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复Ginzburg-Landau方程的自相似解及其极限行为.pdf

复Ginzburg-Landau方程的自相似解及其极限行为

qflo80
2012-11-03 0人阅读 0 0 0 暂无简介 举报

简介:本文档为《复Ginzburg-Landau方程的自相似解及其极限行为pdf》,可适用于高等教育领域

A():数学物理学报复GinzburgLandau方程的自相似解及其极限行为张晓轶(中国科学院数学与系统科学研究院北京)摘要:该文证明了复GinzburgLandau方程在非标准的函数空间中整体解的存在唯一性考察了其解在X。中的极限行为得到当参数eO或口一OeO时GinzburgLandau方程的解关于时间一致收敛到相应极限方程的解.关键词:复GinzburgLandau方程半线性Schrdinger方程自相似解极限行为.MR()主题分类:QL中图分类号:O.文献标识码:A文章编号:()引言本文考虑复GinzburgLandau(CGL)方程的柯西问题一eAuiAu(口ib)ll一(z)一(z).()其中s>口∈Rb∈R(z)是RXR上的复值函数.直接计算可见(CGL)在Scaling变换D(z)一音(九z)()下保持不变由文献EE称是自相似解满足(z)一D(z)V(z)∈RXR>()在()中令一可见对任意的>自相似解的初值满足。(z)一Uo().()例如取。(z)一lzl.本文的第一个目的是在条件()下求解柯西问题().为此需选取合适的工作空间这里的困难在于满足(.)的初值不属于任何齐次Sobolev空间为了解决此问题TCazenave和FBWeissler在研究Schrdinger方程的自相似解时引入了如下空间X。一{supt卢‘。ll()ll。<二∞)()f>其中fl(a)的取法使X卅的模在()式下不变.他们证明了对于a。<a<t存在>使得当线性流满足收稿日期:一修订日期:Email:xiaoyizhangooyahoo.com.cn基金项目:国家自然科学基金()资助维普资讯http:wwwcqvipcomNo.张晓轶:复GinzburgLandau方程的自相似解及其极限行为lleitau。ll<()时半线性SchrSdinger方程在Xz中存在唯一的整体解而且ll“(f)llx<这里的定义参见文进而通过复杂的计算找到了一类满足条件()和()的初值因此在X。中求解可包含自相似解.随后FRibaud和AYoussfi在更一般的空间X.一{“supt“'pll“(f)ll疗<:∞)()中求解Schrdinger方程的柯西问题其中的取法使得X的模在变换()下不变.他们的结果表明为得到自相似解实际上a的上界并不需要限制.我们在X中研究CGL首先将()式写成等价的积分方程rf“(f)一S)“o一(口ib)IS(fr)I“I。“(r)dr()J其中S(f)一eitae“()利用压缩映象原理我们证明了当a属于集合时CGL存在自相似解rImax(三口o)<口<∞当一⋯lfI一{∈()U(oo)当一(o)Il口∈()U(oo)当≥这里a分别是多项式F(口)一口。口一G(口)一a一(一)口=()的最大正根.定理给出了在空间x中的存在性结果定理给出能够生成自相似解的一类初值.本文的第二个目的是考察CGL自相似解的极限行为即考虑当eO或eOnO时CGL的自相似解是否分别收敛于其极限方程一iZlv(口ib)ll。一(zO)一o(z)()一iAvibII。(z)一o(z)()的自相似解.我们在X。中考虑逼近.将()()式写成积分方程的形式rfJ(f)一So(f)o一(口ib)ISo(fr)ll。(r)dr()Jrf(f)一So(f)o一(i)lSo(fr)lJl。(r)dr.()J这时一个首要的问题就是CGL及其极限方程在。中是否关于参数一致有解.注意到热半群在中是界为的c。半群因而lS(f)“。lpleS。(f)“。llp≤llS。(f)“。l.()于是求解CGL可化归为对其极限方程求解.其次在逼近过程中仅有“(f)∈X。。是不够的还需要“(f)在某些x层次上的正则性估计一致存在和正则性结果可见定理.定理和定理分别对应两种不同的逼近.与文献不同的是我们的结果关于时间是整体的但维数限于≤.关于更高维数的逼近需要用到Besov空间的估计我们将在其他地方予以说明.在结束本章之前我们对本文的记号作一说明.记BH一分别是通常的齐次Besov维普资讯http:wwwcqvipcom数学物理学报VO.A空间和齐次Sobolev空间表示Lebesgue空间P是P的对偶数.Sp是Hrmander乘子空间其定义和性质可见文献E.为简便起见我们,入“度”(deg)的概念.定义齐次空间的度为deg膏Ⅲ一一·在不引起混淆的情况下将deg(//w)记为deg(户)·AV分别表示取最小最大.C表示正常数在不同的地方取值可能不同.预备工作直接计算可见取(户)一言(deg(户))时xⅢ中的模在变换()下不变·定义集合Ja<时J一{}n(。