤Aη()令A=C(A)结合()、()式则有‖an‖珘L∞T(B·NpP(w))≤Aη<Aη()其次考虑磁流体方程组()的动量方程由命题可得‖u‖珘L∞T(B·Npp)≤C‖un‖B·Np-pC‖Gn(τ)Mn(τ)‖珘LT(B·Npp)(C‖an‖L∞T(L∞))[Np]·‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖un‖珘LT(B·Npp)()通过引理、引理及嵌入关系B·Npp→L∞可得如下估计‖(an)(bn·bn-bn·bn)‖珘LT(B·Np-p)≤C‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖(an)(bn·bn-bn·bn)‖珘LT(B·Np-p)≤C‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖bn‖珘LT(B·Npp)‖bn‖珘L∞T(B·Np-p)≤C‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖bn‖L¨∞T(B·Npp)T()‖un·un‖珘LT(B·Np-p)≤C‖un‖珘L∞T(B·Np-p)·‖un‖珘LT(B·Npp)≤C‖un‖珘L∞T(B·Np-p)‖un‖L¨T(B·Npp)()‖(an)P(ρn)‖珘LT(B·Np-p)≤C‖P(ρn)‖珘L∞T(B·Np-p)(‖an‖珘L∞T(B·Npp))T≤C‖P(ρn)‖珘L∞T(B·Npp)(‖an‖珘L∞T(B·Npp))T≤(C‖an‖珘L∞T(B·Npp))[Np]‖an‖珘L∞T(B·Npp)T()‖μ(ρn)(ρn)ρn·un‖珘LT(B·Np-p)≤(C‖an‖珓L∞T(B·Npp))[Np]‖an‖珓L∞T(B·Npp)‖un‖珓LT(B·Npp)()‖μ(ρn)λ(ρn)(ρn)ρudivun‖珘LT(B·Np-p)≤(C‖an‖珘L∞T(B·Npp))[Np]·‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖un‖珘LT(B·Npp)()由()-()式可知‖Gn(τ)Mn(τ)‖珘LT(B·Np-p)≤(C‖an‖珘L∞T(B·Npp))[Np]·‖an‖珘L∞T(B·Npp)(T‖un‖珘LT(B·Npp))C‖un‖珘L∞T(B·Np-p)‖un‖珘LT(B·Npp)C‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖bn‖珘L∞T(B·Npp)T()把()式代入()式可得‖un‖珘L∞T(B·Np-p)≤C‖u‖B·Np-pC(‖an‖珘L∞T(B·Npp))[Np]·‖an‖珘L∞T(B·Npp)(T‖un‖珘LT(B·Npp))C‖un‖珘L∞T(B·Np-p)‖un‖珘LT(B·Npp)C‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖bn‖珘L∞T(B·Npp)T令C=C由(A)式可知(‖an‖珘L∞T(B·Npp))[Np]≤(A)[Np]选取足够小中山大学学报(自然科学版)第卷的Tη有C(A)[Np]Aη<CUC(A)[Np]AT<CUCCUη<CUCATH<CU()由此可得‖un‖珘L∞T(B·Np-p)≤C(U(A)[Np]A(ηT)CUη)CATH≤CU()由命题及引理可得‖un‖珘LT(B·Npp)‖un‖珘LT(B·Npp)≤C{‖u‖B·Np-p‖an‖珘L∞T(B·Npp)‖bn‖珘L∞T(B·Npp)T‖un‖珘LT(B·Npp)(‖an‖珘L∞T(B·Npp))[Np]·‖an‖珘L∞T(B·Npp)(T‖un‖珘LT(B·Npp))}()利用(A)式选取足够小的Tη使得‖u‖B·Np-p<ηCCATH<ηAC(A)[Np]η<AC(A)[Np]T<Cη<()结合()、()式可得‖un‖珘LT(B·Npp)‖un‖珘LT(B·Npp)≤C(‖u‖B·Np-pη(A)[Np]·η(Tη)ηTH)<η()最后令c=min(inf|ρ|≤(A)珔μ(ρ)inf|ρ|≤(A)珔λ(ρ)珔μ(ρ))。由()()()-()()式可知(A)-(A)式的左边严格小于右边。下面证明Tn≥T*。设T*为所有使得()、()、()式成立的T的上确界。