S)a≥aN时J。一a)n(。S)()a≥a∈N时J。一c×)n(。S).其中S。一一S一(n)A(号一).则有命题设ot∈U则l非空.证当a<时l。非空等价于S。<<也即a∈((V)()\一J当a≥otNJ非空等价与o<otS>也即a>(a。V÷)且G(a)一a一(一)a>.()进而直接验算可得≤时G(a)>Vot>"/>时ot>.因而综合()一()式可见l非空等价于a∈U命题证毕.定义集合△:=()n(则有)n(一音)命题设a∈US∈J则A非空.证由A的定义可见A非空等价于<一V一Snotnot)()、、~<()V(not(ot一音))、、(a)利用S。<<直接验算()()式成立.()l()()l定理设a∈∈l∈△一则存在依赖于£的常数(£)>使得当IIe(f)“。IIXs,p<(£)()维普资讯http:wwwcqvipcomNo.张晓轶:复GinzburgLandau方程的自相似解及其极限行为时CGL在X中有唯一的解“(£z)满足ll“(£)llX<(£).()定理设O(x)是单位球面上的k阶连续可微函数志≥ko(Noek。的取法由定理证BYJN~).令厂(z)===n(z)/lzl去则在定理的条件下存在C(£)>使得当ll(z)ll≤C(£)()有llS(£)“。llX<(£).()注意到厂(z)一~f(Xx)故由定理可知定理得到的解是自相似解.由()式可将cGL和NLs在空间中的适定性问题等同.记Stain一号一半⋯一号一.定义集合。为a<时I。一{)n(一S)a≥aN时I。一(a)n(⋯S⋯)()a∈Ⅳ时。=(C×)n(⋯S⋯).容易验证在下列情形下。非空一⋯时∈(o∞)一时a∈(a。号)u∞)()≥时a∈(a。)U(ac×).其中a和a分别是多项式Fo(a)一aa(n一)一。Go(a)一aa(一)()的正根和最大正根.称满足()式的a是容许的类似于文献易得定理设a是容许的m为某个正整数P和s满足deg(P)一()则存在与£n无关的常数>使得当max(lSo(£)“olVllS。(£)。llX)<)s(≤≤J’J“·时()()()式在nx.中存在唯一的解满足max(l“(z£)lVll(z£)llX)<.()≤≤J’Jt⋯在叙述逼近定理之前我们还需要如下命题.命题当a满足以下条件时{)是的真子集.一时<:<:∞一时<a<.()一时≤a<一时a∈.证一方面由I。的定义可见若a<则Io{)故使a满足命题的一个必要条件是a≥.另一方面容易验证当<时a。>当一时a。一当>时。<.维普资讯http:wwwcqvipcom数学物理学报V.A因而()式中a有下界蕴含着a>a。a≥.最后注意到口>%甘⋯><(a<。。当一')甘<。.(故当≤时包含区间).当≥时条件≤a<定义了一个空集因而不存在这样的a使得真包含于命题证毕.设a满足()式则当≤时n(minc詈))\““u/非空因此可取专y∈I注意到定理有情形e一口固定.定理设≤n≤口满足()式s一s:÷s。一y(Pi)满足()式.初值。。满足()式u(x£)v(x£)分别是()式()式的解.则存在C>O使得II(£)一(£)IIXa≤cIISo(£)(。一。)IIXce专IISo(£)。IIx.c()llu.axl.()情形e一口一.定理设≤n≤口满足()式s一s一÷s。一y(Pi)满足()式.初值。。满足()式(£)v(x£)分别是()式()式的解.则存在C>O使得II(£)一(£)IIX≤cIISo(£)(。一。)IIXce专IISo(£)。IIxClaIIIIIxalc(a)e。.()一些引理引理设(£)同()式则对任意的≤r≤≤户≤oo及fEL有lI(£)厂≤c()一号‘一Il厂Il.证将(£)分解为e凸e△e.利用Schrdinger群和热半群的衰减估计llSo(£)厂≤CItl一号clI厂≤P≤。。lIe厂≤c()一号‘一ll厂llr≤r≤P≤。。可得ll(£)厂lI≤c(等)一号c一lle筹ef厂lI一c()一号c一Ile兰厂Il≤c()一号c一Il厂Il.()()()()()维普资讯http:wwwcqvipcomNo.张晓轶:复GinzburgLandau方程的自相似解及其极限行为引理证毕.I设m()一下面一个引理给出乘子()的性质.引理对的<<。。乘子()∈p.证由MihlinHrmander乘子定理⋯'【只需证明对某一正整数点>号存在常数B使得I㈣I≤VlI≤()由于()是径向函数故只需验证≤V。≤≤()当=时(II)EL。。()式成立.当j>时利用NewtonLeibniz法则可见)一≤(e一)耋G一⋯)其中fe一一.一.)ll(el∑i≥.=IG一(II)I≤Cll”由于IIcx。时I(})l===。(l)当ll一。时l()lo(II一一)故存在某个常数C>使得当y∈时II≤.由此即得引理.I定理的证明定理的证明设EUsEJ∈△一s~ny则<<.令r。(nps)'C~gq)qpslllUlUl由于一一∈()利用估计()()式iiI。~导rfIIl(fr)ul“(r)drIIXs,pJrf≤Csupt阢I(£(fr))f>J()见可题一文由"一r三C\//由件≤一一C●/≤则维普资讯http:wwwcqvipcom数学物理学报Vo.A≤csupt~pI(£(fr))r)r一(¨tP)drIIII£>d::c£号(一)sfp(tp)(一)(a)p“tp)×『(r)一(一)r(d)。'drII“II.注意到一一ac一音rpp()由<可得n(一)一na(一音)一no/<.另一方面注意到>故(a)一(导s一詈)一(导一<.再由卢(s户)一n一去)一(a)fl(s户)一一等一号(导一)一o可知存在常数C>O使得III(fr)I“lou(r)drII≤ce一(古II“IIZ.()利用()式可得II“IIK≤II(f)“。IIK(。JIb)IIr。t(fr)≤lls(£)“。.Ce(÷al设U(f)(f)是对应于初值U。的解类似可得“I。u(r)drII.()ll“(f)一(f)ll.≤c£号‘一(l“ll.llll.)ll“一ll..()取(e)充分小使得C£一(((£))n<则由()()式可见当llS(f)“。llXs,p<(£)时由()式所定义的解映射在X中的闭球B((£))一u∈Xu(xO)一Uo(z)I⋯<(£))(O)上压缩因而存在唯一的不动点U(f)是()式的解且有llu(xf)l⋯<(£).()定理证毕.定理的证明由Fourier变换的性质及“。(z)一au。(z)可见(f)“。::吾((。f))Uo(z)V>()在()式中令一l并由(sp)的定义可得、/tllS(f)“。llX一一ll()“。()ll一一ll()“。lI(、ss£>upttS./f/:/s,S维普资讯http:wwwcqvipcomNo.张晓轶:复GinzburgLandau方程的自相似解及其极限行为于是定理转化为证明llS()“。ll≤ClIll.()设Aj∈Z是/{)上的LittlewoodPaley分解算子A:*(·)一j(j).若对于定理中的SPr有.l()“。ll<C(e)ll△。“。ll≤Cll力ll()由此利用嵌入Bp,jH可得()式.首先证明()式的前半部分.取I∈Co()使得suppleB()且在B(o)上=记T=S()“。将丁作如下分解TTTT一S()(*U。)T一S()((一)*U。)()利用估计式()并注意到当≤一时△(一)一有∑ll△丁ll一∑ll()△(一(I)*UO)∈Z∈Z≤e号∑llAj(一(I)*UO)llre詈(∑jllAj(≥o进一步计算对于一±llA(一)ll=ll((I))ll≤llllll*ll注意到()一o“()故Il川ll一llll由Young不等式可得llA川(一)ll≤Cll川ll】(llll)≤C.由“。()=吾U()可见△jUo()=:=*“。()一j()UO(y)dy一”l丸(一Jy)uo(y)dyJ一I.o(Jxz)uo(Jz)dzJ一吾(。*“。)(j)一△。“。(j)故ll△“。ll一吾llAouo(j)ll=i一nll△。“。ll一c吾詈ll△。。ll由()式可得∑jll△丁≤C£一号(一ll△o“。llr∑Jo导()因吾一n一(a)(一音)由一一音∈△>可得s羔一<从而存在常数C>使得∑jll△丁≤C£号(一J∈Z另一方面注意到当≥时A一因而∑ll△丁一∑jll()△(*“。)J∈Z≤由Young不等式()维普资讯http:wwwcqvipcom数学物理学报Vo.A.S()zl(*M。)ll≤lIS()llll△“。II及II△“。II一c导IIAo“。II△。“。一∑AtA。f一一可得()式≤c(£)导暑lIAoM。Il.由于∈△意味着一音<从而s一导>。故存在常数c>。使得∑jll△ll一‘。。J∈z综合估计式()()可得≤c(e)∑J≤()ll△“。llr≤c(e)Il△。“。lI.()II()“。II.<c(e)IIAo“。llr.关于()式的后半部分由文存在d>使得lA“(z)l取正。满足(正。)r>n则有<cIIII(』()‘ll△。“。(z)ll≤Cllll.()dx)()由()()式可得定理.定理的证明类似文中的的证明在交空间中利用压缩映象即可.定理的证明由方程()及()得“(£)一(£)一S(£)“一S(£)()I一(口i)I((£一r)I“}。“(r)一S(£一r)ll(r))dr.()先考虑线性部分.记D一()*由引理及的仿射不变性lI(et‘)Il一Il(‘)Il于是l(£)。c。。(£)。c。lXa==l(e£)/。D。(£)。c。llx≤Csup(e£)。t‘。。llS(£)“ll由z.()由(s户)的定义可见(口)÷一(y口)()因此由()式可得ll(£)“。一So(£)“。Ilx≤号llSo(£)“。llx()从而对于线性部分有Il(£)“。一So(£)。ll≤lIS(£)“。一So(£)“。lIxllS。(£)(M。一。)Ilx≤So(£)“。Ilxll。(£)(“。一Yo)llx.