假设Tn<T*我们可以证明an∈L∞Tn(B·Npp∩B·Npp)un∈L∞Tn(B·Np-p∩B·Npp)∩LTn(B·Npp∩B·Npp)bn∈L∞Tn(B·Np-p∩B·Npp)进而可知解(anunbn)可延拓到T*外。所以Tn≥T*。第三步:解的存在性。由上一部分所做的估计可知{un}n∈N在LT(B·Npp)∩L∞T(B·Np-p)中是一致有界的。利用插值公式对任意q∈[∞]有{un}n∈N∈LqT(B·Np-qp)。考虑运输方程tanun·an=-(an)divun利用引理可知‖un·an‖LT(B·Np-p)≤C‖un‖LT(B·Npp)‖an‖L∞T(B·Npp)()‖(an)divun‖LT(B·Np-p)≤C‖un‖LT(B·Npp)‖an‖L∞T(B·Npp)()结合()式和()式有{tan}n∈N∈LT(B·Np-p)。因此{an}n∈N在珘L∞T(B·Npp∩B·Np-p)上一致有界并且在[T]上是等度连续的又因为B·Npp∩B·Np-p→B·Np-p是局部紧嵌入(an)n∈N∈B·Npp所以(an)n∈N→a∈珘L∞T(B·Npp∩B·Np-p)即a∈珘L∞T(B·Npp)。接下来我们考虑磁场方程tbnun·bn=bn·un-divun·bn。利用引理可得如下估计‖un·bn‖LT(B·Np-p)≤C‖un‖LT(B·Npp)‖bn‖L∞T(B·Np-p)≤C‖un‖LT(B·Npp)‖bn‖L∞T(B·Npp)‖bn·un‖LT(B·Np-p)≤C‖un‖LT(B·Npp)‖bn‖L∞T(B·Npp)‖divun·bn‖LT(B·Np-p)≤C‖un‖LT(B·Npp)‖bn‖L∞T(B·Npp)同理易证{tbn}n∈N∈LT(B·Np-p)。用上述相类似方法(bn)n∈N→b∈珘L∞T(B·Npp∩B·Np-p)。下面讨论{un}n∈N的收敛性。考虑磁流体方程组()的动量方程利用引理可得‖un·un‖B·Np-p≤C‖un‖B·Np-p‖un‖L¨T(B·Npp)()‖(an)P(ρn)‖B·Np-p≤C(‖an‖L∞)[Np]·(‖an‖B·Npp)‖an‖B·Npp‖un‖B·Npp()‖div(珔μnun)‖B·Np-p‖(珔λn珔μn)divun‖B·Np-p≤C(‖an‖L∞)[Np]·(‖an‖B·Npp)‖an‖B·Npp‖un‖B·Npp()‖μ(ρn)(ρn)ρn·un‖B·Np-p≤C(‖an‖L∞)[Np]·(‖an‖B·Npp)‖an‖B·Npp‖un‖B·Npp()‖μ(ρn)λ(ρn)(ρn)ρn·divun‖B·Np-p≤C(‖an‖L∞)[Np](‖an‖B·Npp)‖un‖B·Npp‖Mn‖B·Np-p≤C(‖an‖B·Npp)‖bn‖B·Npp‖bn‖B·Npp()第期邓慧琳等:黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性由()-()式可知{tun}n∈N∈LT(B·Np-p∩B·Np-p)。因为B·Np-p∩B·Np-p→B·Np-p是局部紧嵌入所以un→u∈珘L∞T(B·Np-p)n→∞。又u∈LT(B·Npp)所以可以得到u∈珘L∞T(B·Np-p)∩LT(B·Npp)。利用命题与命题可知解(aub)关于时间t也是连续的。所以有(anunbn)n∈N→(aub)∈珘L∞T(B·NpP)×(珘L∞T(B·Np-P)∩珘LT(B·NpP))N×珘L∞T(B·NpP∩B·Np-P)N由此可得(aub)∈C([T]B·NpP)×(C([T]B·Np-P)∩L(TB·NpP))N×(C([T]B·NpP∩B·Np-P)N参考文献:[]GERBEAUJFLEBRISC.Existenceofsolutionforadensitydependentmagnetohydrodynamicequation[J].AdvDifferentialEquations():-.[]DESJARDINSBLEBRISC.Remarksonanonhomogeneousmodelofmagnetohydrodynamics[J].DifferentialandIntegralEquations():-.[]ABIDIHHMIDIT.Résultatsd'existencedansdesespacescritiquespourlesystèmedelaMHDinhomogène[J].AnnMathBlaise

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