()对于非线性部分先作如下分解(口i)I((£r)l“l“(r)S(£一r)ll(r))dr一(口ib)I((£一r)一S(£一r))l“l“(r)dr(口i)IS(£一r)(“l“(r)一lI(r))dr维普资讯http:wwwcqvipcomNo.张晓轶:复GinzburgLandau方程的自相似解及其极限行为一Ii()类似与定理的证明定理的条件下有IIzII≤c(aIIbI)(“IIIIIIXa)II“一IIXa~()不妨取定理中的满足C(I口lIb)()。<这样在取定的初值条件下()()式有唯一的解满足II“IIIIII<()。()从而IIzII≤专II“一II()最后估计.类似于()式注意到S(r)一So(r)一So(r)(e‘一)一So(r)t::=====·D(£(r)D)由()式引理及的仿射不变性可得IIII≤c(I口IIb)一r)~(吉一南)III“I~u(r)II崭()由于)<可取g一户一()g一户z(/b)容易验证()P)满足关系式()且有口口q。P一口’从而lll“llt≤ll“ll“ll.()令户一则(詈户)满足()式且有膏一L.故由()式可得l“。“l由.a=l≤ll“ll备詈.一ll“ll一.()因而对于有如下估计II~II≤c£(aIIb)sup一r一南)×rz’drII“IIII“IIx。≤c£(I口IIbI)supt(吉一南)十卅(,p))×IlrI(~i)Z,,fl(~p)~p(P’dr×Ilr一‘~专t户~卢‘t’dr×II“IIII“IIx。.()由a<及y<可验证一(专一南)>一)fl(r)<()直接计算t的指数为fl(a)一(一)一a(户)一fl(r户)一()维普资讯http:wwwcqvipcom数学物理学报VOI.A故由()()(O)式可得存在常数C>使得Xa≤C£专(aIIb{)IIIIXT.pz*综合估计式()()()式可得()式.定理证毕.定理的证明与定理类似略去.E参考文献()IBerghJLfstrmJ.InterpolationSpaces.NewYork:SpringerVerlagCazenaveTWeisslerFB.AsymptoticselfsimilarglobalsolutionsofthenonlinearSchrdingerandheatequations.MatheZeit:CazenaveT。WeisslerFB.MoreselfsimilarsolutionsofthenonlinearSchrdingerequation.NonlinearDifferEquAppl:PlanchonF.OntheCauchyprobleminBesovspaceforanonlinearSchrdingerequation.ToappearRibaudFYoussifiA.RegularandselfsimilarsolutionsofnonlinearSchrdingerequations.JMathPuresAppl:RibaudFYoussifiA.Globalsolutionsandselfsimilarsolutionsofsemilinearwaveequation.JMathZ:MiaoC.Timespaceestimatesofsolutionstogeneralsemilinearparabolicequations.TokyoJMath():MiaoC.调和分析及其在偏微分方程中的应用.北京:科学出版社WangB.ThelimitbehaviorofsolutionsfortheCauchyproblemofthecomplexGinzburgLandauequations.CommPureApplMathLv:TheSelfsimilarSolutionanditsLimitBehaviorfortheComplexGinzburgLandauEquationZhangXiaoyi(AcademyofMathematicsandSystemsScienceCASBeijing)Abstract:TheauthorprovesthereexistsuniqueglobalsolutioninthenonstandarctfunctionspaceXforcomplexGinzburgLandauequation.TheauthoralsoshowsthattheselfsimilarsolutionofGinzburgLandauequationconvergestOtheselfsimilarsolutionofthelimitequationastheparameter£or£.a.Keywords:ComplexGinzburgLandauequationSemilinearSchrdigerequationSelfsimilarsolutionLimitbehavior.MR()SubjectClassification:QL维普资讯http:wwwcqvipcom

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